7相似三角形的性質(zhì)第1課時(shí)相似三角形中對(duì)應(yīng)線段的比教師備課素材示例●置疑導(dǎo)入在生活中，我們經(jīng)常利用相似的知識(shí)解決建筑類問(wèn)題．如圖，小王依據(jù)圖紙上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分別是它們的立柱．(1)試寫出△ABC與△A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系和對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系．(2)△ACD與△A′C′D′相似嗎？為什么？如果相似，指出它們的相似比．(3)如果CD＝1.6cm，那么模型房的房梁立柱有多高？(4)據(jù)此，你可以發(fā)現(xiàn)相似三角形具有怎樣的性質(zhì)？【教學(xué)與建議】教學(xué)：從學(xué)生熟悉的建筑模型房入手，層層設(shè)問(wèn)．使學(xué)生明確相似比與對(duì)應(yīng)高的比的關(guān)系．建議：引導(dǎo)學(xué)生感受實(shí)際房屋房梁的特征，根據(jù)抽象出來(lái)的幾何圖形解決問(wèn)題．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了相似三角形的有關(guān)知識(shí)．問(wèn)題1什么叫相似三角形？問(wèn)題2如何判定兩個(gè)三角形相似？問(wèn)題3相似三角形有何性質(zhì)？問(wèn)題4想一想：一個(gè)三角形有三條重要的線段，即中線、高線和角平分線．如果兩個(gè)三角形相似，那么這些對(duì)應(yīng)線段之間有什么關(guān)系呢？【教學(xué)與建議】教學(xué)：回顧前面所學(xué)內(nèi)容，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，通過(guò)設(shè)問(wèn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．建議：重點(diǎn)讓學(xué)生回顧理解三角形中中線、高線和角平分線的特征．命題角度1利用相似三角形的性質(zhì)求距離或邊長(zhǎng)相似三角形中的“三線段”的比等于相似比．【例1】(1)已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為eq\f(3,4)，則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)角平分線的比為(A)A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,3)C．eq\f(9,16)D．eq\f(16,9)(2)如圖，在△ABC中，D，E，M分別為AB，AC，AE邊的中點(diǎn)，則DM∶BE等于(A)A．1∶2B．2∶1C．2∶3D．3∶4命題角度2利用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題此類題主要構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比解決問(wèn)題．【例2】某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示．其中BA＝CD，BC＝20cm，BC，EF平行于地面AD，且到地面AD的距離分別為40cm，8cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長(zhǎng)？(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì))解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，交EF于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，交EF于點(diǎn)N.由題意，得MH＝8cm，BH＝40cm，則BM＝BH－MH＝40－8＝32(cm).∵BC∥AD，∴BH＝CG.又∵BA＝CD，∴Rt△BAH≌Rt△CDG(HL)，∴AH＝DG.易得四邊形BHGC為矩形，∴HG＝BC＝MN＝20cm，∴AH＝eq\f(1,2)(AD－HG)＝eq\f(1,2)×(50－20)＝15(cm).∵EF∥AD，∴eq\f(EM,AH)＝eq\f(BM,BH)，即eq\f(EM,15)＝eq\f(32,40)，解得EM＝12.同理，F(xiàn)N＝12cm.∴EF＝EM＋MN＋NF＝12＋20＋12＝44(cm).答：橫梁EF的長(zhǎng)應(yīng)為44cm.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．理解相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比與相似比的關(guān)系．2．利用相似三角形的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題．▲重點(diǎn)相似三角形性質(zhì)定理的探索及應(yīng)用．▲難點(diǎn)相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用．◆活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)課件出示問(wèn)題：1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2．全等三角形是相似三角形嗎？全等三角形的相似比是什么？3．相似三角形的判定方法有哪些？4．根據(jù)相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性質(zhì)？5．相似三角形還有其他的性質(zhì)嗎？本節(jié)我們就來(lái)探索相似三角形的其他性質(zhì)．◆活動(dòng)2實(shí)踐探究交流新知【探究1】在生活中，我們經(jīng)常利用相似的知識(shí)解決建筑類問(wèn)題．如圖，小王依據(jù)圖紙上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分別是它們的立柱．問(wèn)題1：試寫出△ABC與△A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系和對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系．