第2章邏輯代數(shù)2.1概述2.2基本邏輯運(yùn)算2.3邏輯代數(shù)的基本定律2.4邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式2.5邏輯函數(shù)的幾種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

2.1概述

2.1.1邏輯函數(shù)的基本概念

從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)講，研究函數(shù)y=5x2+3x時(shí)，我們對(duì)變量表示什么物理量并不感興趣。同樣，在研究邏輯函數(shù)Y=F(A，B)時(shí)，我們可以賦給邏輯變量A和B以兩個(gè)取值

(二元常量1或0)中的一個(gè)，而這些邏輯變量表示什么并不

重要。數(shù)字電路是一種開(kāi)關(guān)電路。開(kāi)關(guān)的兩種狀態(tài)——“開(kāi)通”與“關(guān)斷”常用電子器件的“導(dǎo)通”與“截止”來(lái)實(shí)現(xiàn)，并用二元常量0和1來(lái)表示。另一方面，數(shù)字電路的輸入、輸出量一般用高、低電平來(lái)體現(xiàn)，高低電平又可用二元常量來(lái)表示。因此，就整體而言，數(shù)字電路的輸入量和輸出量之間的關(guān)系是一種因果關(guān)系，它可以用邏輯函數(shù)來(lái)描述。因此，數(shù)字電路又稱邏輯電路。設(shè)輸入邏輯變量為A1，A2，…，An，輸出邏輯變量為Y，當(dāng)A1，A2，…，An的取值確定后，Y的值就被唯一地確定下來(lái)，則稱Y是A1，A2，…，An的邏輯函數(shù)，記為

Y=F（A1，A2，…，An）

邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值只可能是0或1，沒(méi)有其他中間值。

【例2.1】圖2.1所示的裁判電路中，A代表主裁判，B和C代表兩個(gè)副裁判。在裁判過(guò)程中，必須有兩個(gè)以上裁判（必須包括主裁判）同意裁定，裁判才有效。1表示同意，相當(dāng)于開(kāi)關(guān)閉合；0表示不同意，相當(dāng)于開(kāi)關(guān)斷開(kāi)。裁定結(jié)果用Y表示，當(dāng)Y為1時(shí)表示裁判有效，相當(dāng)于指示燈亮；當(dāng)Y為0表示裁判無(wú)效，相當(dāng)于指示燈滅。顯然，裁定結(jié)果Y是三個(gè)裁判的二值函數(shù)，即Y=F(A,B,C)。圖2.1裁判電路2.1.2邏輯函數(shù)的表示方法

布爾代數(shù)是研究邏輯函數(shù)的一個(gè)數(shù)學(xué)工具，它最早是由英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾于1850年提出來(lái)的。但我們現(xiàn)在普遍使用的、適合于數(shù)字系統(tǒng)的布爾代數(shù)，是由美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室香農(nóng)于1938年提出的，它為分析、設(shè)計(jì)數(shù)字邏輯電路提供了堅(jiān)強(qiáng)的理論基礎(chǔ)。本書中我們?nèi)圆捎貌紶柎鷶?shù)這一術(shù)語(yǔ)，不過(guò)它是指香農(nóng)改進(jìn)的布爾代數(shù)，不是原始的布爾代數(shù)。布爾代數(shù)是按一定邏輯規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)。雖然它和普通代數(shù)一樣也用字母表示變量，但是在兩種代數(shù)中變量的含義完全不同。普通代數(shù)中的變量一般是連續(xù)量，而布爾代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，只有兩種取值，即0和1。0和1并不表示數(shù)量的大小，而表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)。常用的邏輯函數(shù)表示方法有邏輯真值表法、邏輯函數(shù)法、邏輯圖法、卡諾圖法、波形圖法、點(diǎn)陣圖法和硬件設(shè)計(jì)語(yǔ)言法。

1.邏輯真值表法

邏輯真值表是一種用表格表示邏輯函數(shù)的方法，它是由邏輯變量的所有可能的取值組合及其對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格。以圖2.1所示的裁判電路為例，根據(jù)電路原理，只要A=1,同時(shí)B、C至少有一個(gè)為1，Y就等于1，于

是得到圖2.1的真值表，見(jiàn)表2.1。

2.邏輯函數(shù)法

在圖2.1所示電路中，根據(jù)對(duì)電路功能的要求“B和C中至少有一個(gè)合上”，可以表示為B+C,“同時(shí)還要求合上A”,可以寫成A·

(B+C)。因此得到圖2.1的邏輯函數(shù):

