初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)題集一、前言函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心主線，貫穿代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等板塊，也是中考的重點(diǎn)考查對象（占比約15%-20%）。其本質(zhì)是“變量間的對應(yīng)關(guān)系”，復(fù)習(xí)的關(guān)鍵是理解概念本質(zhì)、掌握解題方法、聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用。本專題將從基礎(chǔ)概念鞏固、核心題型突破、綜合應(yīng)用提升、易錯(cuò)點(diǎn)警示四個(gè)維度，幫你系統(tǒng)梳理函數(shù)知識，提升解題能力。二、基礎(chǔ)概念鞏固（一）函數(shù)的定義定義：在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量\(x\)（自變量）和\(y\)（函數(shù)），對于\(x\)的每一個(gè)確定的值，\(y\)都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么\(y\)就是\(x\)的函數(shù)。關(guān)鍵點(diǎn)：“唯一對應(yīng)”是判斷函數(shù)的核心（如“人的年齡與身高”不是函數(shù)，因同一年齡可能對應(yīng)多個(gè)身高）。例題：判斷下列關(guān)系是否為函數(shù)：1.正方形的面積\(S\)與邊長\(a\)；2.人的視力與閱讀時(shí)間；3.圓的面積\(S\)與半徑\(r\)。解析：1.是函數(shù)（\(S=a2\)，每個(gè)\(a\)對應(yīng)唯一\(S\)）；2.不是函數(shù)（同一閱讀時(shí)間可能對應(yīng)多個(gè)視力值，如1小時(shí)閱讀后，有人視力0.8，有人1.0）；3.是函數(shù)（\(S=πr2\)，每個(gè)\(r\)對應(yīng)唯一\(S\)）。練習(xí)：判斷“汽車油箱剩余油量\(y\)與行駛里程\(x\)”是否為函數(shù)（假設(shè)勻速耗油）。（二）自變量取值范圍確定原則：1.分式：分母≠0（如\(y=\dfrac{1}{x-2}\)，\(x≠2\)）；2.二次根式：被開方數(shù)≥0（如\(y=\sqrt{x+3}\)，\(x≥-3\)）；3.零次冪：底數(shù)≠0（如\(y=(x-1)^0\)，\(x≠1\)）；4.實(shí)際問題：符合實(shí)際意義（如長度>0、人數(shù)為整數(shù)）。例題：求下列函數(shù)的自變量取值范圍：1.\(y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}\)；2.實(shí)際問題：用20元買鉛筆，每支1.5元，買\(x\)支后剩余\(y\)元，求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式及\(x\)的取值范圍。解析：1.二次根式要求\(x+1≥0\)，分式要求\(x-2≠0\)，故\(x≥-1\)且\(x≠2\)；2.\(y=20-1.5x\)，\(x\)需滿足：①非負(fù)整數(shù)（鉛筆數(shù)量）；②\(20-1.5x≥0\)（剩余金額非負(fù)），故\(0≤x≤13\)（\(x\)為整數(shù)）。練習(xí)：求\(y=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\)的自變量取值范圍。（三）函數(shù)的表示方法三種方法：1.列表法：用表格記錄自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系（如表格記錄“時(shí)間\(t\)與氣溫\(T\)”）；2.解析式法：用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)關(guān)系（如\(y=3x-2\)）；3.圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的曲線（或直線）表示函數(shù)關(guān)系（如“速度-時(shí)間圖像”）。例題：用三種方法表示“邊長為\(a\)的正方形的周長\(C\)”：列表法：\(a=1\)時(shí)\(C=4\)，\(a=2\)時(shí)\(C=8\)，\(a=3\)時(shí)\(C=12\)；解析式法：\(C=4a\)；圖像法：以\(a\)為橫軸、\(C\)為縱軸，畫出過原點(diǎn)的直線（\(a≥0\)）。練習(xí)：用解析式法表示“圓柱的底面半徑為\(r\)，高為\(5cm\)，體積\(V\)與\(r\)的關(guān)系”，并列表表示\(r=1,2,3\)時(shí)的\(V\)值（\(π\(zhòng))取3.14）。三、核心題型突破（一）求函數(shù)解析式（待定系數(shù)法）方法步驟：1.設(shè)：根據(jù)函數(shù)類型設(shè)一般形式（如一次函數(shù)設(shè)\(y=kx+b\)，反比例函數(shù)設(shè)\(y=\dfrac{k}{x}\)，二次函數(shù)設(shè)頂點(diǎn)式/一般式）；2.代：代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組；3.解：解方程組求出系數(shù)；4.寫：寫出函數(shù)解析式。例題1（一次函數(shù)）：已知一次函數(shù)過點(diǎn)\((1,4)\)和\((3,8)\)，求其解析式。