3.1系統(tǒng)性能指標(biāo)及動態(tài)性能分析3.2一階系統(tǒng)的時域分析3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.4高階系統(tǒng)的時域分析3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析習(xí)題

第3章時域分析法3.1系統(tǒng)性能指標(biāo)及動態(tài)性能分析3.1.1典型輸入信號和時域性能指標(biāo)

1.常用的輸入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)性能是通過系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)過程來評價的。而系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)及輸入信號有關(guān)。為了便于在統(tǒng)一的條件下進(jìn)行分析和設(shè)計，一方面，假定在輸入信號作用于系統(tǒng)的瞬時(t=0)之前系統(tǒng)相對靜止，即為零初始狀態(tài)；

另一方面，也需要假定一些典型的輸入信號作為系統(tǒng)的試驗信號。典型的輸入信號一般應(yīng)具備以下兩個條件：

(1)典型信號應(yīng)具有一定的代表性，而且其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，以便于數(shù)學(xué)分析、計算與處理。

(2)典型信號應(yīng)易于在實驗室獲得。因此，在控制工程中常采用下述五種信號作為典型的輸入信號。1)階躍信號階躍輸入信號表示輸入量的瞬間突變過程，如圖3-1(a)所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-1)相應(yīng)的拉氏變換為(3-2)

其中，R0為常量。當(dāng)R0=1時，稱為單位階躍函數(shù)，記為1(t)。在時域分析中，階躍信號用得最為廣泛。實際中，電源的突然接通、負(fù)載的突變等均可近似看作階躍信號。

圖3-1典型輸入信號(一)(a)階躍信號；(b)斜坡信號；(c)拋物線信號2)斜坡信號斜坡信號表示由零值開始隨時間t線性增長的信號，如圖3-1(b)所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-3)其拉氏變換為(3-4)其中，v0為常量。當(dāng)v0=1時，稱為單位斜坡函數(shù)。3)拋物線信號拋物線信號亦稱等加速度信號，它表示隨時間以等加速度增長的信號，如圖3-1(c)所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-5)它的拉氏變換為(3-6)4)脈沖信號脈沖信號可看作一個持續(xù)時間極短的信號，如圖3-2(a)所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-7)當(dāng)H=1時，記為δε(t)。若令脈寬ε→0，則稱其為單位理想脈沖函數(shù)，見圖3-2(b)，并用δ(t)表示，即

且其面積（又稱脈沖強(qiáng)度）為(3-8)相應(yīng)的拉氏變換為(3-9)

圖3-2典型輸入信號(二)(a)脈沖信號；(b)單位理想脈沖函數(shù)圖3-3正弦信號5)正弦信號正弦信號如圖3-3所示，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-10)

正弦信號的拉氏變換為(3-11)3.1.2控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)

1.跟隨性能指標(biāo)在給定信號r(t)的作用下，系統(tǒng)輸出c(t)的變化情況可用跟隨性能指標(biāo)來描述。設(shè)圖3-4所示為控制系統(tǒng)典型的階躍響應(yīng)曲線，據(jù)此定義常用的跟隨性能指標(biāo)如下。

圖3-4階躍響應(yīng)曲線與跟隨性能指標(biāo)1)上升時間tr

上升時間tr指系統(tǒng)輸出響應(yīng)從0開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。tr小，表明系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)快。

2)峰值時間tp

峰值時間tp指系統(tǒng)輸出響應(yīng)由0開始，越過第一次穩(wěn)態(tài)值到達(dá)峰值所需的時間。

3)超調(diào)量σ%

超調(diào)量σ%指系統(tǒng)輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比。(3-12)4)調(diào)節(jié)時間ts

調(diào)節(jié)時間ts指系統(tǒng)的輸出響應(yīng)達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%（或±2%）誤差范圍內(nèi)，即輸出響應(yīng)進(jìn)入并保持在±5%（或±2%）誤差帶之內(nèi)所需的時間。ts小，表示系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)過程短，快速性好。

