第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市林甸一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=1,a(2sinB?3cosC)=3ccosA，點G是△ABC的重心，且AG=A.3 B.32 C.3或22.已知復(fù)數(shù)z=(3i?1)(1?i)i2019(i為虛數(shù)單位)A.z的虛部為?2i B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限

C.z的共軛復(fù)數(shù)z?=4?2i 3.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，則該平面圖形的高為(

)

A.22 B.2 C.44.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，對于下列四個命題：

①m?α，n?α，m//β，n/?/β?α/?/β②n/?/m，n?α?m/?/α

③α/?/β，m?α，n?β?m/?/n④m/?/α，n?α?m/?/n

其中正確命題的個數(shù)有(

)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個5.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M是對角線AC1上的點(點M與A、C1不重合)，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為(

)

①存在點M，使得平面A1DM⊥平面BC1D；

②存在點M，使得DM/?/平面B1CD1；

③若△A1DM的面積為SA.1個 B.2個 C.3個 D.4個6.已知三棱錐P?ABC的外接球的球心為O，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=4，PA=2，則球心O到平面PBC的距離為(

)A.13 B.63 C.7.已知向量a，b滿足|a|=2|b|=2，且|2aA.1 B.2 C.2 D.8.已知向量a=(cosπ3,sinA.?x∈R，|2a?3b|>1 B.?x∈(?∞,0)，使得(a+b)//b

C.?x∈[0,+∞),二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知O為△ABC的外心，b=8，c=5，△ABC的面積S滿足(b+c)2?a2=4A.S=103 B.|AO|=3310.若(1+i)n=(1?i)n，其中i為虛數(shù)單位，則A.104 B.106 C.108 D.10911.如圖，點M是正方體ABCD?A1B1C1DA.點M存在無數(shù)個位置滿足CM⊥AD1

B.若正方體的棱長為1，則三棱錐B?C1MD體積的最大值為13

C.在線段AD1上存在點M，使異面直線B1M與CD所成的角是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知二面角α?l?β的棱上有A，B兩點，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l.若AB=6，AC=3，BD=4，CD=7，則點D到平面α的距離是______．13.設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z1+z2|，14.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知向量m=(cosC,2cos2B2?1),n=(b,c?4a)且m?n=0.D為AC四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點F，G分別為線段PB，AD的中點．

(1)證明：AF//平面PGC；

(2)在線段BD上找一點H，使得FH/?/平面PGC，說明理由并求此時BHBD的值．16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，BC=BD=DC=23，AD=AB=PD=PB=2．

(1)若點E為PC的中點，M為DC的中點，求證：平面BEM//平面PAD；

(2)在棱PD上是否存在一點F，使得AF//平面PBC？若存在，請求出PFFD17.(本小題15分)

設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a=e1?2e2，b=e1+3e2．

(1)若4e1?3e218.(本小題17分)

已知銳角△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b(tanA+tanB)=2ctanB．

(1)求A的大??；

(2)若△ABC滿足cosAa+cosCc19.(本小題17分)

如圖，在海岸A北偏西75°方向，距離A為2海里的C處有一艘緝私艇，該緝私艇發(fā)現(xiàn)在C正東與C距離6海里的B處有一走私船，走私船正以10海里/時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.緝私艇奉命以103海里/時的速度攔截走私船．

(1)問緝私艇沿什么方向行駛才能最快攔截到走私船？求緝私艇沿最快攔截到走私船所需要的時間．

(2)若緝私艇最快在D處攔截到走私船，D位于A北偏東θ處，求D與A的距離及sinθ的值．參考答案1.D

2.D

3.C

4.A

5.C

6.B

7.B

8.A

9.AD

10.AC

11.ABD

12.213.?114.14

915.解：(1)證明：取PC得中點Q，連接QF，

因為F為PB的中點，

所以QF//BC，且QF=12BC，

又因為AG//BC，且AG=12BC，

所以QF//AG且QF=AG，

故四邊形AGQF是平行四邊形，

故AF//GQ，

又因為AF?平面PGC，GQ?平面PGC，

所以AF//平面PGC；

(2)連接AE，與BD相交于H，則H為BD的三等分點(靠近點B)，即為所求．

理由如下：在平行四邊形ABCD中，

因為E、G分別是BC、AD中點，

則AG//CE，AG=CE，

即四邊形AECG是平行四邊形，

于是得AE//CG，令CG∩BD=M，

則BH=HM=MD，

而AE?平面PCG，CG?平面PCG，

因此AE//平面PCG，

由(1)知EF//平面PCG，又AE∩EF=E，AE，EF?平面AEF，

于是得平面AEF//平面PCG，

又FH?平面AEF，

所以FH//平面PCG，且H為BD的三等分點(靠近點B)16.(1)證明：在等邊三角形BCD中，因為M為DC的中點，

所以BM⊥CD，

因為AD=AB=2，BD=23，

所以∠ADB=∠ABD=30°，

∠ADC=30°+60°=90°，即AD⊥CD，

所以BM//AD，

又BM?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BM//平面PAD，

又E為PC的中點，M為CD的中點，所以EM//PD，

又EM?平面PAD，PD?平面PAD，所以EM//平面PAD，

又EM∩BM=M，所以平面BEM//平面PAD．

(2)解：過A作AN//BC，交CD于N，再過N作NF//PC，交PD于F，連接AF，

則F即為所求，

由∠ABC=30°+60°=90°，可得∠NAB=90°，∠DAN=120°?90°=30°，

在直角三角形ADN中，ND=ADtan30°=233，

則CN=23?233=433，

所以DN：CN=1：2，

由NF//PC，可得PFFD=CNDN=2．

證明：當(dāng)PFFD=CNDN=2時，可得NF//PC，

NF?平面PBC，PC?平面PBC，可得NF//平面PBC，

又AN//BC，AN?平面PBC，17.解：(1)因為a=e1?2e2，b=e1+3e2，

所以λa+ub=(λ+μ)e1+(3μ?2λ)e2，

因為4e1?3e2=λa+ub，且e1，e2是不共線的非零向量，

所以由平面向量基本定理可得：λ+μ=418.(1)因為2sinC=sinB+cosBtanA，

所以2sinC=sinB+cosB?sinAcosA=sinBcosA+cosBsinAcosA=sin(B+A)cosA=sinCcosA，

所以2sinCcosA=sinC，因為C∈(0,π)，所以sinC>0，

所以cosA=12，又A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)因為cosAa+cosCc=sinAsinB3sinC，

在△ABC中，由正弦定理及余弦定理得b2+c2?a22abc+a2+b2?c22abc=3b6c，

所以2b22abc=19.(1)假設(shè)緝私艇最快在D處攔截到走私船，所需要的時間為t小時，

在△BCD中，CD=103t，BD=10t，∠CBD=120°，

由正弦定理知，CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，

所以103tsin120°=10tsin∠BCD，解得sin∠BCD=12，

因為0<∠BCD<60°，所以∠BCD=30°，

即緝私艇沿北偏東60°方向行駛才能最快攔截到走私船；

因為∠BCD=30°，∠