Y=A·(B+C)(2.1)圖2.2采用邏輯圖表示圖2.1

3.邏輯圖法

邏輯圖是用規(guī)定的圖形符號(hào)來(lái)表示邏輯函數(shù)運(yùn)算關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形。圖2.2所示為采用邏輯圖表示圖2.1的邏輯功能。

4.卡諾圖法

卡諾圖是一種幾何圖形，用來(lái)簡(jiǎn)化邏輯函數(shù)表達(dá)式，并將表達(dá)式化為最簡(jiǎn)形式的工具。后面會(huì)詳細(xì)介紹采用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯表達(dá)式。

5.波形圖法

波形圖是用電平的高、低變化來(lái)動(dòng)態(tài)表示邏輯變量值變化的圖形。如果采用波形圖來(lái)描述式(2.1)的邏輯函數(shù)，則只需要將表2.1的輸入變量和相應(yīng)的輸出變量取值按時(shí)間順序排列起來(lái)，就可以得到所要的波形圖，如圖2.3所示。圖2.3采用波形圖表示圖2.1的邏輯功能

6.點(diǎn)陣圖法

點(diǎn)陣圖法是早期可編程邏輯器件中直觀描述邏輯函數(shù)的一種方法。

7.硬件設(shè)計(jì)語(yǔ)言法

硬件設(shè)計(jì)語(yǔ)言法是采用計(jì)算機(jī)高級(jí)語(yǔ)言來(lái)描述邏輯函

數(shù)并進(jìn)行邏輯設(shè)計(jì)的方法，該法應(yīng)用于可編程邏輯器件中。目前應(yīng)用最廣的硬件設(shè)計(jì)語(yǔ)言有ABLE-HDL、VHDL等。

2.2基本邏輯運(yùn)算

2.2.1基本與、或、非運(yùn)算

在邏輯函數(shù)中，與、或、非運(yùn)算是三種最基本的邏輯運(yùn)算。這三種基本的邏輯運(yùn)算可以用圖2.4來(lái)表示。圖2.4基本與、或、非說(shuō)明電路

1.與運(yùn)算

如圖2.4(a)所示，只有A、B開(kāi)關(guān)同時(shí)閉合的時(shí)候Y燈才亮。只有決定事物結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才會(huì)發(fā)生。這種關(guān)系稱為邏輯與。其真值表見(jiàn)表2.2。比如,甲、乙二人同住一個(gè)房間，房門上并掛各自的一把鎖，兩人約定同時(shí)打開(kāi)各自的一把鎖時(shí)，他們才能進(jìn)入房間。顯然，甲、乙二人單獨(dú)想進(jìn)房間時(shí)，由于另一把

鎖未打開(kāi)，因而無(wú)法進(jìn)入房間。只有兩人同時(shí)打開(kāi)自己的鎖時(shí)，房門才能打開(kāi)。這是生活中進(jìn)行邏輯與運(yùn)算的一個(gè)例子。與運(yùn)算的邏輯關(guān)系是：只有邏輯變量A和B同時(shí)為1

時(shí)，邏輯函數(shù)的輸出才為1。用布爾代數(shù)表達(dá)式來(lái)描述，可寫為

Y=A·B=AB

（2.2）式中,小圓點(diǎn)“·”表示邏輯變量A和B的與運(yùn)算，又稱邏輯乘。書寫時(shí)小圓點(diǎn)常常省去。工程應(yīng)用中，與運(yùn)算采用邏輯與門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，其邏輯符號(hào)如圖2.5所示。對(duì)于多變量的邏輯乘,可以寫成

Y=A·B·C…（2.3）圖2.5與門符號(hào)

2.或運(yùn)算

如圖2.4(b)所示，在決定事物結(jié)果的諸條件中只要有任何一個(gè)滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生,這種因果關(guān)系叫做邏輯或。其真值表見(jiàn)表2.3。或運(yùn)算的邏輯關(guān)系是：邏輯變量A或B任一為1時(shí)，邏輯函數(shù)的輸出即為1。用布爾代數(shù)表達(dá)式來(lái)描述，可寫為