5)振蕩次數(shù)N

振蕩次數(shù)N指在調(diào)節(jié)時間內(nèi)，系統(tǒng)輸出量在穩(wěn)態(tài)值上下擺動的次數(shù)。次數(shù)少，表明系統(tǒng)穩(wěn)定性好。2.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能一般是指其穩(wěn)態(tài)精度，常用穩(wěn)態(tài)誤差ess來表述。穩(wěn)態(tài)誤差ess是指系統(tǒng)期望值與實際輸出的最終穩(wěn)態(tài)值之間的差值。ess小，說明系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度高。3.2一階系統(tǒng)的時域分析

當(dāng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為一階微分方程式時，稱其為一階系統(tǒng)。研究如圖3-5所示的一階系統(tǒng)。在物理上，這個系統(tǒng)可以表示一個RC電路，也可以表示一個熱系統(tǒng)等。系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系為(3-13)圖3-5一階系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)輸入則輸出量的拉氏變換為(3-14)單位階躍響應(yīng)為(3-15)圖3-6一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

其單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-6所示。由方程(3-15)可以看出，輸出響應(yīng)的初始值等于0，而最終將變成1。當(dāng)t=T時，c(t)=0.632，這表明輸出響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時間就是一階系統(tǒng)的時間常數(shù)。系統(tǒng)的時間常數(shù)越小，響應(yīng)就越快。另外，輸出響應(yīng)沒有振蕩，也就沒有超調(diào)。減小時間常數(shù)可提高響應(yīng)的速度。

比較式(3-14)和式(3-15)可知，輸入R(s)的極點對應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，而傳遞函數(shù)Φ(s)的極點則產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一結(jié)論不僅適用于階線性定常系統(tǒng)，而且適用于任何階次的線性定常系統(tǒng)。因為沒有超調(diào)，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時間ts。從響應(yīng)曲線可知：

t=3T時,c(t)=0.95,故ts=3T（按±5%誤差帶）；

t=4T時,c(t)=0.98,故ts=4T（按±2%誤差帶）。

例3.1

一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-7所示，其中KK為開環(huán)放大倍數(shù)，KH為反饋系數(shù)。設(shè)KK＝100，KH＝0.1，試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts(按±5％誤差帶)。如果要求ts＝0.1s，求反饋系數(shù)。解由結(jié)構(gòu)圖得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可見 ,所以（按誤差帶）對照一階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)式，有由(按誤差帶）可得圖3-7例3.1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖3.2.2一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入函數(shù)的拉氏變換為

此時系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換為(3-16)對上式取拉氏反變換，得(3-17)誤差信號e(t)為e(t)=r(t)-c(t)=T(1-e-t/T)

(3-18)當(dāng)t趨近于無窮大時，e-t/T趨近于0，因而誤差信號趨近于T，即

c(∞)=T3.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖輸入函數(shù)的拉氏變換為

R(s)=L［δ(t)］=1

此時系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換為(3-19)對上式取拉氏反變換，得(3-20)3.3二階系統(tǒng)的時域分析

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。例如，他激直流電動機(jī)控制系統(tǒng)、RLC電路等都是二階系統(tǒng)的實例。為了使對二階系統(tǒng)的研究具有普遍的意義，通常構(gòu)造出其典型結(jié)構(gòu)，如圖3-8所示。圖3-8二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

根據(jù)圖3-8，可求出二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：(3-21)其中，ξ為阻尼比，ωn為無阻尼自然振蕩頻率，它們均為系統(tǒng)參數(shù)。

由式(3-21)可以看出，二階系統(tǒng)的動態(tài)特性可以用ξ和ωn這兩個參數(shù)的形式加以描述。如果0<ξ<1，則閉環(huán)極點為共軛復(fù)數(shù)，并且位于左半s平面，這時系統(tǒng)叫做欠阻尼系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)是振蕩的。如果ξ=1，那么就叫做臨界阻尼系統(tǒng)。而當(dāng)ξ>1時，就叫做過阻尼系統(tǒng)。臨界阻尼系統(tǒng)和過阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)都不振蕩。如果ξ=0，那么瞬態(tài)響應(yīng)變?yōu)榈确袷?。例如，電路的傳遞函數(shù)為對照二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)式，有即即3.3.1二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)在單位階躍輸入信號1(t)作用下的拉氏變換式為其中,由可求得兩個特征根(3-22)1)ξ>1,過阻尼

