第8講函數(shù)的奇偶性一、函數(shù)的奇偶性的定義二、函數(shù)的奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)①對(duì)稱性：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)都必須成立；⑤奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；⑥可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。三、函數(shù)奇偶性的重要結(jié)輪①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．②，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論:偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)為偶函數(shù)．四、函數(shù)的奇偶性的判斷方法①定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；【例題1】【答案】C【答案】C【分析】求出函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，對(duì)選項(xiàng)ABCD分別進(jìn)行判斷即可得．故選：C．【練習(xí)】1、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)【答案】C奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)所以選C2、【多選】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）【答案】AB3、【多選】下列對(duì)函數(shù)奇偶性判斷正確的是（）【答案】AD【答案】奇函數(shù)【例題2】【答案】【練習(xí)】【答案】（2）求出解析式.（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可求出函數(shù)解析式.；【例題3】1、函數(shù)f(x)=x3?A．B．C．D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性即可求解.【解答過程】因?yàn)閒(x)=x所以f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，1x為減函數(shù)，x3為增函數(shù)，故故選：B.2、已知函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，則函數(shù)fx的解析式可能為（A．fx=?2C．fx=?2x【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.【解答過程】由圖可知，函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；由圖可知，函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集.故排除B；由圖可知，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→?而對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→0故選：A.【練習(xí)】A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性及函數(shù)值的正負(fù)即可區(qū)分選項(xiàng).故選：A2、心形代表浪漫的愛情，人們用它來向所愛之人表達(dá)愛意.一心形作為建筑立面造型，呈現(xiàn)出優(yōu)雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，營(yíng)造出一個(gè)精神和自然聚合的空間.圖是由此抽象出來的一個(gè)“心形”圖形，這個(gè)圖形可看作由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（

）【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性和最值排除錯(cuò)誤答案即可.不符合題意，故B錯(cuò)誤；故選：C.【例題4】已知函數(shù)fx是定義在?2,2上的奇函數(shù)，滿足f1=15（1）求函數(shù)fx（2）判斷fx（3）解不等式f(2x?1)+f(x)<0．【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f0=0，即可求出b，再由f1=15求出（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）結(jié)合奇偶性與單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【解答過程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在?2,2上的奇函數(shù)，所以f0=0，即b因?yàn)閒(1)=15，所以f(?1)=?1所以當(dāng)?2<x≤0時(shí)，f(x)=x當(dāng)0<x<2時(shí)，?2<?x<0，則f(x)=?f(?x)=??x綜上所述，f(x)=x（2）函數(shù)fx在?2,2證明：任取x1,x則f=x==(∵?2<x∴(x2故f(x)=xx2（3）因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在?2,2所以f(2x?1)+f(x)<0?f(x)<?f(2x?1)?f(x)<f(1?2x)，又由（2）知f(x)=xx2所以x<1?2x?2<x<2?2<2x?1<2，解得故原不等式的解集為x|?1【練習(xí)】1、已知函數(shù)fx=x（1）判斷函數(shù)fx（2）用定義法證明：函數(shù)fx在?2,2（3）求不等式ft【解題思路】（1）根據(jù)f?x（2）任取x1,x2∈(?2,2)（3）先得到f(x)=x4?x【解答過程】（1）由f?x+fx=?x（2）任取x1,xfx因?yàn)閤1,x故x1?x2<0，x1x所以x1?x故函數(shù)f(x)在(?2,2)上單調(diào)遞增；（3）由（1）（2）f(x)=x4?xf(t)+f(1?2t)>0變形為f(t)>?f(1?2t)=f2t?1則要滿足?2<2t?1<2?2<t<2t>2t?1，解得：故不等式的解集為t?【例題5】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷fx（3）當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，fx【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義即可求得a=?1;（2）利用單調(diào)性定義按步驟進(jìn)行證明即可；（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為不等式k<x+1x在x>0時(shí)恒成立問題，再由基本不等式即可得出實(shí)數(shù)【解答過程】（1）因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)fx所以f0=1+a所以fx故a=?1；（2）fx在R因?yàn)閒x任取x1所以2x則fx所以fx所以fx在R（3）由（2）得fx在0,+又x∈0,+∞時(shí)，所以fx所以x2則k<x+1x在由基本不等式可知x+1x≥2所以k<2，故k的范圍為{k∣k<2}．【練習(xí)】1、已知fx=bx+c4+x2是定義在（1）求fx（2）設(shè)函數(shù)gx=x2?2mx+4m∈R【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)fx為奇函數(shù)，由f0=0，求得c=0，再由f1=1（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為gx2min<fx1min，根據(jù)函數(shù)fx的單調(diào)性，求得最小值為1，進(jìn)而得到【解答過程】（1）解：因?yàn)閒x是定義在?2,2上的函數(shù)，若滿足f所以函數(shù)fx為奇函數(shù)，所以f0=c4又因?yàn)閒1=1，可得f1=b此時(shí)fx=5x所以函數(shù)fx的解析式為f（2）解：對(duì)?x1∈1,2,?不妨設(shè)1≤x1<因?yàn)?≤x1<所以fx2?f所以函數(shù)fx=5x4+x又由gx=x2?2mx+4<1在1,2令x2+3x=x+3所以2m>23，解得m>3，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為2、已知函數(shù)f(x)=x（1）求f(1)，f(2)的值；（2）設(shè)a＞b＞1，試比較f（a），f（b）的大小，并說明理由；（3）若關(guān)于x的不等式f(x?1)≥2(x?1)+2x?1+m【解題思路】（1）代值即可求解；（2）采用作差法得fa（3）將條件化簡(jiǎn)得x2?4x+3?m≥0對(duì)一切x恒成立，即【解答過程】（1）因?yàn)閒x=x2+（2）fafa?f因?yàn)閍>b>1，則a+b>2，ab>1，所以2ab<2，即a+b?2所以a?ba+b?2ab（3）因?yàn)楹瘮?shù)fx=x化簡(jiǎn)可得x2?4x+3?m≥0對(duì)一切所以Δ=42所以m的取值范圍為?∞,?1.課堂檢測(cè)1、下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A．fx=xC．fx=x【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可.【解答過程】對(duì)于A，因?yàn)閒x=x2+1的定義域?yàn)镽對(duì)于B，因?yàn)閒x=x3?1的定義域?yàn)镽對(duì)于C，因?yàn)閒x=x3+1x對(duì)于D，因?yàn)閒x=x4+2x2故選：C.2、下面四個(gè)結(jié)論中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)＝0(x∈R)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，但不一定與y軸相交，因此①錯(cuò)，③正確；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定通過原點(diǎn)，只有在原點(diǎn)處有定義才通過原點(diǎn)，因此②錯(cuò)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C4、若函數(shù)fx=x?xA．fx+1?2 B．fx?1?2 C．【解題思路】變形得到fx=x+1+1【解答過程】因?yàn)閒x所以fx?1由于gx=x+1又g?x故gx=x+1其他選項(xiàng)均不合要求.故選：C．5、已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fx=x2A．19 B．?19 C．1 D．?1【解題思路】利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f故選：D.6、已知函數(shù)fx=x2?1A．0 B．1 C．?1 D．2【解題思路】利用奇函數(shù)定義，列式計(jì)算即得.【解答過程】由函數(shù)fx是奇函數(shù)，得fx+f?x=0函數(shù)f(x)=x2?1所以a=0.故選：A.7、函數(shù)fx=xA．