Y=A+B

（2.4）式中,“+”表示變量A和B的或運(yùn)算，又稱邏輯加。工程應(yīng)用中，或運(yùn)算用邏輯或門電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，其邏輯符號(hào)如圖2.6所示。因此，或運(yùn)算的邏輯圖符采用邏輯或門符號(hào)。對(duì)于多變量的邏輯加,可以寫成

Y=A+B+C…（2.5）圖2.6或門符號(hào)

3.非運(yùn)算

如圖2.4(c)所示,只要某一條件具備了，結(jié)果便不發(fā)生，而此條件不具備時(shí)，結(jié)果一定發(fā)生。這樣的因果關(guān)

系叫做邏輯非。其真值表見(jiàn)表2.4。非運(yùn)算是指某一邏輯函數(shù)的運(yùn)算結(jié)果是邏輯變量的相反狀態(tài)。用布爾代數(shù)表達(dá)式來(lái)描述，可寫為

Y=Ａ(2.6)

式中，邏輯變量A上方的短線“－”表示非運(yùn)算。在邏輯圖符中，用小圓圈“?！北硎痉沁\(yùn)算。工程應(yīng)用中，非運(yùn)算用非門(反相器)電路來(lái)實(shí)現(xiàn),其邏輯符號(hào)如圖2.7所示。圖2.7非門邏輯符號(hào)2.2.2復(fù)合邏輯運(yùn)算

實(shí)際的邏輯問(wèn)題往往比與、或、非復(fù)雜得多，不過(guò)

它們都可以用與、或、非的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。常見(jiàn)的復(fù)合邏

輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或、同或等。圖2.8給出了這些復(fù)合邏輯運(yùn)算的邏輯符號(hào)，表2.5~表2.9所示是其真值表。在與非邏輯中，將A、B先進(jìn)行與運(yùn)算，然后將結(jié)果求反，最后得到的即為A、B的與非運(yùn)算結(jié)果。因此與非運(yùn)算可看做與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合。圖2.8中圖形符號(hào)上的小圓圈表示非運(yùn)算。

在或非邏輯中，將A、B先進(jìn)行或運(yùn)算,然后將結(jié)果求反，最后得到的即為A、B的或非運(yùn)算結(jié)果。因此或非運(yùn)算可看做或運(yùn)算和非運(yùn)算的組合。圖2.8復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)異或是這樣一種邏輯關(guān)系:當(dāng)A、B不同時(shí)，輸出Y為1；當(dāng)A、B相同時(shí)，輸出Y為0。異或也可以用與、或、非的組合表示，即

同或與異或相反，當(dāng)A、B相同時(shí)，輸出Y為1；當(dāng)A、B不同時(shí)，輸出Y為0。同或也可以寫成與、或、非的組合形式，即

由表2.8和表2.9可知，異或與同或互為反運(yùn)算，即

2.3邏輯代數(shù)的基本定律

1.常量間的運(yùn)算

邏輯代數(shù)中的常量只有0和1，它們間的與、或、非運(yùn)算如表2.10所示。

2.基本定律

根據(jù)基本邏輯運(yùn)算規(guī)則和邏輯變量的取值只能是0或

1特點(diǎn)，可得到邏輯代數(shù)中的一些基本定律，如表2.11

所示。

3.常用恒等式

表2.12是邏輯代數(shù)常用恒等式，它們可用基本定理導(dǎo)出，也可用枚舉法證明。直接應(yīng)用這些等式可極大地方便邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。

4.邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則

1)代入規(guī)則

任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。因?yàn)槿魏我粋€(gè)邏輯函數(shù)，也和任何一個(gè)邏輯變量一樣，只取二元常量0和1，所以代入規(guī)則是正確的。

例如，在B(A+C)=AB+BC中，將所有出現(xiàn)A的地方都代以函數(shù)A+D，則等式仍成立，即得

B［(A+D)+C=B(A+D)+BC=AB+BD+BC

2）反演規(guī)則

根據(jù)德·摩根定律，求一個(gè)邏輯函數(shù)Y的非函數(shù)Y時(shí)，可將Y中的與（·）換成或（+），或（+）換成與（·

），再將原變量換成非變量（如B換成B），非變量換成原變量,并將1換成0,0換成1，那么所得的邏輯函數(shù)式就是Ｙ。這個(gè)規(guī)則叫做反演規(guī)則。利用反演規(guī)則，可以容易地求出一個(gè)函數(shù)的非函數(shù)。但是要注意變換時(shí)要保持原式中先與后或的順序，否則容易出錯(cuò)。例如，求

