2025年中考數(shù)學真題知識點分類匯編之尺規(guī)作圖一．選擇題（共5小題）1．（2025?北京）如圖，∠MON＝100°，點A在射線OM上，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線ON于點B．若分別以點A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧在∠MON內(nèi)部交于點C，連接AC，則∠OAC的大小為（）A．80° B．100° C．110° D．120°2．（2025?吉林）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊BA，BC于點M，N；（2）以點C為圓心，BN長為半徑畫弧，交邊CB于點N′；再以點N′為圓心，MN長為半徑畫弧，與前一條以點C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點M′；（3）過點M′畫射線CM′交邊AB于點D．下列結(jié)論錯誤的為（）A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC3．（2025?天津）如圖，CD是△ABC的角平分線．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，與邊AB相交于點E，與邊AC相交于點F；②以點B為圓心，AE長為半徑畫弧，與邊BC相交于點G；③以點G為圓心，EF長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點H；④作射線BH，與CD相交于點M，與邊AC相交于點N．則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD4．（2025?湖北）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝30°．分別以點A和點B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線MN交AC于點D，連接BD并延長交⊙O于點E，連接OA，OE，則∠AOEA．30° B．50° C．60° D．75°5．（2025?眉山）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步驟作圖：①以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB、AD于E、F兩點；②分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；③作射線AP交BC于點G，則CGA．4 B．5 C．6 D．8二．填空題（共5小題）6．（2025?齊齊哈爾）如圖，在?ABCD中，BC＝2AB＝8，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，作直線EF，交AD于點M，交BC于點N，若點N恰為BC的中點，則AC的長為7．（2025?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點P，A均在格點上．（Ⅰ）線段PA的長為；（Ⅱ）直線PA與△ABC的外接圓相切于點A，AB＝BC．點M在射線BC上，點N在線段BA的延長線上，滿足CM＝2AN，且MN與射線BA垂直．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點M，N，并簡要說明點M，N的位置是如何找到的（不要求證明）．8．（2025?湖南）如圖，在△ABC中，BC＝6，點E是AC的中點，分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，直線MN交AB于點D，連接DE，則DE的長是9．（2025?蘇州）如圖，∠MON＝60°，以O(shè)為圓心，2為半徑畫弧，分別交OM，ON于A，B兩點，再分別以A，B為圓心，6為半徑畫弧，兩弧在∠MON內(nèi)部相交于點C，作射線OC，連接AC，BC，則tan∠BCO＝.（結(jié)果保留根號）10．（2025?廣安）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：（1）以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交BC于點D；（2）分別以點C和點D為圓心，大于12CD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F；（3）畫射線AF交BC于點E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，則AE的長為三．解答題（共14小題）11．（2025?長沙）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以點C為圓心，適當長為半徑作弧，交CA于點M，交CB于點N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點D（1）求∠BCD的度數(shù)；（2）若BC＝2.5，求AD的長．12．（2025?綏化）尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【初步嘗試】如圖（1），用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過圓心的直線OP，使扇形OMN的面積被直線OP平分．【拓展探究】如圖（2），若扇形OMN的圓心角為30°，請你用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點O為圓心的弧CD，交OM于點C，交ON于點D，使扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1：4．13．（2025?吉林）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．△ABC內(nèi)接于⊙O，且點A，B，C，O均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．（1）在圖①中找一個格點D（點D不與點C重合）；畫出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．（2）在圖②中找一個格點E，畫出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．14．（2025?陜西）如圖，已知∠AOB＝50°，點C在邊OA上．請用尺規(guī)作圖法，在∠AOB的內(nèi)部求作一點P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作圖痕跡，不寫作法）15．