解析：設(shè)\(y=kx+b\)，代入兩點(diǎn)得：\[\begin{cases}k+b=4\\3k+b=8\end{cases}\]解得\(k=2\)，\(b=2\)，故解析式為\(y=2x+2\)。例題2（反比例函數(shù)）：反比例函數(shù)過點(diǎn)\((-2,3)\)，求其解析式。解析：設(shè)\(y=\dfrac{k}{x}\)，代入得\(3=\dfrac{k}{-2}\)，故\(k=-6\)，解析式為\(y=-\dfrac{6}{x}\)。例題3（二次函數(shù)）：已知二次函數(shù)頂點(diǎn)為\((2,1)\)，且過點(diǎn)\((0,5)\)，求其解析式（提示：設(shè)頂點(diǎn)式\(y=a(x-2)2+1\)）。解析：代入點(diǎn)\((0,5)\)得\(5=a(0-2)2+1\)，解得\(a=1\)，故解析式為\(y=(x-2)2+1\)（展開后為\(y=x2-4x+5\)）。練習(xí)：1.一次函數(shù)過點(diǎn)\((0,5)\)和\((2,9)\)，求解析式；2.反比例函數(shù)過點(diǎn)\((4,-1)\)，求解析式；3.二次函數(shù)過點(diǎn)\((1,0)\)、\((2,0)\)、\((0,2)\)，求解析式（提示：設(shè)交點(diǎn)式\(y=a(x-1)(x-2)\)）。（二）函數(shù)圖像的識別與應(yīng)用關(guān)鍵知識點(diǎn)：一次函數(shù)\(y=kx+b\)：\(k\)表示斜率（\(k>0\)→圖像上升，\(k<0\)→圖像下降）；\(b\)表示截距（圖像與\(y\)軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)）；反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)：\(k\)的符號決定象限（\(k>0\)→第一、三象限，\(k<0\)→第二、四象限）；二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\)：\(a\)決定開口方向（\(a>0\)→向上，\(a<0\)→向下）；頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(-\dfrac{2a},\dfrac{4ac-b2}{4a}\right)\)；對稱軸為\(x=-\dfrac{2a}\)。例題1（一次函數(shù)圖像）：下列圖像中，符合\(y=3x-1\)的是（）（選項(xiàng)：A.過(0,-1)且上升的直線；B.過(0,-1)且下降的直線；C.過(0,1)且上升的直線；D.過(0,1)且下降的直線）解析：\(k=3>0\)→圖像上升；\(b=-1\)→過(0,-1)，選A。例題2（二次函數(shù)圖像）：二次函數(shù)\(y=-x2+2x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______，對稱軸是______，開口方向______。解析：配方得\(y=-(x-1)2+4\)，故頂點(diǎn)\((1,4)\)，對稱軸\(x=1\)，開口向下（\(a=-1<0\)）。練習(xí)：1.反比例函數(shù)\(y=\dfrac{5}{x}\)的圖像在第______象限；2.二次函數(shù)\(y=2x2-4x+1\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______，開口方向______。（三）函數(shù)值的計(jì)算與比較例題1（求函數(shù)值）：已知一次函數(shù)\(y=2x+3\)，求：(1)當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，\(y=\)______；(2)當(dāng)\(y=7\)時(shí)，\(x=\)______。解析：(1)代入\(x=-1\)，得\(y=2×(-1)+3=1\)；(2)代入\(y=7\)，得\(7=2x+3\)，解得\(x=2\)。例題2（比較函數(shù)值）：已知反比例函數(shù)\(y=\dfrac{8}{x}\)和二次函數(shù)\(y=x2+2\)，當(dāng)\(x=2\)時(shí)，哪個(gè)函數(shù)的值更大？解析：當(dāng)\(x=2\)時(shí)，反比例函數(shù)值為\(\dfrac{8}{2}=4\)，二次函數(shù)值為\(22+2=6\)，故二次函數(shù)值更大。練習(xí)：1.反比例函數(shù)\(y=-\dfrac{6}{x}\)，當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y=\)______；當(dāng)\(y=2\)時(shí)，\(x=\)______；2.二次函數(shù)\(y=x2-2x+4\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=\)______；當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y=\)______。四、綜合應(yīng)用提升（一）一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用常見場景：行程問題、工程問題、銷售問題（線性關(guān)系）。例題（行程問題）：甲、乙兩人從A地出發(fā)，甲以每小時(shí)\(4km\)的速度步行，乙以每小時(shí)\(12km\)的速度騎車，乙比甲晚出發(fā)\(1\)小時(shí)，求乙出發(fā)后多久追上甲（設(shè)乙出發(fā)時(shí)間為\(t\)小時(shí)）。