的非函數(shù)時(shí)，按上述法則，可得

而不能寫成

3)對(duì)偶規(guī)則

Y是一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果把Y中的與(·)換成或(+)，或(+)換成與(·),1換成0，0換成1，那么得到一個(gè)新的邏輯函數(shù)式，叫做Y的對(duì)偶式，記做Y′。例如，

Y=(A+B)（A+C）

則

Y′=A·B+AC

變換時(shí)仍需注意保持原式中先與后或的順序。所謂對(duì)偶規(guī)則，是指當(dāng)某個(gè)邏輯恒等式成立時(shí)，則其對(duì)偶式也成立。例如，吸收律A+AB=A+B成立，則它的對(duì)偶式A(A+B)=AB也是成立的。利用對(duì)偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多運(yùn)算公式。

2.4邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

1.最小項(xiàng)的概念及其性質(zhì)

(1)最小項(xiàng)。在n變量的邏輯函數(shù)中，若m是包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，這n個(gè)變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則稱m為這組變量的最小項(xiàng)。在最小項(xiàng)中，變量可以是原變量，也可以是反變量，因此，

n個(gè)變量就有2n個(gè)最小項(xiàng)。例如，A、B、C三個(gè)變量的最小項(xiàng)有

共8（即2n）個(gè)最小項(xiàng)。輸入變量的每一組取值都使對(duì)應(yīng)的一個(gè)最小項(xiàng)的邏輯值等于1。例如，在三變量A、B、C的最小項(xiàng)中，當(dāng)A=1，B=1，C=0時(shí)，ABC=1。如果把ABC的取值110看做一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，那么它所表示的十進(jìn)制數(shù)就是6。為了今后使用方便，將這個(gè)最小項(xiàng)記做m6，按照這一約定，依次類推，可列出三變量最小項(xiàng)編號(hào)表，如表2.13所示。

(2)最小項(xiàng)的性質(zhì)。從最小項(xiàng)的定義出發(fā)可以證明，最小項(xiàng)具有如下重要性質(zhì):

①在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最小項(xiàng)，而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。

②全體最小項(xiàng)之和為1。

③任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。

④具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)并消去一對(duì)因子。若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有邏輯相鄰性。例如,ABC和ABC兩個(gè)最小項(xiàng)僅第一個(gè)因子不同，所以它們具有邏輯相鄰性。將這兩個(gè)最小項(xiàng)相加時(shí)，定能合并成一項(xiàng)并將一對(duì)不同的因子消去,即

2.邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

【例2.2】將邏輯函數(shù)展開(kāi)為最小項(xiàng)之和的形式。解2.5邏輯函數(shù)的幾種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換

1.真值表與邏輯函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換

【例2.3】已知一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表如表2.14所示，試寫出真值表的邏輯函數(shù)式。解由真值表2.14可以看出，只有當(dāng)A、B、

C三個(gè)輸入變量中兩個(gè)同時(shí)為1時(shí)，Y才為1，即輸入變量的取值為以下幾種情況時(shí)，Y將等于1：當(dāng)A=0，B=1，C=1時(shí)，Y=1,可以用邏輯與表示成

ABC=1；同樣可以得到ABC=1，ABC=1，因?yàn)閅=1是這三

種情況之一，所以可以用邏輯或來(lái)表示，即得到該真值表的邏輯函數(shù)：因此，由真值表寫出邏輯函數(shù)的一般方法是：

（1）找出真值表是邏輯函數(shù)Y=1的那些輸入變量的取值組合。

（2）每組組合變量作為一個(gè)邏輯與乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量。

（3）將這些乘積項(xiàng)進(jìn)行相加，就可以得到真值表的邏輯函數(shù)。

由邏輯函數(shù)寫出真值表比較簡(jiǎn)單，只要將輸入變量的取值組合逐一代入邏輯函數(shù)求出函數(shù)值，列成表，即可得到真值表。

【例2.4】已知邏輯函數(shù)

求它對(duì)應(yīng)的真值表。

解將A、

B、C的各種取值逐一代入Y中，并將計(jì)算結(jié)果列成表，即可得到例2.4的真值表，如表2.15所示。為避免出錯(cuò)，可將中間結(jié)果列出，再求出Y的值。