問(wèn)題2：△ACD與△A′C′D′相似嗎？為什么？如果相似，指出它們的相似比．問(wèn)題3：如果CD＝1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？問(wèn)題4：據(jù)此，你可以發(fā)現(xiàn)相似三角形具有怎樣的性質(zhì)？歸納：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．【探究2】如圖，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，E，E′分別為BC，B′C′的中點(diǎn)．試探究AD與A′D′的比值關(guān)系．AE與A′E′呢？歸納：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比，對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比．【探究3】我們己經(jīng)得到了相似三角形中特殊線段的關(guān)系，如果把角平分線、中線變?yōu)閷?duì)應(yīng)角的三等分線、四等分線、…、n等分線，對(duì)應(yīng)邊的三等分線、四等分線、…、n等分線，那么它們也具有特殊關(guān)系嗎？下面請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立探索以下問(wèn)題：如圖，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比為k，點(diǎn)D，E在BC邊上，點(diǎn)D′，E′在B′C′邊上．(1)若∠BAD＝eq\f(1,3)∠BAC，∠B′A′D′＝eq\f(1,3)∠B′A′C′，則eq\f(AD,A′D′)等于多少？(2)若BE＝eq\f(1,3)BC，B′E′＝eq\f(1,3)B′C′，則eq\f(AE,A′E′)等于多少？(3)你還能提出哪些問(wèn)題？與同伴交流．歸納：(1)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比；(2)相似三角形的各對(duì)應(yīng)角相等，各對(duì)應(yīng)邊成比例；(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比．◆活動(dòng)3開(kāi)放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P107例1)如圖，AD是△ABC的高，AD＝h，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E.當(dāng)SR＝eq\f(1,2)BC時(shí)，求DE的長(zhǎng)．如果SR＝eq\f(1,3)BC呢？【方法指導(dǎo)】相似三角形的判定及相似三角形的性質(zhì)．解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC，∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C，∴△ASR∽△ABC(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(SR,BC)(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比).即eq\f(AD－DE,AD)＝eq\f(SR,BC).當(dāng)SR＝eq\f(1,2)BC時(shí)，eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,2)，解得DE＝eq\f(1,2)h.當(dāng)SR＝eq\f(1,3)BC時(shí)，eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,3)，解得DE＝eq\f(2,3)h.例2如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高．(1)則圖中有幾對(duì)相似三角形？(2)若AD＝9cm，CD＝6cm，求BD；(3)若AB＝25cm，BC＝15cm，求BD.【方法指導(dǎo)】相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．解：(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°.在△ADC和△ACB中，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB，△ADC∽△CDB.所以圖中有三對(duì)相似三角形；(2)∵△ACD∽△CBD，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BD)，即eq\f(9,6)＝eq\f(6,BD)，∴BD＝4cm；(3)∵△CBD∽△ABC，∴eq\f(BC,BA)＝eq\f(BD,BC)，即eq\f(15,25)＝eq\f(BD,15)，BD＝eq\f(15×15,25)＝9(cm).◆活動(dòng)4隨堂練習(xí)1．順次連接△ABC三邊的中點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形與原三角形對(duì)應(yīng)高的比是(C)A．1∶4B．1∶3C．1∶2D．1∶eq\r(2)2．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的角平分線，且AD＝8cm，A′D′＝3cm，則△ABC與△A′B′C′對(duì)應(yīng)中線的比是__8∶3__．3．如圖，在△ABC中，內(nèi)接矩形DEFG的一邊DE在BC上，AH是BC上的高，AH交GF于點(diǎn)K，BC＝48，EF＝10，DE＝18.求AK的長(zhǎng)．解：∵四邊形DEFG為矩形，∴GF∥BC，GF＝DE＝18，KH＝FE＝10，∴△AGF∽△ABC，∴eq\f(AK,AH)＝eq\f(GF,BC)，即eq\f(AK,AK＋10)＝eq\f(18,48)，∴AK＝6.◆活動(dòng)5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動(dòng)：你這節(jié)課有哪些收獲？還有什么疑惑？教學(xué)說(shuō)明：探索相似三角形中對(duì)應(yīng)線段之比與相似比之間的關(guān)系