中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)練習(xí)卷一、專題概述函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心主線，貫穿代數(shù)、幾何、三角等板塊，也是高考的重點考查內(nèi)容（占比約20%~25%）。本專題復(fù)習(xí)旨在：1.鞏固函數(shù)的三要素（定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域）及基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）；2.掌握圖像變換（平移、伸縮、對稱）規(guī)律；3.熟練應(yīng)用基本初等函數(shù)（一次、二次、反比例、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)）的性質(zhì)解決問題；4.提升函數(shù)綜合應(yīng)用（如最值、不等式、方程）能力。二、核心知識梳理（一）函數(shù)的基本概念1.定義：設(shè)\(A、B\)為非空數(shù)集，若對任意\(x\inA\)，存在唯一\(y\inB\)與之對應(yīng)，則稱\(f:A\toB\)為函數(shù)，記為\(y=f(x)\)。2.定義域：自變量\(x\)的取值范圍，求法需滿足：分式：分母\(\neq0\)；偶次根式：被開方數(shù)\(\geq0\)；對數(shù)：真數(shù)\(>0\)，底數(shù)\(>0\)且\(\neq1\)；復(fù)合函數(shù)：內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域。3.值域：函數(shù)值\(y\)的取值范圍，常用求法：配方法（二次函數(shù)）；換元法（無理函數(shù)、三角函數(shù)）；單調(diào)性法（利用函數(shù)增減性）；判別式法（分式二次函數(shù)）；圖像法（結(jié)合函數(shù)圖像）。（二）函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)定義及判定關(guān)鍵結(jié)論**單調(diào)性**對任意\(x_1<x_2\inD\)，若\(f(x_1)<f(x_2)\)（遞增）或\(f(x_1)>f(x_2)\)（遞減）。判定：定義法、導(dǎo)數(shù)法、復(fù)合函數(shù)“同增異減”。**奇偶性**定義域關(guān)于原點對稱，若\(f(-x)=f(x)\)（偶函數(shù)）或\(f(-x)=-f(x)\)（奇函數(shù)）。偶函數(shù)圖像關(guān)于\(y\)軸對稱；奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，且\(f(0)=0\)（若有定義）。**周期性**存在\(T>0\)，對任意\(x\inD\)，\(f(x+T)=f(x)\)。常見周期：\(f(x+a)=-f(x)\RightarrowT=2a\)；\(f(x+a)=1/f(x)\RightarrowT=2a\)。（三）圖像變換規(guī)律1.平移：\(y=f(x+a)\)（左加右減，\(a>0\)左移）；\(y=f(x)+b\)（上加下減，\(b>0\)上移）。2.伸縮：\(y=f(kx)\)（橫向伸縮\(1/k\)倍，\(k>1\)壓縮）；\(y=Af(x)\)（縱向伸縮\(A\)倍，\(A>1\)拉伸）。3.對稱：\(y=f(-x)\)（關(guān)于\(y\)軸對稱）；\(y=-f(x)\)（關(guān)于\(x\)軸對稱）；\(y=-f(-x)\)（關(guān)于原點對稱）。（四）基本初等函數(shù)性質(zhì)匯總函數(shù)類型表達式定義域值域單調(diào)性奇偶性一次函數(shù)\(y=kx+b(k\neq0)\)\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\)\(k>0\)遞增，\(k<0\)遞減非奇非偶（\(b\neq0\)）；奇函數(shù)（\(b=0\)）二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)\(\mathbb{R}\)\(a>0\)時\([\frac{4ac-b^2}{4a},+\infty)\)；\(a<0\)時\((-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a}]\)對稱軸左側(cè)遞減，右側(cè)遞增（\(a>0\)）偶函數(shù)（\(b=0\)）；非奇非偶（\(b\neq0\)）反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)\(k>0\)時，\((-\infty,0)\)、\((0,+\infty)\)遞減；\(k<0\)時遞增奇函數(shù)指數(shù)函數(shù)\(y=a^x(a>0,a\neq1)\)\(\mathbb{R}\)\((0,+\infty)\)\(a>1\)遞增；\(0<a<1\)遞減非奇非偶對數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax(a>0,a\neq1)\)\((0,+\infty)\)\(\mathbb{R}\)\(a>1\)遞增；\(0<a<1\)遞減非奇非偶冪函數(shù)\(y=x^\alpha(\alpha\in\mathbb{R})\)隨\(\alpha\)變化隨\(\alpha\)變化隨\(\alpha\)變化隨\(\alpha\)變化（如\(\alpha\)為偶數(shù)則偶函數(shù)）三、典型例題解析例1：求函數(shù)定義域題目：求\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\lg(2-x)}\)的定義域。