2.邏輯函數(shù)與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換

由給定的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的邏輯圖時(shí)，只要用邏輯圖形符號(hào)代替邏輯函數(shù)中的邏輯運(yùn)算符并按優(yōu)先順序?qū)⑺鼈冞B接起來(lái)，就可以得到所求的邏輯圖。

在由給定的邏輯圖轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)時(shí)，只要從邏輯圖的輸入端到輸出端逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)的輸出邏輯式，就可以在輸出端得到所求的邏輯函數(shù)。

【例2.5】已知邏輯函數(shù)為

畫出其對(duì)應(yīng)的邏輯圖。

解將式中的與、或、非運(yùn)算符號(hào)用圖形符號(hào)代替，并依據(jù)運(yùn)算的優(yōu)先順序把這些圖形連接起來(lái)，得到如圖2.9所示的邏輯圖。圖2.9例2.5的邏輯圖

【例2.6】已知函數(shù)的邏輯圖如圖2.10所示，試求其邏輯函數(shù)。

解從輸入端A、B開(kāi)始寫出每個(gè)圖形符號(hào)輸出端的邏輯表達(dá)式，最后得到整個(gè)邏輯圖的邏輯函數(shù)為圖2.10例2.6的邏輯圖

3.波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換

在由已知的邏輯函數(shù)波形圖求對(duì)應(yīng)的真值表時(shí)，首先需要從波形圖上找出每個(gè)時(shí)間段里輸入變量與函數(shù)的取值，然后將這些輸入、輸出取值對(duì)應(yīng)列表，就得到了所求的真值表。

在將真值表轉(zhuǎn)換為波形圖時(shí)，只需要將真值表中所有的輸入變量與對(duì)應(yīng)的輸出變量取值依次排列畫成以時(shí)間為橫軸的波形，就得到了所求的波形圖。

【例2.7】已知邏輯函數(shù)Y在0~t8時(shí)間周期的波形圖如圖2.11所示，試求該邏輯函數(shù)的真值表。

解從Y的波形圖上看，在0~t8

時(shí)間周期中，輸入變量A、B、C所有可能的取值組合均已出現(xiàn)，只要將0~t8區(qū)間每個(gè)時(shí)間段里A、

B、C與Y的取值對(duì)應(yīng)列表，即可得到如表2.16所示的真值表。圖2.11例2.7的波形圖

2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

2.6.1邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)的概念

一個(gè)具體的問(wèn)題經(jīng)過(guò)邏輯抽象得到的邏輯函數(shù)表達(dá)式不一定是最簡(jiǎn)單的邏輯表達(dá)式。在進(jìn)行邏輯運(yùn)算時(shí)往往會(huì)看到，同一個(gè)邏輯函數(shù)可以寫成不同的邏輯表達(dá)式,而這些邏輯表達(dá)式的繁簡(jiǎn)程度往往相差甚遠(yuǎn)。邏輯表達(dá)式越簡(jiǎn)單，它所表示的邏輯關(guān)系越明顯，同時(shí)也有利于用最少的電子器件實(shí)現(xiàn)這個(gè)邏輯函數(shù)。例如，有兩個(gè)邏輯函數(shù):

將它們的真值表列出后可知，它們是同一個(gè)邏輯函數(shù)。顯然,式(2.8)比式(2.7)簡(jiǎn)單得多。式(2.7)和式(2.8)都是由幾個(gè)乘積項(xiàng)相加組成的，我們把這種形式的邏輯式稱為與-或邏輯式，也叫做邏輯函數(shù)的“積之和”形式。(2.7)(2.8)在與-或邏輯式中，若其中包含的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，而且每個(gè)乘積項(xiàng)里的因子也不能再減少，則稱此邏輯函數(shù)式為最簡(jiǎn)形式。

化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的目的就是消去多余的乘積項(xiàng)和每個(gè)乘積項(xiàng)中多余的因子，以得到邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式。

