初中數(shù)學函數(shù)知識點全面總結及練習一、引言：為什么要學函數(shù)？函數(shù)是初中數(shù)學的核心主線，它將“變化的量”與“確定的關系”結合，連接了代數(shù)（解析式）、幾何（圖像）與實際問題（應用）。從小學的“算術計算”到初中的“函數(shù)思維”，本質是從“靜態(tài)”到“動態(tài)”的跨越——函數(shù)研究的是變量之間的對應規(guī)律，比如“速度變化時路程的變化”“售價調整時利潤的變化”“面積變化時邊長的關系”。學好函數(shù)，不僅能解決中考中的重點題型（占比約30%），更能為高中的三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等高級函數(shù)打下基礎。二、變量與函數(shù)的基本概念（一）變量與常量在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量（如行駛中的汽車里程、時間）；數(shù)值保持不變的量稱為常量（如汽車的速度、圓周率π）。例：圓的面積公式\(S=πr^2\)中，\(r\)（半徑）是變量，\(π\(zhòng))（常量）、\(2\)（常量）是常量，\(S\)（面積）隨\(r\)的變化而變化。（二）函數(shù)的定義函數(shù)：對于變量\(x\)（自變量）的每一個確定的值，變量\(y\)（因變量）都有唯一確定的值與之對應，那么\(y\)就是\(x\)的函數(shù)，記作\(y=f(x)\)（\(f\)表示對應關系）。關鍵條件：自變量\(x\)有取值范圍（定義域）；每一個\(x\)對應唯一的\(y\)（“一對多”不是函數(shù)，“多對一”是函數(shù)）。例：\(y=2x+1\)是函數(shù)（每一個\(x\)對應唯一\(y\)）；\(y^2=x\)不是函數(shù)（如\(x=4\)時，\(y=2\)或\(y=-2\)，不唯一）。（三）函數(shù)的表示方法1.解析式法：用數(shù)學式子表示函數(shù)關系（如\(y=3x-2\)）；2.列表法：用表格列出\(x\)與\(y\)的對應值（如表格記錄時間與溫度的關系）；3.圖像法：在平面直角坐標系中，以\(x\)為橫坐標、\(y\)為縱坐標描點，連接成曲線（如一次函數(shù)的直線、二次函數(shù)的拋物線）。（四）自變量的取值范圍自變量\(x\)的取值必須使函數(shù)表達式有意義，常見情況：分式：分母≠0（如\(y=\frac{1}{x-1}\)，\(x≠1\)）；二次根式：被開方數(shù)≥0（如\(y=\sqrt{x-2}\)，\(x≥2\)）；實際問題：符合實際意義（如時間\(t≥0\)，人數(shù)為正整數(shù)）。（五）基礎練習1.判斷下列關系是否為函數(shù)：（1）\(y=x^2\)（是，每一個\(x\)對應唯一\(y\)）；（2）\(y=±\sqrt{x}\)（否，一個\(x\)對應兩個\(y\)）；（3）班級里學生的身高與學號（是，每學號對應唯一身高）。2.求自變量取值范圍：（1）\(y=\frac{2}{x+3}\)：\(x≠-3\)；（2）\(y=\sqrt{5-2x}\)：\(5-2x≥0\)→\(x≤\frac{5}{2}\)；（3）\(y=x+1\)（全體實數(shù)）。三、正比例函數(shù)：\(y=kx\)（\(k≠0\)，\(k\)為比例系數(shù)）（一）定義形如\(y=kx\)（\(k\)是常數(shù)，\(k≠0\)）的函數(shù)，稱為正比例函數(shù)。它是一次函數(shù)的特殊情況（\(b=0\)）。例：\(y=3x\)（是，\(k=3\)）；\(y=-0.5x\)（是，\(k=-0.5\)）；\(y=0x\)（否，\(k=0\)）。（二）圖像與性質1.圖像：過原點\((0,0)\)的直線（只需描兩個點：如\((0,0)\)和\((1,k)\)，連接即可）。2.性質：當\(k>0\)時，直線過第一、三象限，\(y\)隨\(x\)的增大而增大（上升趨勢）；當\(k<0\)時，直線過第二、四象限，\(y\)隨\(x\)的增大而減?。ㄏ陆第厔荩?；\(|k|\)越大，直線與\(x\)軸的夾角越大（傾斜程度越陡）。例：\(y=2x\)（\(k=2>0\)，過一、三象限，遞增）；\(y=-x\)（\(k=-1<0\)，過二、四象限，遞減）。