（2025?河南）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以BC為直徑的圓交AD于點E．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）若點E是AD的中點，連接OA，CE．求證：四邊形AOCE是平行四邊形．16．（2025?新疆）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD是對角線．（1）尺規(guī)作圖：請用無刻度的直尺和圓規(guī)，作線段BD的垂直平分線，垂足為點O，與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，并將作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）；（2）在（1）的條件下，連接BE，DF，求證：四邊形BFDE為菱形．17．（2025?威海）問題提出已知∠α，∠β都是銳角，tanα=12，tanβ=13，求∠問題解決（1）如圖，小亮同學在邊長為1的正方形網(wǎng)格中畫出∠BAD和∠CAD，請你按照這個思路求∠α+∠β的度數(shù)．（點A，B，C，D都在格點上）策略遷移（2）已知∠α，∠β都是銳角，tanα=23，tanβ=32，則∠α+∠（3）已知∠α，∠β，∠θ都是銳角，tanα=13，tanβ=17，∠α+∠β＝∠（提示：在正方形網(wǎng)格中畫出求解過程的圖形，并直接寫出答案）18．（2025?福建）如圖，矩形ABCD中，AB＜AD．（1）求作正方形EFGH，使得點E，G分別落在邊AD，BC上，點F，H落在BD上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的邊長．19．（2025?威海）（1）如圖①，將平行四邊形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折疊，恰好拼成一個無縫隙、無重疊的四邊形EFGH．判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由；（2）如圖②，已知?ABCD能按照圖①的方式對折成一個無縫隙、無重疊的四邊形MNPQ，其中，點M在AD上，點N在AB上，點P在BC上，點Q在CD上．請用直尺和圓規(guī)確定點M的位置．（不寫作法，保留作圖痕跡）20．（2025?江西）如圖，在6×5的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要求完成作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中作出BC的中點；（2）在圖2中作出△ABC的重心．21．（2025?甘肅）如圖1，月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，故稱“月洞門”，其形制可追溯至漢代，但真正在美學與功能上成熟于宋代，北宋建筑學家李誡編撰的《營造法式》是中國古代最完整的建筑技術(shù)典籍之一．如圖2是古人根據(jù)《營造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設(shè)計圖，月洞門呈圓弧形，用ACB表示，點O是ACB所在圓的圓心，AB是月洞門的橫跨，CD是月洞門的拱高．現(xiàn)在我們也可以用尺規(guī)作圖的方法作出月洞門的設(shè)計圖．如圖3，已知月洞門的橫跨為AB，拱高的長度為a．作法如下：①作線段AB的垂直平分線MN，垂足為D；②在射線DM上截取DC＝a；③連接AC，作線段AC的垂直平分線交CD于點O；④以點O為圓心，OC的長為半徑作ACB．則ACB就是所要作的圓弧．請你依據(jù)以上步驟，用尺規(guī)作圖的方法在圖3中作出月洞門的設(shè)計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．22．（2025?山東）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，如圖1．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）已知AB＝3，分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN交BC于點E，交AD的延長線于點F．如圖2，求DF23．（2025?重慶）學習了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進行交流．現(xiàn)在你作為她的同伴，請根據(jù)她的想法與思路，完成以下作圖和填空：第一步：構(gòu)造角平分線．小紅在∠AOB的邊OA上任取一點E，并過點E作了OA的垂線（如圖）．請你利用尺規(guī)作圖，在OB邊上截取OF＝OE，過點F作OB的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線OP，OP即為∠AOB的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．第二步：利用三角形全等證明她的猜想．證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△OEP和Rt△OFP中，①()②()∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．∴③∴OP平分∠AOB．24．開啟作角平分線的智慧之窗問題：作∠AOB的平分線OP作法：甲同學用尺規(guī)作出了角平分線；乙同學用圓規(guī)和直角三角板作出了角平分線；丙同學也用尺規(guī)作出了角平分線；工人師傅用帶刻度的直角彎尺，通過移動彎尺使上下相同刻度在角的兩邊上，即得OP為∠AOB的平分線；討論：大家對甲同學和工人師傅的作法都深信不疑，認為判斷角平分線的依據(jù)是利用三角形全等，其判定全等的方法是；對乙同學作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據(jù)：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②對丙同學的作法陷入了沉思．任務(wù)：（1）請你將上述討論得出的依據(jù)補充完整；（2）完成對丙同學作法的驗證．已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求證：OP平分∠AOB．