一個(gè)邏輯函數(shù)的乘積項(xiàng)少，表明電路所需元器件少，而每個(gè)乘積項(xiàng)中的因子少，表明電路的連線少。這樣不但降低了電路的成本，也提高了設(shè)備的可靠性。所以，化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)是邏輯設(shè)計(jì)的重要步驟。在用門電路實(shí)現(xiàn)式(2.8)的邏輯函數(shù)時(shí)，需要使用與門和或門兩種類型的器件。如果只有與非門一種器件，這時(shí)就必須將式(2.8)變換成全部由與非運(yùn)算組成的邏輯式，才能使用與非門實(shí)現(xiàn)這個(gè)邏輯函數(shù)。為此，可利用德·摩根定理將式（2.8）變換成(2.9)式(2.9)的形式稱為與非-與非邏輯式。事實(shí)上，前面對(duì)與或邏輯式最簡(jiǎn)形式的定義，對(duì)其他形式的邏輯式也同樣適用，即函數(shù)式中相加的乘積項(xiàng)不能再減少，而且每項(xiàng)中相乘的因子也不能再減少時(shí)，此函數(shù)式為最簡(jiǎn)形式。由于邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式多以與或形式給出，用于化簡(jiǎn)與或邏輯函數(shù)比較方便，所以下面主要討論與或邏輯函數(shù)式的化簡(jiǎn)。有了最簡(jiǎn)與或式以后，再通過(guò)公式變換就可以得到其他類型的函數(shù)式。究竟應(yīng)該將函數(shù)式變換成什么形式，要視所用的門電路而定。但必須注意，將最簡(jiǎn)與或式直接變換成其他類型的邏輯式時(shí)，得到的結(jié)果不一定也是最簡(jiǎn)的。

【例2.8】將邏輯函數(shù)

化為與非-與非形式。

解將Y化成標(biāo)準(zhǔn)的與或式，即根據(jù)Y=Y,并利用德·摩根定律得2.6.2代數(shù)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

代數(shù)法化簡(jiǎn)亦稱公式法化簡(jiǎn)，是指用邏輯代數(shù)定理和恒等式對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。由于表達(dá)式形式多樣，因此要做到快速化簡(jiǎn)，就要求熟練地掌握并靈活地運(yùn)用前面介紹的邏輯代數(shù)定理和恒等式。下面介紹幾種常用的方法。

1.并項(xiàng)法

并項(xiàng)法是指利用公式A+A=1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。例如:

2.吸收法

吸收法是指利用公式A+AB=A,消去AB項(xiàng)。例如:

3.消因子法消因子法是指利用公式A+AB=A+B,消去多余的因子。例如:

4.消項(xiàng)法

消項(xiàng)法是指利用公式AB+AC+BC=AB+AC，消去多余的乘積項(xiàng)BC。例如:

5.配項(xiàng)法

配項(xiàng)法是指利用公式A+A=1,A+A=A,在原表達(dá)式中增加項(xiàng)，然后再化簡(jiǎn)。例如:

代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，必須綜合運(yùn)用上述技巧以及邏輯代數(shù)定理和恒等式，才能有效地化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。

【例2.9】設(shè)邏輯函數(shù)表達(dá)式為

要求：

(1)畫出原始邏輯表達(dá)式的邏輯圖；

(2)用布爾代數(shù)簡(jiǎn)化邏輯表達(dá)式；

(3)畫出簡(jiǎn)化邏輯表達(dá)式的邏輯圖。

解(1)原始表達(dá)式的邏輯圖如圖2.12（a）所示。圖2.12例2.9的邏輯圖

(2)簡(jiǎn)化過(guò)程如下：

(3)簡(jiǎn)化邏輯表達(dá)式的邏輯圖如圖2.12(b)所示，只用了一個(gè)或門。

【例2.10】已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為

要求：

(1)簡(jiǎn)化表達(dá)式；

(2)僅用與非門畫出簡(jiǎn)化表達(dá)式的邏輯圖。解(1)簡(jiǎn)化過(guò)程如下：

(2)簡(jiǎn)化表達(dá)式的邏輯圖如圖2.13(a)所示。但題目要求僅采用與非門，故需將圖中的非門、與門、或門全部改為與非門。為此需將簡(jiǎn)化后的邏輯表達(dá)式變換成使用與非門的形式，

在此基礎(chǔ)上畫出邏輯圖，如圖2.13(b)所示。圖2.13例2.10的邏輯圖

【例2.11】設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，當(dāng)三個(gè)輸入A、

B、C中至少有兩個(gè)為低時(shí)，該電路則輸出為高。

要求：

(1)建立真值表；

(2)由真值表寫出布爾表達(dá)式；

(3)如果可能，簡(jiǎn)化表達(dá)式；

(4)畫出邏輯電路圖。解（1）由于有三個(gè)變量，因此真值表有8種輸入組合。寫出題目要求的輸入變量的組合（至少兩個(gè)輸入量為低），并寫出相應(yīng)的布爾項(xiàng)。每個(gè)布爾項(xiàng)是三變量的積并將其稱為最小項(xiàng)。真值表與所選擇的最小項(xiàng)如表2.17所示。