B．

C．

D．

【解題思路】先判斷x>0時(shí)函數(shù)fx的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)C，D；再判斷當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)f【解答過程】當(dāng)0<x<1時(shí)，fx=x+1x，此時(shí)當(dāng)x>1時(shí)，fx=x+1x，此時(shí)且x>0時(shí)，fx由此可知C，D選項(xiàng)中圖象錯(cuò)誤；當(dāng)x<0時(shí)，fx=?x+1x，此時(shí)故選項(xiàng)A中圖象不合題意，又f(?1)=0，故B中圖象符合題意，故選：B.8、函數(shù)fx=xA．B．C．D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性、在2,+∞上的單調(diào)性、函數(shù)值f【解答過程】由題fx定義域?yàn)?∞,0故fx當(dāng)x>2時(shí)，fx又y=x是增函數(shù)，y=?4x在故fx=x?4故選：D.【答案】A【答案】B得函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，故選：B課后作業(yè)1、設(shè)函數(shù)fx=1?A．fx是奇函數(shù)，f1x=?fxC．fx是偶函數(shù)，f1x=?fx【解題思路】利用奇偶性的定義判定函數(shù)的奇偶性，由解析式計(jì)算一一判定選項(xiàng)即可.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)表達(dá)式為fx=1?所以f?x=1?又f1故選：C.【答案】AB故選：AB.3、函數(shù)fx是一個(gè)偶函數(shù)，gx是一個(gè)奇函數(shù)，且fx+gxA．1x2?1 B．2x2x【解題思路】由fx+gx=1x?1可得出f?x【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx是偶函數(shù)，函數(shù)gx為奇函數(shù)，則f?x由fx+gx=1所以，fx+gx=1故選：A.4、已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=x2+2x，則x>0時(shí)A．f(x)=?x2?2xC．f(x)=?x2+2x【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在R當(dāng)x>0時(shí)，?x<0，f(?x)=x2?2x=?f故選：C.5、若奇函數(shù)fx和偶函數(shù)gx滿足fx+gxA．73 B．83 C．193【解題思路】根據(jù)題意，用?x代替x，得到?fx+gx=3【解答過程】由fx+gx=3x+因?yàn)閒x是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，所以聯(lián)立fx+gx=3所以f1=73，故選：D．6、已知函數(shù)y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，fx=x2+aA．?3 B．3 C．13 D．【解題思路】借助奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【解答過程】f3=?8=?f?3故f?3=?3故選：B.7、已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fx為減函數(shù)，且f2=0，那么不等式A．?2,0∪0,2 C．?∞,?2∪【解題思路】確定函數(shù)在?∞【