解析：需滿足以下條件：1.根式：\(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1\)；2.分式：\(\lg(2-x)\neq0\Rightarrow2-x\neq1\Rightarrowx\neq1\)；3.對數(shù)：\(2-x>0\Rightarrowx<2\)。綜上，定義域為\((1,2)\)。易錯點：忽略\(\lg(2-x)\neq0\)的條件，導(dǎo)致定義域包含\(x=1\)。例2：求函數(shù)值域題目：求\(f(x)=x+\sqrt{1-2x}\)的值域。解析：設(shè)\(t=\sqrt{1-2x}\geq0\)，則\(x=\frac{1-t^2}{2}\)，代入得：\[f(t)=\frac{1-t^2}{2}+t=-\frac{1}{2}t^2+t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(t-1)^2+1.\]因為\(t\geq0\)，所以當(dāng)\(t=1\)時，\(f(t)\)取得最大值\(1\)；當(dāng)\(t\to+\infty\)時，\(f(t)\to-\infty\)。故值域為\((-\infty,1]\)。方法總結(jié)：無理函數(shù)值域常用換元法，將根號設(shè)為新變量，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值。例3：判斷函數(shù)奇偶性題目：判斷\(f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)的奇偶性。解析：首先，定義域為\(\mathbb{R}\)（\(x+\sqrt{x^2+1}>0\)對任意\(x\in\mathbb{R}\)成立）。計算\(f(-x)\)：\[f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln\left[\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right]=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x).\]故\(f(x)\)為奇函數(shù)。技巧：對數(shù)函數(shù)奇偶性判斷常需有理化，利用\(\ln(1/a)=-\lna\)。例4：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性題目：求\(f(x)=\log_2(x^2-2x+3)\)的單調(diào)遞增區(qū)間。解析：令\(t=x^2-2x+3\)，則\(f(x)=\log_2t\)。外層函數(shù)\(\log_2t\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)\(t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，對稱軸為\(x=1\)，在\((-\infty,1]\)上單調(diào)遞減，在\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。根據(jù)“同增異減”，\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為內(nèi)層函數(shù)的遞增區(qū)間，即\([1,+\infty)\)。注意：需保證內(nèi)層函數(shù)\(t>0\)，此處\(t\geq2>0\)，故無需額外限制。例5：二次函數(shù)最值題目：已知\(f(x)=x^2-2ax+3\)在\([1,3]\)上的最小值為\(2\)，求\(a\)的值。解析：二次函數(shù)對稱軸為\(x=a\)，分三種情況討論：1.當(dāng)\(a\leq1\)時，函數(shù)在\([1,3]\)上單調(diào)遞增，最小值在\(x=1\)處：\[f(1)=1-2a+3=4-2a=2\Rightarrowa=1.\]2.當(dāng)\(1<a<3\)時，最小值在頂點處：\[f(a)=a^2-2a^2+3=3-a^2=2\Rightarrowa^2=1\Rightarrowa=1\)（舍去，因\(1<a<3\)）。3.當(dāng)\(a\geq3\)時，函數(shù)在\([1,3]\)上單調(diào)遞減，最小值在\(x=3\)處：\[f(3)=9-6a+3=12-6a=2\Rightarrowa=\frac{5}{3}\)（舍去，因\(a\geq3\)）。綜上，\(a=1\)。分類討論：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值需考慮對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分三種情況：對稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)。