二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定定理[對應學生用書P21]1．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(1)圓的內(nèi)接四邊形對角互補．如圖：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角．如圖：∠CBE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一外角，則有：∠CBE＝∠D.2．圓內(nèi)接四邊形的判定(1)判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓．(2)推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．[對應學生用書P21]圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)[例1]如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.求證：∠DEA＝∠DFA.[思路點撥]本題主要考查圓內(nèi)接四邊形判定及性質(zhì)的應用．解題時，只需證A，D，E，F(xiàn)四點共圓后可得結論．[證明]連接AD.因為AB為圓的直徑，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A，D，E，F(xiàn)四點共圓．所以∠DEA＝∠DFA.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即對角互補，一個外角等于其內(nèi)角的對角，可用來作為三角形相似的條件，從而證明一些比例式的成立或證明某些等量關系．1．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度數(shù)比為4∶3∶5，求四邊形各角的度數(shù)．解：設∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為4x,3x,5x，則由∠A＋∠C＝180°，可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°.∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.2．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AD，BC相交于點E，點F是BD的延長線上的點，且DE平分∠CDF.(1)求證：AB＝AC；(2)若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的長．解：(1)證明：∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4.∴AB＝AC.(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB.∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AB).∵AB＝AC＝3，AD＝2，∴AE＝eq\f(AB2,AD)＝eq\f(9,2).∴DE＝eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2)(cm).圓內(nèi)接四邊形的判定[例2]如圖，在△ABC中，E，D，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點，且AP⊥BC于P.求證：E，D，P，F(xiàn)四點共圓．[思路點撥]可先連接PF，構造四邊形EDPF的外角∠FPC，證明∠FPC＝∠C，再證明∠FPC＝∠FED即可．[證明]如圖，連接PF，∵AP⊥BC，F(xiàn)為AC的中點，∴PF＝eq\f(1,2)AC.∵FC＝eq\f(1,2)AC，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E、F、D分別為AB，AC，BC的中點．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四邊形EDCF為平行四邊形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F(xiàn)四點共圓．證明四點共圓的方法常有：①如果四點與一定點等距離，那么這四點共圓；②如果四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；③如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓；④如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等且在公共邊的同側，那么這兩個三角形的四個頂點共圓．3．判斷下列各命題是否正確．(1)任意三角形都有一個外接圓，但可能不只一個；(2)矩形有唯一的外接圓；(3)菱形有外接圓；(4)正多邊形有外接圓．解：(1)錯誤，任意三角形有唯一的外接圓；(2)正確，因為矩形對角線的交點到各頂點的距離相等；(3)錯誤，只有當菱形是正方形時才有外接圓；(4)正確，因為正多邊形的中心到各頂點的距離相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于點F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于點G.求證：(1)D、E、F、G四點共圓；(2)G、B、C、F四點共圓．證明：(1)如圖，連接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中點到D、E、F、G四點距離相等，∴D、E、F、G四點共圓．(2)連接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四點共圓，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四點共圓.圓內(nèi)接四邊形的綜合應用求證：PM⊥CD.[思路點撥]⊙O1與⊙O2相交，考慮連接兩交點A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直徑，考慮連接AE或BE得90°的圓周角；要證PM⊥CD，再考慮證角相等．分別連接AB，AE，∵A、B、C、D四點共圓，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四點共圓，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四點共圓．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直徑，∴EA⊥PA.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.此類問題綜合性強，知識點豐富，解決的辦法大多是先判斷四點共圓，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明或求得某些結論成立．5.如圖，P點是等邊△ABC外接圓的上一點，CP的延長線和AB的延長線交于點D，連接BP.求證：(1)∠D＝∠CBP；(2)AC2＝CP·CD.證明：(1)∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四邊形ABPC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.(2)由(1)知△BCP∽△DCB，∴eq\f(BC,DC)＝eq\f(CP,CB).