（2）根據(jù)真值表，可寫出布爾表達(dá)式，它是最小項(xiàng)的和，即與或表達(dá)式：（3）表達(dá)式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)，其過(guò)程為圖2.14例2.11的簡(jiǎn)化表達(dá)式邏輯圖（4）對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)化表達(dá)式的邏輯電路圖如圖2.14所示。2.6.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

1.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

圖形化的真值表稱為卡諾圖。那么如何使真值表經(jīng)過(guò)圖形化以后成為卡諾圖呢?

(1)把真值表中的n個(gè)變量由左至右分成兩組，第一組變量(包含最左邊變量)的所有組合值安排在最左列，第二組變量的所有組合值安排在最上面一行。

(2)行、列兩組變量的組合值把圖形分成2n個(gè)小方塊，每個(gè)小方塊即為一個(gè)最小項(xiàng)，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也具有相鄰性。相應(yīng)的最小項(xiàng)可用變量的標(biāo)準(zhǔn)積來(lái)標(biāo)出，也可以用最小項(xiàng)mi來(lái)標(biāo)出。

由此構(gòu)成的圖即為卡諾圖，它是以其提出者美國(guó)工程師卡諾而命名的。圖2.15~圖2.17分別為二、三、四變量的卡諾圖。圖2.15二變量真值表及卡諾圖圖2.16三變量真值表及卡諾圖圖2.17四變量卡諾圖圖形兩側(cè)標(biāo)注的0和1表示使對(duì)應(yīng)小方格內(nèi)的最小項(xiàng)為1的變量取值。同時(shí)，這些0和1組成的二進(jìn)制所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)大小也就是對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)的編號(hào)。

為了保證圖中幾何位置相鄰的最小項(xiàng)在邏輯上也具有相鄰性，在制作卡諾圖時(shí)要特別注意變量組合值的排列規(guī)則。其原則是：每行(列)與相鄰行(列）之間的變量組合值中，僅有一個(gè)變量發(fā)生變化(0→1或1→0)。相鄰行(列)是指上下及左右相鄰，也包括緊靠上下兩邊及緊靠左右兩邊的行、列相鄰。因此，從幾何位置上應(yīng)當(dāng)把卡諾圖看成是上下、左右閉合的圖形。

2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示

既然任何一個(gè)邏輯函數(shù)都能表示為若干最小項(xiàng)之和的形式，那么自然也就可以設(shè)法用卡諾圖來(lái)表示任意一個(gè)邏輯函數(shù)。具體方法是：首先把邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式，然后在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置填入1，其余位置上填入0，就得到了表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。也就是說(shuō)，任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中填入1的那些最小項(xiàng)之和。

【例2.12】用卡諾圖表示下列邏輯函數(shù)：

解首先將Y化為最小項(xiàng)之和的形式：然后畫出四變量的卡諾圖，在對(duì)應(yīng)于函數(shù)式中各最小項(xiàng)的位置填入1，其余位置上填入0，即得到該邏輯函數(shù)的卡諾圖，如圖2.18所示。圖2.18例2.12的卡諾圖

3.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法稱為卡諾圖化簡(jiǎn)法或圖形化簡(jiǎn)法。化簡(jiǎn)的基本方法是合并相鄰最小項(xiàng)，并消去不同的因子。從卡諾圖的結(jié)構(gòu)可知，由于卡諾圖上幾何位置相鄰與邏輯上的相鄰性是一致的，因而相鄰小方塊所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)只有一個(gè)變量發(fā)生變化，其余取值相同。因此，利用公式AB+AB=A可把卡諾圖上相鄰小方塊所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)合并為一個(gè)乘積項(xiàng)，并消去互補(bǔ)的變量。

(1)合并最小項(xiàng)的規(guī)則。

①若2個(gè)最小項(xiàng)相鄰，則可合并為一項(xiàng)并消去一對(duì)因子。合并后的結(jié)果中只剩下公共因子。

②若4個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形(或正方形）組，則可合并為一項(xiàng)并消去兩對(duì)因子。合并后的結(jié)果中只包含公共因子。