ξ>1時,s1,2=-ξωn±ωn

為兩個不相等的負(fù)實數(shù)根，即有其中，A1、A2、A3為待定系數(shù)。據(jù)此，可求得輸出響應(yīng)的拉氏反變換(3-23)2)ξ=1,臨界阻尼

ξ=1時，s1,2=-ωn為一對重負(fù)實根。輸出的拉氏變換經(jīng)拉氏反變換,得(3-24)響應(yīng)曲線輸出無振蕩和超調(diào)。系統(tǒng)的響應(yīng)速度在ξ=1時比ξ>1時快。3)0<ξ<1，欠阻尼

0<ξ<1時，令阻尼振蕩頻率則s1,2=-ξωn±jωd為一對復(fù)數(shù)根。輸出的拉氏變換為取拉氏反變換,得將上式整理為設(shè)欠阻尼二階系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系為

如圖3-9所示,則欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可寫為(3-25)系統(tǒng)的響應(yīng)為衰減振蕩波形，系統(tǒng)有超調(diào)。圖3-9欠阻尼二階系統(tǒng)參數(shù)間的關(guān)系4)ξ=0,無阻尼ξ=0時，s1,2=±jωn為一對純虛根。輸出的拉氏變換為其拉氏反變換為c(t)=1-cosωnt

t≥0

(3-26)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為等幅振蕩波形。

圖3-10所示為取不同ξ值時對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖可見，ξ值越大，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，超調(diào)越?。沪沃翟叫?，輸出響應(yīng)振蕩越強(qiáng)，振蕩頻率越高。當(dāng)ξ=0時，系統(tǒng)輸出為等幅振蕩，不能正常工作，屬不穩(wěn)定。圖3-10不同ξ值時對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.3.2二階系統(tǒng)和它的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)下面主要對欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)進(jìn)行討論和計算。欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-4所示。

1.上升時間tr

根據(jù)tr的定義，有即于是有(3-27)其中(3-28)2.峰值時間tp

根據(jù)tp的定義，可采用求極值的方法來求取。即由有即tan(ωdtp+β)=tanβωdtp=0,π,2π,…于是得

3.超調(diào)量σ％

將tp=π/ωd代入欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式，求得根據(jù)定義:考慮到

c(∞)=c(t)|t=∞=1得4.調(diào)節(jié)時間ts

求取調(diào)節(jié)時間可用近似公式：ξ<0.68,±5%誤差帶

ξ<0.76,±2%誤差帶

其中，T=1/ξωn為系統(tǒng)的時間常數(shù)。當(dāng)ξ大于上述值時，可采用近似公式計算：

5.穩(wěn)態(tài)誤差ess

根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的定義和終值定理,有(3-33)當(dāng)R(s)=1/s時，由式(3-33)可算得ess＝0。

以上為欠阻尼二階系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下性能指標(biāo)的求取。對于過阻尼二階系統(tǒng)，其性能指標(biāo)只有調(diào)節(jié)時間ts和穩(wěn)態(tài)誤差ess。ess的計算同上，而調(diào)節(jié)時間ts的近似計算式是根據(jù)特征根s1和s2中絕對值較小者來確定的。設(shè)|s1|<|s2|，則ts≈3T1 ±5%誤差帶

ts≈4T1 ±2%誤差帶(3-35)或按式(3-32)作近似計算。時，可求得(3-36)由于ξ≥1時，系統(tǒng)的響應(yīng)較慢，故二階系統(tǒng)一般不設(shè)計成臨界阻尼或過阻尼形式，只有在不允許出現(xiàn)超調(diào)的特殊要求下，才采用過阻尼形式。另外，若輸入為單位斜坡信號，即