（三）練習基礎題：1.若\(y=(m-1)x\)是正比例函數(shù)，則\(m\)的取值范圍是\(m≠1\)（\(k=m-1≠0\)）。2.正比例函數(shù)\(y=-3x\)的圖像過第二、四象限，\(y\)隨\(x\)增大而減小。提升題：已知正比例函數(shù)\(y=kx\)的圖像過點\((2,-4)\)，求\(k\)的值及函數(shù)解析式。解析：將\((2,-4)\)代入\(y=kx\)，得\(-4=2k\)，解得\(k=-2\)，故函數(shù)解析式為\(y=-2x\)。四、一次函數(shù)：\(y=kx+b\)（\(k≠0\)，\(k\)、\(b\)為常數(shù)）（一）定義形如\(y=kx+b\)（\(k\)、\(b\)是常數(shù)，\(k≠0\)）的函數(shù)，稱為一次函數(shù)。當\(b=0\)時，就是正比例函數(shù)（特殊情況）。例：\(y=2x+1\)（是，\(k=2\)，\(b=1\)）；\(y=-x-3\)（是，\(k=-1\)，\(b=-3\)）；\(y=5\)（否，\(k=0\)，是常數(shù)函數(shù)）。（二）圖像與性質1.圖像：直線（兩點確定一條直線，通常取與坐標軸的交點：與\(x\)軸交點：令\(y=0\)，得\(x=-b/k\)，即\((-b/k,0)\)；與\(y\)軸交點：令\(x=0\)，得\(y=b\)，即\((0,b)\)（\(b\)稱為縱截距）。2.性質：\(k\)的作用：決定直線的增減性和傾斜方向：\(k>0\)：直線上升，\(y\)隨\(x\)增大而增大；\(k<0\)：直線下降，\(y\)隨\(x\)增大而減小；\(|k|\)越大，直線越陡（傾斜程度越大）。\(b\)的作用：決定直線與\(y\)軸的交點位置：\(b>0\)：交點在\(y\)軸正半軸；\(b=0\)：交點在原點（即正比例函數(shù)）；\(b<0\)：交點在\(y\)軸負半軸。例：\(y=2x+3\)（\(k=2>0\)，遞增；\(b=3>0\)，與\(y\)軸交于正半軸，圖像過一、二、三象限）；\(y=-x-2\)（\(k=-1<0\)，遞減；\(b=-2<0\)，與\(y\)軸交于負半軸，圖像過二、三、四象限）。（三）一次函數(shù)與方程、不等式的關系1.一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像與\(x\)軸交點的橫坐標，就是方程\(kx+b=0\)的解（\(x=-b/k\)）；2.當\(k>0\)時，\(y>0\)對應\(x>-b/k\)（圖像在\(x\)軸上方的部分），\(y<0\)對應\(x<-b/k\)；當\(k<0\)時，\(y>0\)對應\(x<-b/k\)，\(y<0\)對應\(x>-b/k\)。（四）一次函數(shù)的應用常見場景：行程問題（速度、時間、路程）、利潤問題（售價、銷量、利潤）、計費問題（水電費、電話費）。解題步驟：1.設變量：通常設自變量為\(x\)（如時間、售價），因變量為\(y\)（如路程、利潤）；2.列解析式：根據(jù)題意找到\(k\)（變化率，如速度、單價）和\(b\)（初始值，如初始路程、固定成本）；3.求值域或最值：根據(jù)自變量取值范圍，求\(y\)的范圍或最值（一次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值出現(xiàn)在端點）。（五）練習基礎題：1.一次函數(shù)\(y=-2x+5\)的\(k=-2\)，\(b=5\)，圖像過第一、二、四象限，\(y\)隨\(x\)增大而減小。2.求一次函數(shù)\(y=3x-6\)與\(x\)軸、\(y\)軸的交點：與\(x\)軸交點：令\(y=0\)，得\(x=2\)，即\((2,0)\)；與\(y\)軸交點：令\(x=0\)，得\(y=-6\)，即\((0,-6)\)。提升題：某商店銷售某種商品，每件成本為\(10\)元，售價為\(x\)元（\(x≥10\)），銷量為\(y\)件，且\(y\)與\(x\)的關系為\(y=-2x+50\)。求利潤\(W\)（元）與售價\(x\)（元）的函數(shù)解析式，并求當售價為多少時，利潤最大？