第七節(jié)解三角形及其應用舉例

會運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些簡單的實

際問題.目錄CONTENTS123知識體系構建課時跟蹤檢測考點分類突破PART1知識體系構建必備知識系統(tǒng)梳理基礎重落實課前自修

1.兩座燈塔

A

和

B

與海岸觀察站

C

的距離相等，燈塔

A

在觀察站北偏

東40°，燈塔

B

在觀察站南偏東60°，則燈塔

A

在燈塔

B

的（

）A.北偏東10°B.

北偏西10°C.南偏東10°D.

南偏西10°解析：

燈塔

A

，

B

的相對位置如圖所示，由已知得∠

ACB

＝

80°，∠

CAB

＝∠

CBA

＝50°，則α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，

故選B.2.為測量某塔

AB

的高度，在一幢與塔

AB

相距30m的樓的樓頂

C

處測

得塔頂

A

的仰角為30°，測得塔基

B

的俯角為45°，則塔

AB

的高度

為

?m.

3.如圖，在高速公路建設中需要確定隧道的長度，工程技術人員已測

得隧道兩端的兩點

A

，

B

到點

C

的距離

AC

＝

BC

＝1km，且

C

＝

120°，則

A

，

B

兩點間的距離為

?km.

PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練解三角形的應用舉例考向1

測量距離問題【例1】

如圖，為了測量

A

，

C

兩點間的距離，選取同一平面上

B

，

D

兩點，測出四邊形

ABCD

各邊的長度（單位：km）：

AB

＝5，

BC

＝8，

CD

＝3，

DA

＝5，且角

B

與角

D

互補，則

AC

的長為（

）A.7kmB.8km

C

.

9kmD.6km

解題技法測量距離問題的類型及解法（1）類型：①兩點間可視但不可達；②兩點間既不可視也不可達.（2）解法：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求

某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解.

A.346B.373

C

.

446D.473

解題技法測量高度問題的三個注意點（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；（2）在實際問題中，若遇到空間與平面（地面）同時研究的問題，

最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形；（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題.

30°

解題技法測量角度問題的求解策略（1）測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問

題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正、余弦定

理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解；（2）方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄

清楚是哪一個點的方向角.

1.（2021·全國乙卷9題）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關于測

量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海島的高.如圖，點

E

，

H

，

G

在

水平線

AC

上，

DE

和

FG

是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的

高度，稱為“表高”，

EG

稱為“表距”，

GC

和

EH

都稱為“表目

距”，

GC

與

EH

的差稱為“表目距的差”，則海島的高

AB

＝（

）A.

＋表高B.

－表高C.

＋表距D.

－表距

A.

A

處與

D

處之間的距離是24nmileB.燈塔

C

與

D

處之間的距離是16nmileC.燈塔

C

在

D

處的西偏南60°D.

D

在燈塔

B

的北偏西30°

三角形中的最值（范圍）問題【例4】

在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

所對的邊分別為

a

，

b

，

c

，

sin2

A

－sin2

B

－sin2

C

＝sin

B

sin

C

.

（1）求

A

；

（2）若

BC

＝3，求△

ABC

周長的最大值.

解題技法三角形中最值（范圍）問題的解題策略

利用正、余弦定理以及周長（面積）公式化簡整理，構造關于某

一個角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)或基本不等

式求最值（范圍）.

A.

B.

C

.

D.

解三角形與三角函數(shù)的綜合問題

（1）求函數(shù)

f

（

x

）的對稱中心及

f

（

x

）在[0，π]上的單調(diào)遞增

區(qū)間；

解題技法解三角形與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟

（1）求

f

（

x

）的最小正周期及對稱軸方程；

PART3課時跟蹤檢測關鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習

1.一艘船航行到點

A

處時，測得燈塔

C

與其相距30海里，如圖所示.隨

后該船以20海里/小時的速度，沿直線向東南方向航行1小時后到達

點

B

，測得燈塔

C

在其北偏東25°方向，則sin∠

ACB

＝（

）A.

sin70°B.

sin75°C.

cos70°D.

12345678910111213141516

123456789101112131415162.彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬

縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學為測量彬塔的高度

AB

，選取了與塔底

B

在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點

C

與

D

，現(xiàn)測得∠

BCD

＝15°，∠

BDC

＝135°，

CD

＝20m，在點

C

測得塔頂

A

的仰角為60°，則塔高

AB

＝（

）A.30mB.20

mC.20

mD.20

m12345678910111213141516

123456789101112131415163.已知燈塔

A

在海洋觀測站

C

的北偏東20°的方向上，

A

，

C

兩點間的

距離為5海里.某時刻貨船

B

在海洋觀測站

C

的南偏東40°的方向上，

此時

B

，

C

兩點間的距離為3海里，該時刻貨船

B

與燈塔

A

間的距離

為（

）A.3海里B.4海里C.6海里D.7海里12345678910111213141516解析：

根據(jù)題意畫出簡圖，如圖所示，可知∠

BCA

＝180°－

（40°＋20°）＝120°，在△

ABC

中，

AC

＝5，

BC

＝3，

AB

2＝

BC

2

＋

AC

2－2·

BC

·

AC

·cos∠

BCA

＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49，解

得

AB

＝7，故選D.123456789101112131415164.設

l

，

l

＋1，

l

＋2是鈍角三角形的三邊長，則

l

的取值范圍是

（

）A.0＜

l

＜1B.1＜

l

＜3C.3＜

l

＜4D.4＜

l

＜6

123456789101112131415165.在△

ABC

中，內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，且sin

B

＋

sin

C

＝2sin

A

，則

A

的最大值為（

）A.

B.

C.

D.

12345678910111213141516

123456789101112131415166.（多選）銳角△

ABC

的內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，若

b

＝

c

－2

b

cos

A

，則（

）A.

A

＝2

B

B.

B

的取值范圍是（0，

）C.若

b

＝3，

c

＝4，則

a

＝

D.

的取值范圍是（

）12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

5

12345678910111213141516

123456789101112131415168.在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，已知cos2

A

＋

cos2

B

－cos2

C

＝1－2sin

A

sin

B

.

（1）求角

C

的大??；12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）求sin

A

＋sin

B

＋sin

C

的取值范圍.

12345678910111213141516

9.某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，海軍艦艇在

A

處獲悉

后，立即測出該漁輪在方位角為45°距離為10海里的

C

處，并測得

漁輪正沿方位角為105°的方向，以9海里/小時的速度向小島靠攏，

海軍艦艇立即以21海里/小時的速度前去營救，則艦艇靠近漁輪所需

的時間為（

）A.

小時B.

小時C.

小時D.1小時12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

B.

C

.

3

D.3

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.△

ABC

是等邊三角形B.若

AC

＝2

，則

A

，

B

，

C

，

D

四點共圓C.四邊形

ABCD

面積最大值為

＋3D.四邊形

ABCD

面積