由以上的分析可歸納出二階系統(tǒng)性能分析要點：

1)平穩(wěn)性

主要由ξ決定，ξ越大則σ%越小，平穩(wěn)性越好。ξ=0時，系統(tǒng)等幅振蕩，不能穩(wěn)定工作。ξ一定時，ωn越大則ωd越大，系統(tǒng)平穩(wěn)性變差。3)準(zhǔn)確性

ξ的增加和ωn的減小雖然對系統(tǒng)的平穩(wěn)性有利，但將使得系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差增加。例3.2已知隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-11所示，試分別計算KA=200,1500和10時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)tp，ts和σ％。圖3-11例3.2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解：（1）對照標(biāo)準(zhǔn)式，有因而求得據(jù)此可求得動態(tài)性能指標(biāo)(按誤差帶)2） 。用同樣的方法計算得3）?？伤愕孟到y(tǒng)過阻尼，無超調(diào)。動態(tài)性能指標(biāo)只有3.3.3改善二階系統(tǒng)性能的措施通過對二階系統(tǒng)的分析得知，系統(tǒng)三方面性能對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)的要求往往是矛盾的。工程中，通過在系統(tǒng)中增加一些合適的附加裝置來改善二階系統(tǒng)的性能。

1.

比例微分控制圖3-12為采用比例微分控制的二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖3-12比例微分控制的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)(3-37)其中,(3-38)即有其中ξ′稱為等效阻尼比。

由上式可見，采用比例微分控制后，二階系統(tǒng)的阻尼比增大，超調(diào)量減少。同時，若傳遞函數(shù)中增加的零點合適，將使得系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts減少。另外，在單位斜坡輸入之下，即當(dāng)R(s)=1/s2時，由式(3-33)可以算得與沒有采用比例微分控制的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)相同。

設(shè)沒有采取性能改善措施之前，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-13中曲線a所示,則采用比例微分控制后系統(tǒng)性能的改善如圖3-13中曲線b所示。圖3-13不同控制對二階系統(tǒng)性能的改善圖3-14加微分負(fù)反饋的二階系統(tǒng)

2.微分負(fù)反饋控制在二階系統(tǒng)中加入微分負(fù)反饋環(huán)節(jié)，如圖3-14所示。這時系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)(3-39)其中,2ωnξ′=2ξωn+τω2n即有(3-40)

其中ξ′稱為等效阻尼比。由上式可見，與加微分負(fù)反饋之前相比，系統(tǒng)的阻尼比增大，超調(diào)量減少，平穩(wěn)性變好。ξ較小時，在ωn不變的前提下，阻尼比的加大將使ts減少。另外，若輸入為單位斜坡信號，即當(dāng)R(s)=1/s2時，由式(3-33)可以算得

比標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)增加了τ。3.4高階系統(tǒng)的時域分析

三階及三階以上的系統(tǒng)通常稱為高階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為改寫為零、極點形式:

其中,s=z1,z2,...,zm為Φ(s)的零點；s=s1,s2,...,sn為Φ(s)的極點。設(shè)輸入為則有無重極點時，可寫成部分分式:對上式求拉氏反變換，得輸出響應(yīng)為(3-41)

式(3-41)中的A0表示由輸入引起的輸出穩(wěn)態(tài)分量；其他各項表示輸出瞬態(tài)分量。它們衰減的快慢取決于各項所對應(yīng)極點的負(fù)實部值（實部為正時系統(tǒng)不穩(wěn)定）。據(jù)待定系數(shù)法可求得對應(yīng)于負(fù)實數(shù)極點si的瞬態(tài)分量(3-42)

可見，對應(yīng)的瞬態(tài)分量按指數(shù)衰減，其系數(shù)與該極點到零點的距離成正比，與該極點到其他極點的距離以及該極點到虛軸的距離成反比。對應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)極點sk、sk+1的瞬態(tài)分量為