2025年中考數(shù)學真題知識點分類匯編之尺規(guī)作圖參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號12345答案BDDCA一．選擇題（共5小題）1．（2025?北京）如圖，∠MON＝100°，點A在射線OM上，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線ON于點B．若分別以點A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧在∠MON內(nèi)部交于點C，連接AC，則∠OAC的大小為（）A．80° B．100° C．110° D．120°【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】B【分析】連接AB，AC，BC，由作圖可得OA＝OB，AC＝BC＝AB，則△ABC為等邊三角形，可得∠ACB＝60°．證明△OAC≌△OBC，可得∠ACO＝∠BCO=12∠ACB=30°，∠AOC=∠BOC=12∠AOB=50°，則可得∠【解答】解：連接AB，AC，BC，由作圖可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°．∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC（SSS），∴∠ACO＝∠BCO=12∠ACB=30°∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故選：B．【點評】本題考查作圖—基本作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．2．（2025?吉林）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊BA，BC于點M，N；（2）以點C為圓心，BN長為半徑畫弧，交邊CB于點N′；再以點N′為圓心，MN長為半徑畫弧，與前一條以點C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點M′；（3）過點M′畫射線CM′交邊AB于點D．下列結(jié)論錯誤的為（）A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC【考點】作圖—基本作圖；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】判斷出選項A，B，C正確可得結(jié)論．【解答】解：由作圖可知∠B＝∠DCB＝45°，∴DB＝DC，∠BDC＝90°，故選項A，B，C正確．故選：D．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．3．（2025?天津）如圖，CD是△ABC的角平分線．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，與邊AB相交于點E，與邊AC相交于點F；②以點B為圓心，AE長為半徑畫弧，與邊BC相交于點G；③以點G為圓心，EF長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點H；④作射線BH，與CD相交于點M，與邊AC相交于點N．則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD【考點】作圖—基本作圖；角平分線的定義．【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】D【分析】由作圖過程可知，∠CBN＝∠BAC，由角平分線的定義可得∠ACD＝∠BCD．根據(jù)∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，可得∠ADC＝∠BMC，進而可得∠BDM＝∠BMD，則BM＝BD，即可得出答案．【解答】解：由作圖過程可知，∠CBN＝∠BAC．∵CD是△ABC的角平分線，∴∠ACD＝∠BCD．∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，∴∠ADC＝∠BMC，∴∠BDM＝∠BMD，∴BM＝BD，故D選項一定正確．故選：D．【點評】本題考查作圖—基本作圖、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．4．（2025?湖北）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝30°．分別以點A和點B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線MN交AC于點D，連接BD并延長交⊙O于點E，連接OA，OE，則∠AOEA．30° B．50° C．60° D．75°【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】C【分析】由MN是AB的垂直平分線，可得DA＝DB，可得∠BAD＝∠ABD＝30°，再進一步求解即可．【解答】解：由作圖可得：∵MN是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，而∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠AOE＝2∠ABD＝60°，故選：C．【點評】本題考查的是作線段的垂直平分線，等邊對等角，圓周角定理的應(yīng)用，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2025?眉山）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步驟作圖：①以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB、AD于E、F兩點；②分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；③作射線AP交BC于點G，則CGA．4 B．5 C．6 D．8【考點】作圖—基本作圖；角平分線的定義；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】A【分析】由作圖過程可知，AG為∠BAD的平分線，可得∠BAG＝∠DAG．由平行線的性質(zhì)可得∠AGB＝∠DAG，則∠BAG＝∠AGB，可得BG＝AB＝6，則可得CG＝BC﹣BG＝4．【解答】解：由作圖過程可知，AG為∠BAD的平分線，∴∠BAG＝∠DAG．∵AD∥BC，∴∠AGB＝∠DAG，∴∠BAG＝∠AGB，∴BG＝AB＝6，∴CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4．故選：A．【點評】本題考查作圖—基本作圖、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義、平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2025?