解析：甲走的路程：\(4(t+1)\)（甲多走1小時(shí)）；乙走的路程：\(12t\)；追上時(shí)路程相等：\(4(t+1)=12t\)，解得\(t=0.5\)小時(shí)。練習(xí)：某工廠生產(chǎn)零件，每天生產(chǎn)\(80\)個(gè)，生產(chǎn)\(x\)天后超額完成\(20\)個(gè)，總?cè)蝿?wù)為\(y\)個(gè)，求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求生產(chǎn)\(5\)天后的總?cè)蝿?wù)量。（二）反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用常見場景：面積問題、效率問題、壓強(qiáng)問題（\(xy=k\)型關(guān)系）。例題（面積問題）：如圖，反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)的圖像過點(diǎn)\(A(3,2)\)，過\(A\)作\(x\)軸、\(y\)軸的垂線，垂足分別為\(B\)、\(C\)，求矩形\(OBAC\)的面積。解析：矩形面積=長×寬=|x_A|×|y_A|=3×2=6，而\(k=x_A×y_A=6\)，故矩形面積=|k|=6（無論點(diǎn)在哪個(gè)象限，面積均為|k|）。練習(xí)：反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)的圖像過點(diǎn)\((-4,3)\)，求\(k\)值，并求過該點(diǎn)作\(y\)軸垂線形成的三角形面積。（三）二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（最值問題）關(guān)鍵思路：二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\)（\(a≠0\)）的最值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處，當(dāng)\(a>0\)時(shí)，有最小值；當(dāng)\(a<0\)時(shí)，有最大值。例題（面積最大化）：用長為\(24m\)的籬笆圍一個(gè)矩形菜園，一面靠墻，求菜園面積的最大值（設(shè)垂直于墻的邊長為\(xm\)）。解析：平行于墻的邊長為\(24-2xm\)（籬笆只圍三邊），面積\(y=x(24-2x)=-2x2+24x\)；配方得\(y=-2(x-6)2+72\)（頂點(diǎn)式）；故當(dāng)\(x=6m\)時(shí)，面積最大，最大值為\(72m2\)。練習(xí)：某商店銷售某種商品，每件售價(jià)為\(x\)元（\(x≥10\)），每天銷售量為\(____x\)件，每件成本為\(8\)元，求每天利潤\(y\)與售價(jià)\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求售價(jià)為多少時(shí)利潤最大，最大利潤是多少。五、易錯(cuò)點(diǎn)警示與規(guī)避1.自變量取值范圍漏掉實(shí)際意義錯(cuò)誤示例：求“矩形的長為\(xcm\)，寬為\(12-xcm\)，面積\(ycm2\)”的自變量取值范圍，錯(cuò)解為\(x\)為任意實(shí)數(shù)。正確解法：\(x>0\)且\(12-x>0\)，故\(0<x<12\)（長度不能為負(fù)）。2.二次函數(shù)平移方向搞反錯(cuò)誤示例：將\(y=x2\)向左平移\(3\)個(gè)單位，錯(cuò)解為\(y=(x-3)2\)。正確解法：“左加右減”（針對\(x\)），故\(y=(x+3)2\)。3.反比例函數(shù)\(k\)值的面積忘記絕對值或除以2錯(cuò)誤示例：反比例函數(shù)\(y=-\dfrac{8}{x}\)的圖像過點(diǎn)\((2,-4)\)，作\(x\)軸垂線形成的三角形面積，錯(cuò)解為\(8\)或\(4\)。正確解法：三角形面積=|k|/2=|?8|/2=4（三角形面積是矩形面積的一半）。六、參考答案基礎(chǔ)概念鞏固練習(xí)1.是函數(shù)（勻速耗油時(shí)，每個(gè)\(x\)對應(yīng)唯一\(y\)）；2.\(x>1\)（二次根式要求\(x-1≥0\)，分式要求\(\sqrt{x-1}≠0\)，故\(x>1\)）；3.解析式\(V=5πr2\)，列表：\(r=1\)時(shí)\(V=15.7\)，\(r=2\)時(shí)\(V=62.8\)，\(r=3\)時(shí)\(V=141.3\)（\(π=3.14\)）。核心題型突破練習(xí)（一）求函數(shù)解析式1.\(y=2x+5\)（代入\((0,5)\)得\(b=5\)，代入\((2,9)\)得\(k=2\)）；2.\(y=-\dfrac{4}{x}\)（代入\((4,-1)\)得\(k=-4\)）；3.\(y=(x-1)(x-2)\)（代入\((0,2)\)得\(a=1\)，展開后為\(y=x2-3x+2\)）。（二）函數(shù)圖像的識別與應(yīng)用1.一、三象限（\(k=5>0\)）；2.頂點(diǎn)\((1,-1)\)（配方得\(y=2(x-1)2-1\)），開口向上（\(a=2>0\)）。（三）函數(shù)值的計(jì)算與比較1.\(y=-2\)（\(-6÷3=-2\)），\(x=-3\)（\(-6÷2=-3\)）；2.\(y=4\)（\(0-0+4=4\)），\(y=3\)（\(1-2+4=3\)）。綜合應(yīng)用提升練習(xí)1.\(y=80x-20\)（總?cè)蝿?wù)=每天生產(chǎn)×天數(shù)-