③若8個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形(或正方形)組，則可合并為一項(xiàng)并消去三對(duì)因子。合并后的結(jié)果中只包含公共因子。圖2.19相鄰最小項(xiàng)合并舉例例如，已知某四變量的卡諾圖如圖2.19所示。m5、m7、m13和m15是4個(gè)邏輯值為1的相鄰最小項(xiàng)，合并后得到可見(jiàn)，合并后消去了A和A、C和C兩對(duì)因子，只剩下公共因子B和D。同理，m0~m7是8個(gè)邏輯值為1的相鄰最小項(xiàng)，合并后結(jié)果為A。至此,可以歸納出合并最小項(xiàng)的一般規(guī)則是:如果有2n(n=1，2，…)個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則它們可以合并為一項(xiàng)，并消去n對(duì)因子，合并后的結(jié)果中僅包含這些最小項(xiàng)的公共因子。

(2)卡諾圖化簡(jiǎn)法的步驟。

①將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式。

②畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。

③找出可以合并的最小項(xiàng)(畫方格圈)。

④得到化簡(jiǎn)后的乘積項(xiàng)及其或的結(jié)果。（3）方格圈的選取原則如下：

①用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，每一個(gè)最小項(xiàng)(也就是填有1的小方塊）必須被圈，不能遺漏。

②某一個(gè)最小項(xiàng)可以多次被圈，但每次被圈時(shí)，圈內(nèi)至少包含一個(gè)新的最小項(xiàng)。

③圈越大，則消去的變量越多，合并項(xiàng)越簡(jiǎn)單。圈內(nèi)小方塊的個(gè)數(shù)應(yīng)是N=2i(i=0,1,2,…)。④合并時(shí)應(yīng)檢查是否最簡(jiǎn)，即在保證乘積項(xiàng)最少的前提下，各乘積項(xiàng)變量的因子應(yīng)最少。在卡諾圖上乘積項(xiàng)最少也就是可合并的最小項(xiàng)組成的方格圈數(shù)目最少，而各乘積項(xiàng)的因子最少也就是每個(gè)可合并的最小項(xiàng)方格圈中應(yīng)包含盡可能多的最小項(xiàng)。

⑤有時(shí)用圈0的方法更簡(jiǎn)便，但得到的化簡(jiǎn)結(jié)果是原函數(shù)的反函數(shù)。

【例2.13】用卡諾圖化簡(jiǎn)法將下式化為最簡(jiǎn)與或函

數(shù)式。

解首先畫出表示函數(shù)Y的卡諾圖，如圖2.20所示。圖2.20例2.13的卡諾圖其次，找出可以合并的最小項(xiàng)。將可以合并的最小項(xiàng)圈出，由圖2.20(a)和(b)可見(jiàn)，有兩種合并最小項(xiàng)的方案。如果按圖2.20(a)所示合并，得到最小項(xiàng):

按圖2.20(b)所示合并，得到最小項(xiàng):

兩個(gè)化簡(jiǎn)結(jié)果都符合最簡(jiǎn)與或式的標(biāo)準(zhǔn)，因此有時(shí)一個(gè)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果不是唯一的。

【例2.14】用卡諾圖化簡(jiǎn)法將下式化為最簡(jiǎn)與或函

數(shù)式。

解首先畫出表示函數(shù)Y的卡諾圖，如圖2.21所示。圖2.21例2.14的卡諾圖事實(shí)上，在填寫Y的卡諾圖時(shí)，并不一定要將Y化為最小項(xiàng)之和的形式。例如，式中AD項(xiàng)，在填寫Y的卡諾圖時(shí)可以直接在卡諾圖上對(duì)應(yīng)A=0,D=1的空格里填入1。按照這種方法，就可以省去將Y化為最小項(xiàng)之和這一步驟。

然后，把可以合并的最小項(xiàng)圈出，得到最簡(jiǎn)與或函數(shù)式為

4.具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

對(duì)應(yīng)任意一組輸入變量值，邏輯函數(shù)都有確定的輸出，或?yàn)?，或?yàn)?。若有n個(gè)輸入變量，則其共有2n個(gè)輸入變量的組合值。然而，在實(shí)際情況中會(huì)遇到這樣的邏輯函數(shù):它有n個(gè)輸