齊齊哈爾）如圖，在?ABCD中，BC＝2AB＝8，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，作直線EF，交AD于點M，交BC于點N，若點N恰為BC的中點，則AC的長為43【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理．【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】43【分析】設(shè)MN交AC于點O，由作圖過程可知，直線EF為線段AC的垂直平分線，可得點O為AC的中點，∠CON＝90°，進而可得ON為△ABC的中位線，可得ON∥AB，則∠CAB＝∠CON＝90°，再根據(jù)勾股定理可得AC=B【解答】解：設(shè)MN交AC于點O，由作圖過程可知，直線EF為線段AC的垂直平分線，∴點O為AC的中點，∠CON＝90°．∵點N為BC的中點，∴ON為△ABC的中位線，∴ON∥AB，∴∠CAB＝∠CON＝90°．∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4，∴AC=B故答案為：43【點評】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．7．（2025?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點P，A均在格點上．（Ⅰ）線段PA的長為2；（Ⅱ）直線PA與△ABC的外接圓相切于點A，AB＝BC．點M在射線BC上，點N在線段BA的延長線上，滿足CM＝2AN，且MN與射線BA垂直．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點M，N，并簡要說明點M，N的位置是如何找到的（不要求證明）直線PA與射線BC的交點為M；取圓與網(wǎng)格線的交點D和E，連接DE；取格點F，連接AF，與DE相交于點O；連接BO并延長，與AC相交于點G，與直線PA相交于點H；連接CH并延長，與網(wǎng)格線相交于點I，連接AI，與網(wǎng)格線相交于點I；連接GJ，與線段BA的延長線相交于點N，則點M，N即為所求．【考點】作圖—復雜作圖；解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形的外接圓與外心．【專題】作圖題；三角形．【答案】（1）2；（2）直線PA與射線BC的交點為M；取圓與網(wǎng)格線的交點D和E，連接DE；取格點F，連接AF，與DE相交于點O；連接BO并延長，與AC相交于點G，與直線PA相交于點H；連接CH并延長，與網(wǎng)格線相交于點I，連接AI，與網(wǎng)格線相交于點I；連接GJ，與線段BA的延長線相交于點N，則點M，N即為所求．【分析】（1）利用勾股定理進行求解即可；（2）利用圓周角定理的推論，正方形的性質(zhì)確定圓心，再根據(jù)全等三角形和等腰三角形的三線合一確定線段AC的中點G，利用網(wǎng)格確定點J為線段A的中點，則G，J為三角形的中位線，利用一組平行線確定點N為線段AQ的中點，證明△ABH≌△CBH和△AHQ≌△CHM，得出AQ＝CM，即CM＝2AN，最后利用切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得出△AMQ為等腰三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出MN⊥AQ．【解答】解：（1）由勾股定理得PA=1+1故答案為：2；（2）如圖所示，點M，N即為所求，作法：直線PA與射線BC的交點為M；取圓與網(wǎng)格線的交點D和E，連接DE；取格點F，連接AF，與DE相交于點O；連接BO并延長，與AC相交于點G，與直線PA相交于點H；連接CH并延長，與網(wǎng)格線相交于點I，連接AI，與網(wǎng)格線相交于點I；連接GJ，與線段BA的延長線相交于點N，則點M，N即為所求．理由：∵∠DAE＝90°，∴DE為圓的直徑，∵AF為正方形的對角線，∴∠DAF＝∠EAF＝45°，∴AF垂直平分線段DE，∴點O為圓的圓心，∴OA＝OC，又∵AB＝BC，OB＝OB，∴△AOB≌△COB（SSS），∴∠ABO＝∠CBO，∴BG平分∠ABC，∴點G為線段AC的中點，由網(wǎng)格可知點J為線段AI的中點，∴GJ為△ACI的中位線，∴GJ∥CI，∴點N為線段AQ的中點，∴AQ＝2AN，∵AB＝BC，BH＝BH，∠ABH＝∠CBH，∴△ABH≌△CBH（SAS），∴AH＝CH，∠BAH＝∠BCH，∴∠QAH＝∠MCH，又∵∠AHQ＝∠CHM，∴△AHQ≌△CHM（ASA），∴AQ＝CM，即CM＝2AN，延長BH交QM于點T，∵AB＝BC，AQ＝CM，∴BQ＝BM，∵∠QBH＝∠MBH，∴BT⊥QM，∵AM為圓的切線，∴∠OAH＝90°，∴∠OAB+∠QAM＝90°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，即∠QAM+∠OBA＝90°，∵∠OBA+∠AQM＝90°，∴∠QAM＝∠AQM，∴△AMQ為等腰三角形，∴MN⊥AQ，∴點M，N即為所求．【點評】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理的推論，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)并靈活應(yīng)用．8．（2025?湖南）如圖，在△ABC中，BC＝6，點E是AC的中點，分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，直線MN交AB于點D，連接DE，則DE的長是【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】3．【分析】由作圖過程可知，直線MN為線段AB的垂直平分線，可得點D為AB的中點，進而可得DE為△ABC的中位線，則DE=1【解答】解：由作圖過程可知，直線MN為線段AB的垂直平分線，∴點D為AB的中點．∵點E是AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE=1故答案為：3．【點評】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線定理是解答本題的關(guān)鍵．9．（2025?