,考慮到

sk=σ+jω,sk+1=σ-jωσ<0

同時，考慮到系數(shù)Ak、Ak+1也是共軛復(fù)數(shù)，可表示為因此，據(jù)尤拉公式,有(3-43)可見，對應(yīng)的是其振幅按指數(shù)衰減的正弦振蕩的瞬態(tài)分量。

由上述分析可以得出：

(1)高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)是由慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)所組成的。其中，穩(wěn)態(tài)分量由輸入控制信號所引起，瞬態(tài)分量的形式取決于傳遞函數(shù)的極點。

(2)極點的實部越負(fù)，即在s左半平面上離虛軸越遠(yuǎn)，則相應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減越快；反之，在s左半平面上離虛軸很近的極點，其對應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減就很慢，它在總的瞬態(tài)分量中占據(jù)主導(dǎo)地位。(3)如果系統(tǒng)中有一個極點或一對共軛復(fù)數(shù)極點離虛軸最近，且附近沒有零點離虛軸的距離比這一個或一對極點離虛軸的距離大5倍以上，則稱這一個或一對極點為主導(dǎo)極點，因為主導(dǎo)極點所決定的瞬態(tài)分量不僅持續(xù)時間長，而且初始幅值也大，故可將系統(tǒng)的響應(yīng)近似地看作是由主導(dǎo)極點所產(chǎn)生的。

(4)一個實際的高階系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)參數(shù)是確定的，不一定存在主導(dǎo)極點，但往往可以通過加入校正裝置，改變其結(jié)構(gòu)參數(shù)，使數(shù)個系統(tǒng)具有一對合適的共軛復(fù)數(shù)極點，因為此時系統(tǒng)的動態(tài)性能比較理想。3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件一個處于某平穩(wěn)狀態(tài)的線性定常系統(tǒng)，若在外部作用下偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)仍能回到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是去除外部作用后系統(tǒng)本身的一種恢復(fù)能力，所以是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與外作用及初始條件無關(guān)。設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為

又設(shè)則有其中si為特征方程的根。對上式求拉氏反變換，得系統(tǒng)輸出響應(yīng)為

其中，第一項為由輸入引起的輸出穩(wěn)態(tài)分量，其余各項為系統(tǒng)輸出的瞬態(tài)分量。顯然，一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，其輸出瞬態(tài)分量應(yīng)均為0。由上式可知，要做到這一點，必須滿足所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件是系統(tǒng)所有特征根的實部小于零（或其特征方程的根都在s左半平面），即

Re［si］<0i=1，2，...,n

3.5.2勞斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)能夠告訴我們，在一個多項式方程中是否存在著正根，而不必實際求解這一方程。這一穩(wěn)定判據(jù)，只能用在只有有限項的多項式中。當(dāng)把這個判據(jù)應(yīng)用到控制系統(tǒng)時，根據(jù)特征方程的系數(shù)，可以直接判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。

根據(jù)穩(wěn)定的充分與必要條件，求得特征方程的根，就可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但對于高階系統(tǒng)，求解方程的根比較困難。如果僅僅判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可根據(jù)特征方程的各項系數(shù)來確定方程的根是否具有正實部，這就是勞斯穩(wěn)定判據(jù)的基本思想。勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各項系數(shù)，經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

a0sn+a1sn-1+...+an-1s+an=0根據(jù)特征方程的各項系數(shù)排列成下列勞斯表:sna0a2a4...sn-1a1a3a5...sn-2b31b32b33...sn-3b41b42b43...