解析：利潤\(W=\)（售價-成本）×銷量=\((x-10)y=(x-10)(-2x+50)\)，展開得\(W=-2x^2+70x-500\)（注意：這里雖然是二次函數(shù)，但題目問的是一次函數(shù)應用？不，其實是一次函數(shù)與二次函數(shù)的結合，不過初中階段重點是列解析式）。對于二次函數(shù)\(W=-2x^2+70x-500\)，開口向下（\(a=-2<0\)），頂點橫坐標為\(x=-b/(2a)=-70/(2×(-2))=17.5\)，故當售價為\(17.5\)元時，利潤最大。五、反比例函數(shù)：\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)，\(k\)為常數(shù)）（一）定義形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)是常數(shù)，\(k≠0\)）的函數(shù)，稱為反比例函數(shù)。也可表示為\(y=kx^{-1}\)或\(xy=k\)（\(k≠0\)）。例：\(y=\frac{2}{x}\)（是，\(k=2\)）；\(y=-\frac{3}{x}\)（是，\(k=-3\)）；\(y=\frac{0}{x}\)（否，\(k=0\)）。（二）圖像與性質1.圖像：雙曲線（兩支，分別在兩個象限），無限接近坐標軸但不與坐標軸相交（\(x≠0\)，\(y≠0\)）。2.性質：當\(k>0\)時，雙曲線過第一、三象限，在每個象限內，\(y\)隨\(x\)的增大而減??；當\(k<0\)時，雙曲線過第二、四象限，在每個象限內，\(y\)隨\(x\)的增大而增大；\(|k|\)越大，雙曲線離坐標軸越遠（開口越大）。例：\(y=\frac{4}{x}\)（\(k=4>0\)，過一、三象限，遞減）；\(y=-\frac{2}{x}\)（\(k=-2<0\)，過二、四象限，遞增）。（三）練習基礎題：1.反比例函數(shù)\(y=\frac{5}{x}\)的圖像過第一、三象限，\(y\)隨\(x\)增大而減?。ㄔ诿總€象限內）。2.若反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像過點\((1,-3)\)，則\(k=1×(-3)=-3\)，函數(shù)解析式為\(y=-\frac{3}{x}\)。提升題：反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)與一次函數(shù)\(y=x+2\)的圖像交于點\((1,m)\)，求\(k\)和\(m\)的值。解析：將\((1,m)\)代入一次函數(shù)\(y=x+2\)，得\(m=1+2=3\)；將\((1,3)\)代入反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)，得\(3=\frac{k}{1}\)，解得\(k=3\)。六、二次函數(shù)：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)為常數(shù)）（一）定義與表達式1.定義：形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）的函數(shù)，稱為二次函數(shù)（最高次項為二次項，系數(shù)\(a≠0\)）。2.常見表達式：一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）；頂點式：\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a≠0\)，\((h,k)\)為頂點坐標）；交點式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a≠0\)，\(x_1\)、\(x_2\)為與\(x\)軸交點的橫坐標）。（二）圖像與性質1.圖像：拋物線（對稱圖形，對稱軸為直線\(x=h\)或\(x=-b/(2a)\)）。2.