蘇州）如圖，∠MON＝60°，以O(shè)為圓心，2為半徑畫弧，分別交OM，ON于A，B兩點，再分別以A，B為圓心，6為半徑畫弧，兩弧在∠MON內(nèi)部相交于點C，作射線OC，連接AC，BC，則tan∠BCO＝55【考點】作圖—基本作圖；解直角三角形；角平分線的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】55【分析】過點B作BD⊥OC于點D，由作圖過程得OC平分MON，得∠BOD=12∠MON＝30°，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出BD【解答】解：如圖，過點B作BD⊥OC于點D，由作圖過程可知：OC平分MON，∴∠BOD=12∴BD=12OB∵BC=6∴CD=B∴tan∠BCO=BD故答案為：55【點評】本題考查作圖—基本作圖，解直角三角形，勾股定理，掌握基本作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．10．（2025?廣安）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：（1）以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交BC于點D；（2）分別以點C和點D為圓心，大于12CD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F；（3）畫射線AF交BC于點E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，則AE的長為【考點】作圖—復雜作圖；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】12．【分析】連接AD，由作圖過程可知，AD＝AC，AE⊥BC，可得∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE，進而可得∠BAD＝∠B，則AD＝BD＝13，CD＝BC﹣BD＝10，DE=12CD=5，再由勾股定理得【解答】解：連接AD，由作圖過程可知，AD＝AC，AE⊥BC，∴∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE．∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD＝13．∵BC＝23，BD＝13，∴CD＝BC﹣BD＝10，∴DE=1∴AE=A故答案為：12．【點評】本題考查作圖—復雜作圖、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．三．解答題（共14小題）11．（2025?長沙）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以點C為圓心，適當長為半徑作弧，交CA于點M，交CB于點N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點D（1）求∠BCD的度數(shù)；（2）若BC＝2.5，求AD的長．【考點】作圖—基本作圖；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）36°；（2）2.5．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線定義即可解決問題；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠A＝∠ACD，得AD＝CD．進而可以解決問題．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB＝∠B＝72°，由作圖可知：CD是∠ACB的角平分線，∴∠BCD=∠ACD=1（2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°，∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°，∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AD＝BC＝2.5．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．12．（2025?綏化）尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【初步嘗試】如圖（1），用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過圓心的直線OP，使扇形OMN的面積被直線OP平分．【拓展探究】如圖（2），若扇形OMN的圓心角為30°，請你用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點O為圓心的弧CD，交OM于點C，交ON于點D，使扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1：4．【考點】作圖—復雜作圖；垂徑定理；相交兩圓的性質(zhì)；扇形面積的計算．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】見解析．【分析】（1）作OP平分∠MON即可；（2）作線段ON的垂直平分線垂足為D，以O(shè)為圓心，OD為半徑作弧交OM于點C，弧CD即為所求．【解答】解：（1）如圖，射線OP即為所求；（2）如圖2中，弧CD即為所求．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，扇形的面積，線段的垂直平分線，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．13．（2025?吉林）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．△ABC內(nèi)接于⊙O，且點A，B，C，O均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．（1）在圖①中找一個格點D（點D不與點C重合）；畫出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．（2）在圖②中找一個格點E，畫出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】見解析．【分析】（1）利用圓周角定理作出圖形；（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)作出圖形．【解答】解：（1）如圖①中，點D即為所求（答案不唯一）；（2）如圖②中，點E即為所求（答案不唯一）．【點評】本題考查作圖﹣一一與設(shè)計作圖，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．14．（2025?陜西）如圖，已知∠AOB＝50°，點C在邊OA上．請用尺規(guī)作圖法，在∠AOB的內(nèi)部求作一點P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作圖痕跡，不寫作法）【考點】作圖—復雜作圖；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】見解答．