四、分層練習(xí)（一）基礎(chǔ)鞏固（每題5分，共25分）1.求\(f(x)=\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}\)的定義域；2.判斷\(f(x)=x^2|x|\)的奇偶性；3.求\(f(x)=2^x+1\)的單調(diào)區(qū)間；4.函數(shù)\(y=2^{x-1}+3\)是由\(y=2^x\)經(jīng)過怎樣的變換得到的？5.比較\(0.3^2\)、\(2^{0.3}\)、\(\log_20.3\)的大小。（二）能力提升（每題10分，共50分）1.求\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4x+5)\)的值域；2.求\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)在\([2,5]\)上的最大值和最小值；3.已知\(f(x)\)是奇函數(shù)，且\(f(x+2)=f(x)\)，求\(f(5)\)的值；4.求函數(shù)\(y=|x^2-2x-3|\)的圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間；5.已知\(f(x)=a^x(a>0,a\neq1)\)在\([1,2]\)上的最大值比最小值大\(\frac{a}{2}\)，求\(a\)的值。（三）拓展創(chuàng)新（每題15分，共25分）1.已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，\(f(2)=1\)，解不等式\(f(x+3)+f(\frac{1}{x})\leq2\)；2.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^2-2mx+2\)，當(dāng)\(x\in[-1,1]\)時，求\(f(x)\)的最小值\(g(m)\)，并畫出\(g(m)\)的圖像。五、答案與解析（一）基礎(chǔ)鞏固1.答案：\([-2,1)\cup(1,2]\)解析：\(4-x^2\geq0\Rightarrow-2\leqx\leq2\)；\(x-1\neq0\Rightarrowx\neq1\)，故定義域為\([-2,1)\cup(1,2]\)。2.答案：偶函數(shù)解析：\(f(-x)=(-x)^2|-x|=x^2|x|=f(x)\)，故為偶函數(shù)。3.答案：\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增解析：\(2^x\)單調(diào)遞增，故\(2^x+1\)單調(diào)遞增。4.答案：向右平移1個單位，向上平移3個單位解析：\(y=2^{x-1}\)是\(y=2^x\)向右平移1個單位，再加3向上平移3個單位。5.答案：\(\log_20.3<0.3^2<2^{0.3}\)解析：\(\log_20.3<0\)；\(0.3^2=0.09<1\)；\(2^{0.3}>2^0=1\)，故順序為\(\log_20.3<0.3^2<2^{0.3}\)。（二）能力提升1.答案：\((-\infty,0]\)解析：\(t=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\geq1\)，\(\log_{\frac{1}{2}}t\)單調(diào)遞減，故\(\log_{\frac{1}{2}}t\leq\log_{\frac{1}{2}}1=0\)，值域為\((-\infty,0]\)。2.答案：最大值\(\frac{5}{6}\)，最小值\(\frac{2}{3}\)解析：\(f(x)=1-\frac{1}{x+1}\)，在\([2,5]\)上，\(x+1\)遞增，\(\frac{1}{x+1}\)遞減，故\(f(x)\)遞增。最大值\(f(5)=\frac{5}{6}\)，最小值\(f(2)=\frac{2}{3}\)。3.答案：0解析：\(f(x+2)=f(x)\Rightarrow\)周期為2；\(f(5)=f(1)\)；又\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(f(1)=-f(-1)\)，而\(f(-1)=f(1)\)，故\(f(1)=0\)，\(f(5)=0\)。4.答案：圖像是\(y=x^2-2x-3\)的圖像在\(x\)軸下方部分翻折到\(x\)軸上方；單調(diào)遞增區(qū)間\([-1,1]\)、\([3,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間\((-\infty,-1]\)、\([1,3]\)。解析：\(y=x^2-2x-3\)的零點為\(x=3\)或\(x=-1\)，開口向上，\(|y|\)的圖像在\((-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)上與原圖像相同，在\([-1,3]\)上翻折到\(x\)軸上方。5.答案：\(a=\frac{1}{2}\)或\(a=\frac{3}{2}\)解析：當(dāng)\(a>1\)時，\(f(x)\)遞增，\(a^2-a=\frac{a}{2}\Rightarrowa=\frac{3}{2}\)；當(dāng)\(0<a<1\)時，\(f(x)\)遞減，\(a-a^2=\frac{a}{2}\Rightarro