…

…

…

…

s0bn+1

可見，表中前面兩行為隔取特征方程中系數(shù)所形成的，從第三行開始，各元素的計算按下述規(guī)律推算。以此類推，可求出各元素b31，…，bn+1。

勞斯穩(wěn)定判據(jù)

若特征方程式的各項系數(shù)都大于0（必要條件），且勞斯表中第一列元素均為正值，則所有的特征根均位于s左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且第一列元素符號改變的次數(shù)等于特征方程正實部根的個數(shù)。

例3.3

已知系統(tǒng)的特征方程

s4+2s3+3s2+4s+5=0

試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由勞斯陣列表可見，第一列元素的符號改變了兩次，表示有兩個正實部根，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。

例3.4系統(tǒng)如圖3-15所示。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定放大倍數(shù)K的取值范圍。圖3-15例3.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為列出勞斯陣列表：系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為即3.5.3兩種特殊情況如果勞斯表中某行的第一個元素為0，而該行中其余各元素不等于0或沒有其他元素，將使得勞斯表無法往下排列。此時，可用一個接近于零的很小的正常ε來代替零，完成勞斯表的排列。

例3.5

已知系統(tǒng)的特征方程

s3+2s2+s+2=0

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解勞斯陣列表為由于第一列中上方的元素與其下方的元素符號相同，表示該方程中有一對純虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。把上述方程分解成因式相乘的形式，即例3.6

設(shè)系統(tǒng)的特征方程為可見，表中第一列元素的符號變化了兩次。由勞斯判據(jù)可知，該方程有兩個根在右半平面。勞斯陣列表為上述結(jié)論也可用因式分解的方法來驗證。把原方程改寫為即 而驗證了勞斯判據(jù)所得結(jié)論的正確性。如果勞斯表中某一行的元素全為零，表示相應(yīng)方程中含有大小相等、符號相反的實根和（或）共軛根。此時，應(yīng)以上一行的元素來構(gòu)成一輔助多項式，該多項式對求導(dǎo)后，所得多項式的系數(shù)即可用來取代全零行。同時，由輔助方程可以求得這些根。例3.7

某控制系統(tǒng)的特征方程為試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯表為用系數(shù)8和24代替全零行中的0元素，并將勞斯陣列表排列完。

3.5.4勞斯穩(wěn)定判據(jù)在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)在線性控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用是有一定局限性的，這主要是因為這種判據(jù)不能指出如何改善系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和如何使不穩(wěn)定的系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。但是，它可以確定一個或兩個系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。下面我們將考慮如何確定參數(shù)值的穩(wěn)定范圍的問題。如圖3-16所示的系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程式為

Ts3+s2+K=0圖3-16結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1.改變環(huán)節(jié)的積分性質(zhì)可用比例反饋來包圍有積分作用的環(huán)節(jié)。例如，在積分環(huán)節(jié)外面加單位負(fù)反饋，見圖3-17，這時，環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)變?yōu)閺亩乖瓉淼姆e分環(huán)節(jié)變成了慣性環(huán)節(jié)。圖3-17積分環(huán)節(jié)外加單位反饋

圖3-17所示系統(tǒng)中的一個積分環(huán)節(jié)加上單位負(fù)反饋后，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)變成了系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程式：

Ts3+(1+T)s2+s+K=0勞斯表:根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為

即所以，K的取值范圍為可見，此時只要適當(dāng)選取K值就可使系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.加入比例微分環(huán)節(jié)

如圖3-18所示，在前述結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)的前向通道中加入比例微分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)閳D3-18系統(tǒng)中加入比例微分環(huán)節(jié)勞斯表：系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為即可見，此時只要適當(dāng)選取系統(tǒng)參數(shù)，便可使系統(tǒng)穩(wěn)定。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度的性能指標(biāo)。系統(tǒng)的誤差定義為期望值與實際值之差。通常系統(tǒng)的輸入量和輸出量為不同的物理量，因此系統(tǒng)的誤差不能直接用它們的差值來表示，而是用輸入量與反饋量的差值來定義，即

e(t)=r(t)-b(t)

給定信號作為期望值，反饋信號作為實際值。對于單位反饋系統(tǒng)來說，反饋量b(t)就等于輸出量c(t)。穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差值。即穩(wěn)態(tài)誤差可分為由給定信號引起的誤差和由擾動信號引起的誤差兩種,下面分別討論。