【分析】先作∠AOB的平分線，再以點C為圓心，OC的長為半徑畫弧，交射線OD于點P，則點P即為所求．【解答】解：如圖，先作∠AOB的平分線，再以點C為圓心，OC的長為半徑畫弧，交射線OD于點P，∴∠CPO=∠COP=∠BOP=1∴∠AOP＝25°，CP∥OB，則點P即為所求．【點評】本題考查作圖—復雜作圖、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．15．（2025?河南）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以BC為直徑的圓交AD于點E．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）若點E是AD的中點，連接OA，CE．求證：四邊形AOCE是平行四邊形．【考點】作圖—復雜作圖；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】見解析．【分析】（1）作線段BC的垂直平分線，垂足為O，點O即為所求；（2）證明AE＝CO，AE∥CO即可．【解答】（1）解：如圖，點O即為所求；（2）證明：∵四邊形ABC都是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是AD的中點，O是BC的中點，∵AE＝DE＝OC＝OB，∵AE∥OC，∴四邊形AOCE是平行四邊形．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．16．（2025?新疆）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD是對角線．（1）尺規(guī)作圖：請用無刻度的直尺和圓規(guī)，作線段BD的垂直平分線，垂足為點O，與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，并將作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）；（2）在（1）的條件下，連接BE，DF，求證：四邊形BFDE為菱形．【考點】作圖—基本作圖；平行線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定．【專題】線段、角、相交線與平行線；矩形菱形正方形；尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】（1）見解答．（2）見解答．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可．（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD，可證明△ODE≌△OBF，得DE＝BF，則BE＝DE＝BF＝DF，可得四邊形BFDE為菱形．【解答】（1）解：如圖，直線EF即為所求．（2）證明：∵直線EF是線段BD的垂直平分線，∴BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD．∵AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，∴△ODE≌△OBF（AAS），∴DE＝BF，∴BE＝DE＝BF＝DF，∴四邊形BFDE為菱形．【點評】本題考查作圖—基本作圖、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．17．（2025?威海）問題提出已知∠α，∠β都是銳角，tanα=12，tanβ=13，求∠問題解決（1）如圖，小亮同學在邊長為1的正方形網(wǎng)格中畫出∠BAD和∠CAD，請你按照這個思路求∠α+∠β的度數(shù)．（點A，B，C，D都在格點上）策略遷移（2）已知∠α，∠β都是銳角，tanα=23，tanβ=32，則∠α+∠（3）已知∠α，∠β，∠θ都是銳角，tanα=13，tanβ=17，∠α+∠β＝∠（提示：在正方形網(wǎng)格中畫出求解過程的圖形，并直接寫出答案）【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；解直角三角形．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）45°；（2）90；（3）12【分析】（1）連接BC，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解；（2）構(gòu)造等腰直角三角形ABC可得結(jié)論，構(gòu)造直角三角形DGF可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1中，連接BC，∵AB＝BC=5，BC=∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠α+∠β＝45°；（2）如圖2中，連接BC，由題意，α＝∠BAD，β＝∠DAC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴α+β＝90°．故答案為：90；（3）如圖2中，α＝∠CDH，β＝∠HDF，在Rt△DGF中，tan（α+β）=FG【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學會路數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．18．（2025?福建）如圖，矩形ABCD中，AB＜AD．（1）求作正方形EFGH，使得點E，G分別落在邊AD，BC上，點F，H落在BD上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的邊長．【考點】作圖—復雜作圖；勾股定理．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）見解析；（2）102【分析】（1）作線段BD的垂直平分線，垂足為O，交AD于點E，交BC于點G，以O(shè)為圓心，OE為半徑作弧交BD于點F，H，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE即可；（2）利用勾股定理求出BD，再根據(jù)tan∠ADB=ABAD=【解答】解：（1）正方形EFGH即為所求；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴BD=AB2∴OB＝OD=5∵tan∠ADB=AB∴OE=5∵四邊形EFGH是正方形，∴OE＝OH=52，EO⊥∴EH=2OE=∴正方形EFGH的邊長為102【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．