性質：開口方向：\(a>0\)時，拋物線開口向上（有最小值）；\(a<0\)時，開口向下（有最大值）；頂點坐標：一般式中為\((-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))\)，頂點式中為\((h,k)\)；對稱軸：直線\(x=-b/(2a)\)（一般式）或\(x=h\)（頂點式）；增減性：當\(a>0\)時，在對稱軸左側（\(x<-b/(2a)\)），\(y\)隨\(x\)增大而減?。辉趯ΨQ軸右側（\(x>-b/(2a)\)），\(y\)隨\(x\)增大而增大；當\(a<0\)時，在對稱軸左側（\(x<-b/(2a)\)），\(y\)隨\(x\)增大而增大；在對稱軸右側（\(x>-b/(2a)\)），\(y\)隨\(x\)增大而減小；最值：頂點的縱坐標，即當\(x=-b/(2a)\)時，\(y=(4ac-b^2)/(4a)\)（\(a>0\)時最小，\(a<0\)時最大）。（三）二次函數(shù)與坐標軸的交點1.與\(y\)軸交點：令\(x=0\)，得\(y=c\)，即\((0,c)\)（必交于一點）；2.與\(x\)軸交點：令\(y=0\)，得方程\(ax^2+bx+c=0\)，其解的情況由判別式\(Δ=b^2-4ac\)決定：\(Δ>0\)：有兩個不同的實數(shù)解，拋物線與\(x\)軸交于兩點；\(Δ=0\)：有一個實數(shù)解（重根），拋物線與\(x\)軸相切于頂點；\(Δ<0\)：無實數(shù)解，拋物線與\(x\)軸無交點。（四）二次函數(shù)的應用常見場景：求最值問題（如矩形面積最大值、利潤最大值、拋體運動最高點）。解題步驟：1.設變量：設自變量為\(x\)（如矩形的邊長、售價），因變量為\(y\)（如面積、利潤）；2.列解析式：根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式（一般式或頂點式）；3.求最值：通過頂點坐標公式或配方法求最值（注意自變量取值范圍）。（五）練習基礎題：1.二次函數(shù)\(y=2x^2-4x+1\)的\(a=2\)（開口向上），對稱軸為直線\(x=-b/(2a)=-(-4)/(2×2)=1\)，頂點坐標為\((1,(4ac-b^2)/(4a))=(1,(4×2×1-(-4)^2)/(4×2))=(1,(8-16)/8)=(1,-1)\)。2.二次函數(shù)\(y=-(x-3)^2+5\)的頂點坐標為\((3,5)\)，開口向下（\(a=-1<0\)），最大值為\(5\)。提升題：用長為\(20\)米的籬笆圍一個矩形菜園，一邊靠墻（墻長不限），求菜園面積的最大值。解析：設矩形菜園與墻垂直的邊長為\(x\)米，則與墻平行的邊長為\((20-2x)\)米（籬笆總長為\(2x+(20-2x)=20\)），面積\(S=x(20-2x)=-2x^2+20x\)（\(x>0\)，\(20-2x>0\)→\(0<x<10\)）。對于二次函數(shù)\(S=-2x^2+20x\)，\(a=-2<0\)，開口向下，頂點橫坐標為\(x=-b/(2a)=-20/(2×(-2))=5\)，此時\(S=-2×5^2+20×5=-50+100=50\)（平方米）。故當\(x=5\)米時，菜園面積最大，最大值為\(50\)平方米。七、函數(shù)綜合應用練習（一）題目1.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像過點\((1,3)\)和\((-1,-1)\)，求\(k\)、\(b\)的值及函數(shù)解析式。2.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)與二次函數(shù)\(y=x^2+1\)的圖像交于點\((2,m)\)，求\(k\)和\(m\)的值。3.二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像過點\((0,2)\)、\((1,3)\)、\((2,6)\)，求其解析式。（二）解析1.解：將\((1,3)\)和\((-1,-1)\)代入\(y=kx+b\)，得方程組：\[\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\]相加得\(2b=2\)→\(b=1\)，代入第一個方程得\(k=2\)，故函數(shù)解析式為\(y=2x+1\)。2.解：將\((2,m)\)代入二次函數(shù)\(y=