∴CB2＝CP·CD.又CB＝AC，∴AC2＝CP·CD.6．如圖，在正三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝eq\f(1,3)BC，CE＝eq\f(1,3)CA，AD，BE相交于點P.求證：(1)四點P，D，C，E共圓；(2)AP⊥CP.解：(1)證明：在△ABC中，由BD＝eq\f(1,3)BC，CE＝eq\f(1,3)CA知：△ABD≌△BCE，即∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180°，所以四點P，D，C，E共圓．(2)如圖，連接DE.在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由余弦定理知∠CED＝90°.由四點P，D，C，E共圓知，∠DPC＝∠DEC，所以AP⊥CP.[對應學生用書P24]一、選擇題1．設四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，現(xiàn)給出四個關系式：①sinA＝sinC，②sinA＋sinC＝0，③cosB＋cosD＝0，④cosB＝cosD.其中恒成立的關系式的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：因為圓內(nèi)接四邊形的對角互補，故∠A＝180°－∠C，且∠A，∠C均不為0°或180°，故①式恒成立，②式不成立．同樣由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．④式只有當∠B＝∠D＝90°時成立．答案：B2．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不對解析：由四邊形ABCD內(nèi)接于圓，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，從而只有B符合題意．答案：B3．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為AB的延長線上一點，∠CBE＝40°，則∠AOC等于()A．20° B．40°C．80° D．100°解析：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且∠CBE＝40°，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)知∠D＝∠CBE＝40°，又由圓周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C4．已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，下列結論中正確的有()①如果∠A＝∠C，則∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，則四邊形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角與∠C的外角互補；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：由“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”可知：①相等且互補的兩角必為直角；②兩相等鄰角的對角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互補兩內(nèi)角的外角也互補；④兩組對角之和的份額必須相等(這里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正確，②④錯誤．答案：B二、填空題5．(2014·陜西高考)如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則EF＝________.解析：∵B，C，F(xiàn)，E四點在同一個圓上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(EF,BC)，即eq\f(1,2)＝eq\f(EF,6)，∴EF＝3.答案：36．如圖，直徑AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，則AC＝______，BD＝________.解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝6.又∵CD平分∠ACB.即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.∴BD＝eq\r(\f(AB2,2))＝5eq\r(2).答案：65eq\r(2)7．如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，若∠C＝34°，則∠AOB＝________，∠ADB＝________.解析：∵∠C和∠AOB分別是所對的圓周角與圓心角，∴∠AOB＝2∠C＝68°.∵周角是360°，劣弧AB的度數(shù)為68°，∴優(yōu)弧AB的度數(shù)為292°.∴∠ADB＝eq\f(1,2)×292°＝146°.答案：68°146°三、解答題8.已知：如圖，E、F、G、H分別為菱形ABCD各邊的中點，對角線AC與BD相交于O點，求證：E，F(xiàn)，G，H共圓．證明：法一：連接EF、FG、GH、HE.∵E、F分別為AB、BC的中點，∴EF∥AC.同理EH∥BD.∴∠HEF＝∠AOB.∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90°.同理∠FGH＝90°.∴∠HEF＋∠FGH＝180°.∴E、F、G、H共圓．法二：連接OE、OF、OG、OH.∵四邊形ABCD為菱形．∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA.∵E、F、G、H分別為菱形ABCD各邊的中點，∴OE＝eq\f(1,2)AB，OF＝eq\f(1,2)BC，OG＝eq\f(1,2)CD，OH＝eq\f(1,2)DA.∴OE＝OF＝OG＝OH.∴E，F(xiàn)，G，H在以O點為圓心，以OE為半徑的圓上．故E，F(xiàn)，G，H四點共圓．9.如圖，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC＝ED.(1)證明：CD∥AB；(2)延長CD到F，延長DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點共圓．證明：(1)因為EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因為A，B，C，D四點在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA.故ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因為EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝∠GEC.連接AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F(xiàn)四點共圓．(1)求∠ACB.(2)求△ABD的最大面積．解：(1)連接OA、OB，作OE⊥AB，E為垂足，則AE＝BE.Rt△AOE中，OA＝2.AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)＝eq\r(3).所以sin∠AOE＝eq\f(AE,OA)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠A