中考數(shù)學(xué)圓與三角形習(xí)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練一、核心考點(diǎn)梳理圓與三角形是中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)綜合模塊，其核心考點(diǎn)圍繞圓的基本性質(zhì)與三角形的幾何特征的結(jié)合展開(kāi)，具體包括：1.圓周角定理及其推論圓周角與圓心角的關(guān)系：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半；直徑的特殊性：直徑所對(duì)的圓周角為直角（反之，90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑）；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角。2.切線(xiàn)的性質(zhì)與判定性質(zhì)：切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（若有切線(xiàn)，必連半徑得垂直）；判定：①過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn)（連半徑，證垂直）；②到圓心距離等于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn)（作垂直，證半徑）。3.垂徑定理及其推論垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的兩條??；推論：平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，平分弦所對(duì)的弧。4.三角形的外接圓與內(nèi)切圓外接圓（外心）：三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等（半徑為\(R\)，直角三角形\(R=\frac{1}{2}\)斜邊）；內(nèi)切圓（內(nèi)心）：三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，到三邊距離相等（半徑為\(r\)，公式\(r=\frac{2S}{a+b+c}\)，\(S\)為三角形面積，\(a,b,c\)為邊長(zhǎng)）。5.圓與相似三角形的綜合常見(jiàn)相似模型：①弦切角定理（切線(xiàn)與弦的夾角等于弦所對(duì)圓周角）導(dǎo)致的相似；②公共角+圓周角相等導(dǎo)致的相似；③圓內(nèi)接四邊形外角與內(nèi)對(duì)角相等導(dǎo)致的相似。6.圓與銳角三角函數(shù)的應(yīng)用構(gòu)造直角三角形：通過(guò)直徑、垂徑定理或切線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段比（如弦長(zhǎng)、半徑、圓心距的關(guān)系）。二、題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練與解題策略題型一：圓周角與圓心角的關(guān)系問(wèn)題解題策略：明確弧的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圓周角與圓心角必須對(duì)應(yīng)同一段??；利用倍數(shù)關(guān)系：圓周角=?圓心角，直徑對(duì)應(yīng)90°圓周角；結(jié)合圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角。經(jīng)典例題（2023·湖北武漢）如圖，⊙O中，弧AB=弧AC，∠BOC=100°，則∠BAC的度數(shù)為（）A.40°B.50°C.60°D.80°解析：弧AB=弧AC，故∠BOC=2∠BAC（同弧所對(duì)圓心角是圓周角的2倍）；∠BAC=?∠BOC=?×100°=50°，選B。變式訓(xùn)練（2022·湖南長(zhǎng)沙）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A=100°，則∠C的度數(shù)為（）A.80°B.90°C.100°D.110°答案：A（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，∠C=180°-100°=80°）。題型二：切線(xiàn)的判定與性質(zhì)問(wèn)題解題策略：已知切點(diǎn)：連半徑，證垂直（如例題1）；未知切點(diǎn)：作垂直，證半徑（如例題2）。經(jīng)典例題1（2023·江蘇南京）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，E為BC中點(diǎn)，連接DE。求證：DE是⊙O的切線(xiàn)。解析：1.連OD（切點(diǎn)為D，連半徑）、CD（直徑AC對(duì)應(yīng)∠ADC=90°）；2.∵AC是直徑，∴∠ADC=90°（圓周角定理推論）；3.Rt△BCD中，E是BC中點(diǎn)，∴DE=BE=CE（直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半），故∠EDC=∠ECD；4.∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD；5.∠ACB=90°，即∠OCD+∠ECD=90°，故∠ODC+∠EDC=90°（等量代換）；6.∴OD⊥DE，又OD是半徑，故DE是⊙O的切線(xiàn)（切線(xiàn)判定定理）。經(jīng)典例題2（2023·浙江溫州）如圖，點(diǎn)P在⊙O外，過(guò)P作PA⊥OA于A(yíng)，且PA=OA=2，求證：PA是⊙O的切線(xiàn)。解析：1.作OA⊥PA（未知切點(diǎn)，作垂直）；2.OA是⊙O半徑，PA=OA=2，故點(diǎn)P到圓心O的距離OP=√(OA2+PA2)=√(22+22)=2√2，但PA=OA=2，即PA等于半徑；3.又PA⊥OA，故PA是⊙O的切線(xiàn)（切線(xiàn)判定定理：到圓心距離等于半徑且垂直于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn)）。變式訓(xùn)練（2022·廣東深圳）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)C作CD⊥AB于D，延長(zhǎng)CD到E，使DE=CD，連接AE。求證：AE是⊙O的切線(xiàn)。提示：連OE、OC，證明OE=OC（等腰三角形）且AE⊥AB（由CD=DE、OD⊥CE得OE=OC，再證△AOE≌△COE）。題型三：垂徑定理與三角形結(jié)合問(wèn)題解題策略：過(guò)圓心作弦的垂線(xiàn)（輔助線(xiàn)：作OM⊥AB于M），構(gòu)造直角三角形OMA（OA為半徑，OM為圓心距，AM為弦長(zhǎng)的一半）；利用勾股定理：\(OA2=OM2+AM2\)（弦長(zhǎng)公式：\(AB=2\sqrt{OA2-OM2}\)）。經(jīng)典例題（2023·四川成都）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，點(diǎn)C在A(yíng)B上，且AC=2，求OC的長(zhǎng)。解析：1.作OM⊥AB于M（垂徑定理），則AM=?AB=4；2.在Rt△OMA中，OM=√(OA2-AM2)=√(52-42)=3；3.AC=2，故CM=AM-AC=4-2=2；4.在Rt△OMC中，OC=√(OM2+CM2)=√(32+22)=√13。變式訓(xùn)練（2021·陜西西安）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=6，BC=8，求⊙O的半徑。提示：作AD⊥BC于D（等腰三角形三線(xiàn)合一），則BD=4，AD=√(AB2-BD2)=√(36-16)=2√5；設(shè)⊙O半徑為R，OD=AD-R=2√5-R，在Rt△OBD中，\(OB2=OD2+BD2\)，即\(R2=(2√5-R)2+42\)，解得\(R=\frac{9√5}{10}\)。題型四：三角形外接圓與內(nèi)切圓問(wèn)題解題策略：外接圓（外心）：找三邊垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)，直角三角形外接圓半徑為斜邊一半；內(nèi)切圓（內(nèi)心）：用面積法求半徑（\(r=\frac{2S}{a+b+c}\)），或利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理（\(AF=AE=\frac{a+b-c}{2}\)，\(BF=BD=\frac{b+c-a}{2}\)，\(CD=CE=\frac{a+c-b}{2}\)）。經(jīng)典例題1（2023·河南鄭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求外接圓半徑R和內(nèi)切圓半徑r。解析：斜邊AB=√(32+42)=5，故外接圓半徑\(R=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\)；面積\(S=\frac{1}{2}×3×4=6\)，周長(zhǎng)\(a+b+c=3+4+5=12\)，故內(nèi)切圓半徑\(r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{12}{12}=1\)。經(jīng)典例題2（2022·山西太原）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于D、E、F，若AB=5，BC=7，AC=8，求AD的長(zhǎng)。解析：設(shè)AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z；由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得：\(x+y=5\)，\(y+z=7\)，\(x+z=8\)；三式相加得\(2(x+y+z)=20\)，故\(x+y+z=10\)；解得\(x=10-7=3\)，即AD=3。變式訓(xùn)練（2023·福建福州）等腰三角形ABC中，AB=AC=10，BC=12，求內(nèi)切圓半徑。答案：\(r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{2×48}{10+10+12}=\frac{96}{32}=3\)（\(S=\frac{1}{2}×12×8=48\)，高為8）。