第2課時(shí)正方形的判定教師備課素材示例●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等，且有一個(gè)角為直角的__平行四邊形__叫正方形．(2)正方形的性質(zhì)：①__四__條邊都__相等__；②__四__個(gè)角都是__直角__；③對(duì)角線__相等__，并且互相__垂直平分__，每條對(duì)角線__平分__一組對(duì)角；④是__軸對(duì)稱__圖形，且有__四條__對(duì)稱軸．(3)正方形是特殊的__矩形__，特殊的__菱形__，也是特殊的__平行四邊形__，因而正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)．(4)討論：正方形的判定方法有哪些？正方形的判定既判定四邊形是__矩形__，又判定四邊形是__菱形__．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)復(fù)習(xí)正方形的定義和性質(zhì)，導(dǎo)入學(xué)習(xí)正方形的判定．●類比導(dǎo)入我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關(guān)系？請(qǐng)?zhí)钊胂聢D中．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)填寫，讓學(xué)生理解正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形．建議：類比平行四邊形、矩形、菱形與正方形的聯(lián)系與區(qū)別．命題角度1添加條件判定正方形結(jié)合四邊形已知條件進(jìn)行推理判定正方形．【例1】(1)已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，下列四種選法錯(cuò)誤的是(B)A．①②B．②③C．①③D．③④(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需要增加一個(gè)條件是__AC＝BD(或AB⊥BC等)__(填一個(gè)即可)．命題角度2利用矩形判定四邊形是正方形在判定一個(gè)矩形是正方形時(shí)，找到對(duì)角線互相垂直或有一組鄰邊相等即可．【例2】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N.(1)求證：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求證：四邊形MPND是正方形．證明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CBD；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四邊形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四邊形MPND是正方形．命題角度3利用菱形判定四邊形是正方形在判定一個(gè)菱形是正方形的時(shí)候，證明有一個(gè)直角或?qū)蔷€相等即可．【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵A(－2，0)，B(0，－2)，∴OA＝2，OB＝2.∴AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝2eq\r(2).同理可求得AD＝2eq\r(2)，BC＝2eq\r(2)，DC＝2eq\r(2).∴AB＝BC＝CD＝DA.∴四邊形ABCD為菱形．∵BD＝AC＝4，∴四邊形ABCD為正方形．命題角度4特殊四邊形的綜合應(yīng)用正方形是一種特殊的四邊形，利用正方形的性質(zhì)探索線段、角之間的問(wèn)題．【例4】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為F，交直線MN于點(diǎn)E，連接CD，BE.(1)求證：CE＝AD；(2)當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由；解：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE.又∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE＝AD；(2)四邊形BECD是菱形．理由如下：∵D為AB中點(diǎn)，∴AD＝BD，又∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形．∵∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴四邊形BECD是菱形；(3)當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D為BA的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，由(2)知四邊形BECD是菱形，∴四邊形BECD是正方形，即當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．掌握正方形的判定方法，并會(huì)用正方形的性質(zhì)及判定進(jìn)行有關(guān)論證和計(jì)算．2．了解正方形、平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系與區(qū)別．▲重點(diǎn)正方形的判定方法．▲難點(diǎn)正方形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用．◆活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)寧寧在商場(chǎng)看中了一塊方形紗巾，但不知是否是正方形，只見(jiàn)銷售員阿姨拉起紗巾的一組對(duì)角能完全重合，看寧寧還在猶豫，又拉起紗巾的另一組對(duì)角，只見(jiàn)另一組對(duì)角也能完全重合，銷售員阿姨認(rèn)為是正方形，把紗巾給了寧寧．你認(rèn)為寧寧看中的紗巾一定是正方形嗎？◆活動(dòng)2實(shí)踐探究交流新知【探究1】探索正方形的判定條件：學(xué)生活動(dòng)：四人一組進(jìn)行討論研究，老師巡視其間，進(jìn)行引導(dǎo)、質(zhì)疑、解惑，通過(guò)分析與討論，師生共同總結(jié)出判定一個(gè)四邊形是正方形的基本方法：(1)直接用正方形的定義判定，即先判定四邊形是平行四邊形，若這個(gè)平行四邊形有一個(gè)角是直角，并且有一組鄰邊相等，那么就可以判定這個(gè)平行四邊形是正方形；(2)先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形是菱形，那么這個(gè)四邊形是正方形；(3)先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形是矩形，那么這個(gè)四邊形是正方形．歸納：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是__直角__的__平行四邊形__是正方形；有一組鄰邊__相等__的__矩形__是正方形；有一個(gè)角是__直角__的__菱形__是正方形．【探究2】正方形判定方法的應(yīng)用思考：判斷下列命題是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．(1)四條邊相等且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形；(2)四個(gè)角相等且對(duì)角線互相垂直的四邊形是正方形；(3)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形；(4)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；(5)對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．方法一：對(duì)角線互相__平分__的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線__相等__的平行四邊形是矩形，對(duì)角線互相__垂直__的平行四邊形是菱形，所以是__矩形__又是__菱形__的四邊形是正方形．方法二：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(對(duì)角線互相平分→平行四邊形,對(duì)角線垂直))→菱形,\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平行四邊形,對(duì)角線相等))→矩形))→正方形方法三：由對(duì)角線互相垂直平分可知是__菱形__，由對(duì)角線互相平分且相等可知是__矩形__，而既是菱形又是矩形的四邊形就是__正方形__．◆活動(dòng)3開(kāi)放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P23例2)已知：如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形．【方法指導(dǎo)】平行四邊形→矩形→正方形．證明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝45°，∠ECB＝eq\f(1,2)∠DCB＝45°，∴∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴?BECF是菱形(菱形的定義).在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°，∴菱形BECF是正方形(有一個(gè)角是直角的菱形是正方形).例2如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝90°，求證：四邊形DFAE是正方形．【方法指導(dǎo)】(1)用AAS證明△BED≌△CFD；(2)先證明是矩形，再用鄰邊相等的矩形判定正方形．證明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD.∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴BD＝CD.∴△BED≌△CFD(AAS)；(2)∵∠A＝90°，DE⊥AB，DF⊥AC，∴四邊形DFAE是矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF.∴四邊形DFAE是正方形．◆活動(dòng)4隨堂練習(xí)1．下列選項(xiàng)中不能判定四邊形ABCD是正方形(對(duì)角線相交于點(diǎn)O)的是(C)A．AB綊CD，AB＝AD，∠A＝90°B．AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°C．∠A＝∠B＝∠C＝90°，AC＝BDD．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD2．若一個(gè)正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4，則這個(gè)正方形的面積是__8__．3．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若BE＝4，則S四邊