19．（2025?威海）（1）如圖①，將平行四邊形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折疊，恰好拼成一個無縫隙、無重疊的四邊形EFGH．判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由；（2）如圖②，已知?ABCD能按照圖①的方式對折成一個無縫隙、無重疊的四邊形MNPQ，其中，點M在AD上，點N在AB上，點P在BC上，點Q在CD上．請用直尺和圓規(guī)確定點M的位置．（不寫作法，保留作圖痕跡）【考點】作圖—復雜作圖；翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】作圖題．【答案】（1）四邊形EFGH是矩形，理由見解析；（2）見解析．【分析】（1）結(jié)論：四邊形EFGH是矩形，根據(jù)四個角是直角的四邊形是矩形證明即可；（2）分別以點D、C為圓心，大于12DC為半徑作弧，連接兩個交點，即為DC的垂直平分線，與DC交于點Q，同理作出AB的垂直平分線交于點N，連接NQ、AC，交于點Q，以點O為中心，OQ長為半徑作弧交AD于點M，點M即為所作．連接MQ交于點P，連接MNPQ【解答】解：（1）結(jié)論：四邊形EFGH是矩形．理由：通過折疊的性質(zhì)可知∠AFE＝∠EFK，∠BFG＝∠KFG，∵∠AFB＝180°，∴2∠EFK+2∠KFG＝180°，∴∠EFK+∠KFG＝90°，即∠EFG＝90°，同法可證∠FGH＝∠EHG＝90°，∴四邊形EFGH是矩形；（2）如圖，分別以點D、C為圓心，大于12DC為半徑作弧，連接兩個交點，即為DC的垂直平分線，與DC交于點Q，同理作出AB的垂直平分線交于點N，連接NQ、AC，交于點Q，以點O為中心，OQ長為半徑作弧交AD于點M，點M即為所作．連接MQ交于點P，連接MNPQ【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，翻折變換，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．20．（2025?江西）如圖，在6×5的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要求完成作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中作出BC的中點；（2）在圖2中作出△ABC的重心．【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；三角形的重心；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）見解答．（2）見解答．【分析】（1）利用網(wǎng)格直接畫圖即可．（2）結(jié)合三角形的重心的定義，分別取BC，AC的中點D，E，連接AD，BE相交于點O，則點O即為所求．【解答】解：（1）如圖1，點D即為所求．（2）如圖2，分別取BC，AC的中點D，E，連接AD，BE相交于點O，則點O即為所求．【點評】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖、三角形的重心、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．21．（2025?甘肅）如圖1，月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，故稱“月洞門”，其形制可追溯至漢代，但真正在美學與功能上成熟于宋代，北宋建筑學家李誡編撰的《營造法式》是中國古代最完整的建筑技術(shù)典籍之一．如圖2是古人根據(jù)《營造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設(shè)計圖，月洞門呈圓弧形，用ACB表示，點O是ACB所在圓的圓心，AB是月洞門的橫跨，CD是月洞門的拱高．現(xiàn)在我們也可以用尺規(guī)作圖的方法作出月洞門的設(shè)計圖．如圖3，已知月洞門的橫跨為AB，拱高的長度為a．作法如下：①作線段AB的垂直平分線MN，垂足為D；②在射線DM上截取DC＝a；③連接AC，作線段AC的垂直平分線交CD于點O；④以點O為圓心，OC的長為半徑作ACB．則ACB就是所要作的圓弧．請你依據(jù)以上步驟，用尺規(guī)作圖的方法在圖3中作出月洞門的設(shè)計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；垂徑定理的應(yīng)用．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】見解答．【分析】根據(jù)作圖步驟作圖即可．【解答】解：如圖3所示．【點評】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．22．（2025?山東）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，如圖1．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）已知AB＝3，分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN交BC于點E，交AD的延長線于點F．如圖2，求DF【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）120°；（2）23．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求∠ADC的度數(shù)；（2）連接CF，由作圖過程可得MN是CD的垂直平分線，所以FC＝FD，證明△CDF是等邊三角形，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求出DF．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分線AD交BC于點D，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；（2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°，∴AD＝CD，∠ADB＝60°，∴∠CDF＝60°，如圖2，連接CF，由作圖過程可知：MN是CD的垂直平分線，∴FC＝FD，∴△CDF是等邊三角形，∴FC＝FD＝CD＝AD，∵AB＝3，∠BAD＝30°，∴AD=ABcos30°=∴DF＝AD＝23．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．23．