3.6.1給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及誤差系數(shù)考慮給定信號R(s)的作用時，設(shè)擾動信號N(s)=0?？刂葡到y(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖3-19所示。圖3-19控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)根據(jù)圖3-19可得誤差函數(shù)的拉氏變換為(3-44)根據(jù)終值定理得(3-45)設(shè)系統(tǒng)輸入的一般表達(dá)式為(3-46)其中N為輸入信號的階次。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為(3-47)

根據(jù)式(3-45)、(3-46)和(3-47)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可表示為(3-48)

也可根據(jù)系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)來計算系統(tǒng)在不同輸入信號之下的穩(wěn)態(tài)誤差，下面作一介紹。

1.靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

設(shè)階躍輸入信號r(t)=R01(t)，相應(yīng)的拉氏變換式為R(s)=R0/s，由式(3-45)有定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)(3-49)則(3-50)另外，將式(3-47)代入式(3-49),得(3-51)由式（3-50）和式（3-51）可得以下結(jié)論：圖3-20階躍響應(yīng)曲線2.

靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

設(shè)斜坡輸入信號為r(t)=v0t，相應(yīng)的拉氏變換式為R(s)=v0/s2，由式(3-45)有定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)(3-52)則(3-53)另外，將式(3-47)代入式(3-52),得(3-54)由式(3-53)和(3-54)可得以下結(jié)論：ν=0時，Kv=0,essr=∞ν=1時，Kv=K,essr=ν≥2時，Kv=∞,essr=0可見，在階躍輸入作用下，僅0型系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差，其大小與階躍輸入的幅值成正比，與系統(tǒng)的開環(huán)增益近似成反比。對I型及I型以上系統(tǒng)來說，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。圖3—20給出了不同型別時系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。圖3-21不同型別時系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)曲線3.靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

設(shè)拋物線輸入信號相應(yīng)的拉氏變換式為由式（3-45）有定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)（3-55

)（3-56

)（3-57

)則另外，將式（3-47）代入式（3-55）,得由式（3-56）和（3-57）可得以下結(jié)論：ν≤1時，Ka=0,essr=∞ν=2時，Ka=K,essr=ν≥3時，Ka=∞,essr=0圖3-22拋物線輸入信號作用下的響應(yīng)曲線例3.8

已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-23所示。求時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-23例3.8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為3.6.2擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差考慮擾動信號N(s)的作用時，設(shè)R(s)=0，則圖3-19所示系統(tǒng)可表示成如圖3-24所示的形式。

擾動信號引起的誤差用en（t）來表示，其拉氏變換為圖3-24擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)G1(s)G2(s)H(s)>>1時，上式可近似為(3-58)根據(jù)終值定理，擾動作用之下的穩(wěn)態(tài)誤差為(3-59)例3.9

設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-19所示，其中又設(shè)

r(t)=2t，n(t)=0.5×1(t)求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為3.6.3改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差主要是由積分環(huán)節(jié)的個數(shù)和放大系數(shù)來確定的。為了提高精度等級，可增加積分環(huán)節(jié)的數(shù)目;為了減小有限誤差，可增加放大系數(shù)。但這樣一來都會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。而采用補(bǔ)償?shù)姆椒?，則可在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下減小穩(wěn)態(tài)誤差。

1.引入輸入補(bǔ)償

系統(tǒng)如圖3-25所示，為了減小由給定信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差，從輸入端引入一補(bǔ)償環(huán)節(jié)Gc（s），這時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為圖3-25引入輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合系統(tǒng)

可見，若使1-Gc（s）G2（s）=0，則E（s）=0。即取(3-60)

圖3-26引入擾動補(bǔ)償2.引入擾動補(bǔ)償系統(tǒng)如圖3-26所示，為了減小擾動信號引起的誤差，利用擾動信號經(jīng)過Gc(s)來進(jìn)行補(bǔ)償。設(shè)R(s)=0，可見，要使E（s）=0，必須滿足(3-61)即取就可實現(xiàn)完全補(bǔ)償。習(xí)題3.1設(shè)溫度計需要在1min內(nèi)指示出響應(yīng)