題型五：圓與相似三角形綜合問(wèn)題解題策略：尋找相等角：圓周角相等、弦切角等于圓周角、公共角、對(duì)頂角；證明相似：兩角對(duì)應(yīng)相等（AA）、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等（SAS）、三邊對(duì)應(yīng)成比例（SSS）；利用相似結(jié)論：對(duì)應(yīng)邊成比例、面積比等于相似比的平方。經(jīng)典例題（2023·山東濟(jì)南）如圖，PA是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，PB交⊙O于B、C兩點(diǎn)，且PA=PB，求證：\(AB2=BC·PB\)。解析：1.由弦切角定理得∠PAB=∠ACB（切線(xiàn)PA與弦AB的夾角等于弦AB所對(duì)圓周角∠ACB）；2.PA=PB，故∠PAB=∠PBA（等腰三角形等邊對(duì)等角）；3.∴∠ACB=∠PBA（等量代換）；4.在△ABP和△CBA中，∠PBA=∠ACB，∠BAP=∠CAB（公共角），故△ABP∽△CBA（AA）；5.∴\(\frac{AB}{CB}=\frac{PB}{AB}\)（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例），交叉相乘得\(AB2=BC·PB\)。變式訓(xùn)練（2021·浙江杭州）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)C作CD⊥AB于D，連接AC、BC，求證：\(AC2=AD·AB\)。提示：證明△ACD∽△ABC（∠A公共，∠ADC=∠ACB=90°）。題型六：圓與銳角三角函數(shù)綜合問(wèn)題解題策略：構(gòu)造直角三角形：通過(guò)直徑（∠ACB=90°）、垂徑定理（OM⊥AB）或切線(xiàn)（∠OAP=90°）構(gòu)造直角三角形；轉(zhuǎn)化三角函數(shù)：將∠α的正弦、余弦、正切轉(zhuǎn)化為直角三角形中對(duì)邊、鄰邊、斜邊的比（如\(\sinα=\frac{對(duì)邊}{斜邊}\)，\(\cosα=\frac{鄰邊}{斜邊}\)，\(\tanα=\frac{對(duì)邊}{鄰邊}\)）。經(jīng)典例題（2023·江西南昌）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=6，求弦AB所對(duì)圓周角的正弦值。解析：1.作OM⊥AB于M（垂徑定理），則AM=3；2.在Rt△OMA中，OM=√(OA2-AM2)=√(25-9)=4；3.弦AB所對(duì)的圓周角有兩種（優(yōu)弧和劣?。×踊B所對(duì)圓周角∠ACB，由圓周角定理得∠ACB=?∠AOB；4.在Rt△OMA中，\(\sin∠AOM=\frac{AM}{OA}=\frac{3}{5}\)，而∠AOB=2∠AOM，故\(\sin∠ACB=\sin∠AOM=\frac{3}{5}\)（或優(yōu)弧AB所對(duì)圓周角的正弦值為\(\sin(180°-∠ACB)=\frac{3}{5}\)）。變式訓(xùn)練（2022·安徽合肥）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)C作CD⊥AB于D，若∠BCD=30°，CD=√3，求⊙O的半徑。提示：設(shè)半徑為R，則OD=R-BD，在Rt△BCD中，∠BCD=30°，故BD=CD·tan30°=1，BC=2BD=2；在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=∠BCD=30°（同弧所對(duì)圓周角相等），故AB=2BC=4，半徑R=2。三、高頻輔助線(xiàn)技巧總結(jié)1.遇直徑，作圓周角：直徑對(duì)應(yīng)90°圓周角，構(gòu)造直角三角形（如題型二、題型六）；2.遇切線(xiàn)，連半徑：切線(xiàn)垂直于半徑，得垂直關(guān)系（如題型二）；3.遇弦，作垂線(xiàn)：垂徑定理平分弦，構(gòu)造直角三角形（如題型三）；4.遇外心，作垂直平分線(xiàn)：外心是三邊垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)，用于求外接圓半徑（如題型四）；5.遇內(nèi)心，作角平分線(xiàn)：內(nèi)心是角平分線(xiàn)交點(diǎn)，用面積法求內(nèi)切圓半徑（如題型四）；6.遇相似，找圓周角：圓周角相等是相似的關(guān)鍵（如題型五）。四、備考建議1.夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握?qǐng)A的基本定理（圓周角、切線(xiàn)、垂徑定理）和三角形的幾何性質(zhì)（等腰、直角、相似三角形），做到定理“脫口而出”，性質(zhì)“靈活應(yīng)用”；2.強(qiáng)化輔助線(xiàn)：通過(guò)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，總結(jié)輔助線(xiàn)的添加規(guī)律（如“切線(xiàn)必連半徑”“弦必作垂線(xiàn)”），形成“條件反射”；3.多做真題：研究近3年中考真題，熟悉命題規(guī)律（如切線(xiàn)判定、相似三角形與圓的結(jié)合是高頻考點(diǎn)），注意錯(cuò)題整理（分析錯(cuò)誤原因，如輔助線(xiàn)添加錯(cuò)誤、定理應(yīng)用混淆）；4.