（2025?重慶）學習了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進行交流．現(xiàn)在你作為她的同伴，請根據(jù)她的想法與思路，完成以下作圖和填空：第一步：構(gòu)造角平分線．小紅在∠AOB的邊OA上任取一點E，并過點E作了OA的垂線（如圖）．請你利用尺規(guī)作圖，在OB邊上截取OF＝OE，過點F作OB的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線OP，OP即為∠AOB的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．第二步：利用三角形全等證明她的猜想．證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△OEP和Rt△OFP中，①()②()∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．∴③∠POE＝∠POF∴OP平分∠AOB．【考點】作圖—復雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】見解析．【分析】根據(jù)要求作出圖形，利用HL證明Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）即可．【解答】解：圖形如圖所示：證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△OEP和Rt△OFP中，OE=OFOP=OP∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．∴∠POE＝∠POF，∴OP平分∠AOB．故答案為：OE＝OF，OP＝OP，∠POE＝∠POF，【點評】不能太空艙作圖﹣復雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．24．開啟作角平分線的智慧之窗問題：作∠AOB的平分線OP作法：甲同學用尺規(guī)作出了角平分線；乙同學用圓規(guī)和直角三角板作出了角平分線；丙同學也用尺規(guī)作出了角平分線；工人師傅用帶刻度的直角彎尺，通過移動彎尺使上下相同刻度在角的兩邊上，即得OP為∠AOB的平分線；討論：大家對甲同學和工人師傅的作法都深信不疑，認為判斷角平分線的依據(jù)是利用三角形全等，其判定全等的方法是SSS；對乙同學作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據(jù)：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②全等三角形的對應(yīng)角相等對丙同學的作法陷入了沉思．任務(wù)：（1）請你將上述討論得出的依據(jù)補充完整；（2）完成對丙同學作法的驗證．已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求證：OP平分∠AOB．【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；角平分線的定義；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等；（2）見解析．【分析】（1）利用全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）利用平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】（1）解：大家對甲同學和工人師傅的作法都深信不疑，認為判斷角平分線的依據(jù)是利用三角形全等，其判定全等的方法是SSS；對乙同學作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據(jù)：①三角形全等，AAS，ASA或HI，②全等三角形的對應(yīng)角相等．故答案為：SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等；（2）證明：∵∠AED＝∠AOB，∴ED∥OB，∴∠EPO＝∠POB，∵EO＝EP，∴∠EOP＝∠EPO，∴∠AOP＝∠BOP，∴OP平分∠AOB．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．

考點卡片1．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐．2．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．3．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點．（2）重心的性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．③重心到三角形3個頂點距離的和最?。ǖ冗吶切危?．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．5．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE6．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．7．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．8．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當優(yōu)先選擇簡便方法來解決．9．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．10．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．11．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．12．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：13．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE=1214．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．15．平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．16．菱形的判定①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．幾何語言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形