第四節(jié)基本不等式高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標要求

目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

（1）基本不等式成立的條件是

?；（2）等號成立的條件是：當且僅當

時，等號成立；

提醒應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個

條件，就會出錯.a＞0，b＞0

a＝b

算術(shù)

幾何

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）

×√×

A.2B.3C.4D.5

√3.

（蘇教必修一P61練習(xí)1題改編）已知m＞0，n＞0，mn＝81，則m＋n

的最小值是（

）A.9B.18C.

9

D.27

√

1

5.

（人A必修一P46例3（2）改編）若把總長為20

m的籬笆圍成一個矩形

場地，則矩形場地的最大面積是

.

25

m2

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

基本不等式的常見變形（師生共研過關(guān)）

若0＜a＜b，則下列不等式一定成立的是（

）A.

b＞

＞a＞

B.

b＞

＞

＞aC.

b＞

＞

＞aD.

b＞a＞

＞

√

解題技法基本不等式的常見變形

〔多選〕已知a，b∈R，且ab≠0，則下列四個不等式中，恒成立的為

（

）A.

≥abB.

＋

≥2C.

ab≤（

）2D.

（

）2≤

√√√

利用基本不等式求最值（定向精析突破）考向1

配湊法

A.1B.2C.

2

D.3D

A.2B.4C.5D.6A

解題技法配湊法求最值的實質(zhì)及關(guān)鍵點

配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?，通過添項、拆項等方法湊

成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配

湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.考向2

常數(shù)代換法

A.1B.2C.4D.8

D（2）已知正數(shù)a，b滿足4a＋b＝ab，則a＋b的最小值為

?.

9

解題技法常數(shù)代換法求最值的基本步驟（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；（2）把確定的定值（常數(shù)）變形為1；（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積

為定值的形式；（4）利用基本不等式求最值.考向3

消元法

（人A必修一P58復(fù)習(xí)參考題5題改編）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋

b＋3，則a＋b的最小值為

?.6

解題技法消元法求最值的思路

當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消

去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式

求最值.

3.

（2024·安慶三模）若正數(shù)x，y滿足x2－2xy＋2＝0，則x＋y的最小值

是

?.

利用基本不等式解決實際問題（師生共研過關(guān)）

某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形ABCD，如圖）上設(shè)

計三個等高的宣傳欄（欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯

形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為1

440

cm2.為了美觀，要求

海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2

cm.當直角梯形的高為

多少cm時，用紙量最少（即矩形ABCD的面積最?。?/p>

解題技法利用基本不等式解決實際問題的策略（1）根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的

最值；（2）解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍；（3）在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單

調(diào)性求解.

近年來冬季氣候干燥，冷空氣頻繁襲來，為提高公民的取暖水平，某社

區(qū)決定建立一個取暖供熱站.已知供熱站每月自然消費與供熱站到社區(qū)的

距離成反比，每月供熱費與供熱站到社區(qū)的距離成正比，如果在距離社區(qū)

20千米處建立供熱站，這兩項費用分別為5千元和8萬元，那么要使這兩項

費用之和最小，供熱站到社區(qū)的距離應(yīng)為（

）A.5千米B.6千米C.7千米D.8千米√

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

A.

x≥2yB.

x＞2yC.

x≤2yD.

x＜2y

√123456789101112131415162.

已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，則ab的最大值為（

）A.

B.4C.

D.2

√12345678910111213141516

A.4B.6C.8D.9√

123456789101112131415164.

要制作一個容積為4

m3，高為1

m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面

造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價

是（

）A.80元B.120元C.160元D.240元√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.3B.

C.4D.

√123456789101112131415166.

〔多選〕已知a＞0，b＞0，則下列命題正確的是（

）A.

若ab≤1，則

＋

≥2B.

若a＋b＝4，則

＋

的最小值為4C.

若a2＋b2＝4，則ab的最大值為2D.

函數(shù)y＝a＋

的最小值為1√√√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

〔多選〕（2024·甘肅高考診斷考試）已知a＞0，b＞0，若a＋2b＝

1，則（

）A.

ab的最大值為

B.

a2＋b2的最小值為1C.

＋

的最小值為8D.

2a＋4b的最小值為2

√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

16

123456789101112131415169.

已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：（1）xy的最小值；

12345678910111213141516（2）x＋y的最小值.

12345678910111213141516

A.1B.

C.

D.2

√12345678910111213141516

A.

m＜－2或m≥4B.

m＜－4或m≥2C.

－2＜m＜4D.

－4＜m＜2√12345678910111213141516

1234567891011121314151612.

〔多選〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的

是（

）A.

a＋b＋c≤

B.

（a＋b＋c）2≥3C.

＋

＋

≥2

D.

a2＋b2＋c2≥1√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）為了使全程運輸成本最低，貨車應(yīng)以多大的速度行駛？

12345678910111213141516

15.

（創(chuàng)新知識交匯）半徑為4的球面上有A，B，C，D四點，且滿足