課時規(guī)范練A組基礎(chǔ)對點練1．函數(shù)f(x)＝(eq\r(3)sinx＋cosx)(eq\r(3)cosx－sinx)的最小正周期是()A.eq\f(π,2) B．πC.eq\f(3π,2) D．2π解析：由題意得f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))×2cos(x＋eq\f(π,6))＝2sin(2x＋eq\f(π,3))．故該函數(shù)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.故選B.答案：B2．(2018·開封模擬)設(shè)a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝eq\f(2tan13°,1－tan213°)，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，則()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a解析：∵a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°，b＝tan26°，c＝sin25°，∴a<c<b.答案：C3．為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖像，可以將函數(shù)y＝eq\r(2)cos3x的圖像()A．向右平移eq\f(π,12)個單位 B．向右平移eq\f(π,4)個單位C．向左平移eq\f(π,12)個單位 D．向左平移eq\f(π,4)個單位解析：∵y＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，∴將y＝eq\r(2)cos3x的圖像向右平移eq\f(π,12)個單位即可得到y(tǒng)＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))的圖像，故選A.答案：A4．若將函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x的圖像向右平移φ個單位，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則φ的最小正值是()A.eq\f(π,8)B.eqB.\f(π,4)C.eq\f(3π,8)D.eqD.\f(3π,4)解析：由f(x)＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))知f(x)圖像的對稱軸方程為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)(k∈Z)，因此在y軸左側(cè)且離y軸最近的對稱軸方程為x＝－eq\f(3π,8).依題意結(jié)合圖像知，φ的最小正值為eq\f(3π,8)，故選C.答案：C5．(2018·惠州調(diào)研)函數(shù)y＝cos2x＋2sinx的最大值為()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：y＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2)，因為－1≤sinx≤1，所以當sinx＝eq\f(1,2)時，函數(shù)取最大值，故ymax＝eq\f(3,2).答案：C6．已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，則A＝_______，b＝_______.解析：由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋1，所以A＝eq\r(2)，b＝1.答案：eq\r(2)17．函數(shù)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的單調(diào)遞增區(qū)間是__________．解析：因為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，則由2kπ－eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即2kπ－eq\f(5π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))8．已知函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)sinx，x∈R，則f(x)的最小值是__________．解析：f(x)＝sin2x＋sinx·cosx＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝－1時，f(x)min＝eq\f(1－\r(2),2).答案：eq\f(1－\r(2),2)9．已知函數(shù)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且f(eq\f(π,4))＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f(eq\f(α,4))＝－eq\f(2,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，求sin(α＋eq\f(π,3))的值．解析：(1)因為f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函數(shù)，而y1＝a＋2cos2x為偶函數(shù)，所以y2＝cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，由θ∈(0，π)，得θ＝eq\f(π,2)，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由f(eq\f(π,4))＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝－eq\f(1,2)sin4x，因為f(eq\f(α,4))＝－eq\f(1,2)sinα＝－eq\f(2,5)，即sinα＝eq\f(4,5)，又α∈(eq\f(π,2)，π)，從而cosα＝－eq\f(3,5)，所以sin(α＋eq\f(π,3))＝sinαcoseq\f(π,3)＋cosαsineq\f(π,3)＝eq\f(4－3\r(3),10).10．已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，eq\r(3)cosx)，函數(shù)f(x)＝a·b＋eq\f(\r(3),2).(1)求f(x)的最小正周期，并求其圖像對稱中心的坐標；(2)當0≤x≤eq\f(π,2)時，求函數(shù)f(x)的值域．解析：(1)因為f(x)＝sinxcosx－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)(cos2x＋1)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，所以f(x)的最小正周期為π，令sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝0，得2x－eq\f(π,3)＝kπ，∴x＝eq\f(k,2)π＋eq\f(π,6)，k∈Z，故所求對稱中心的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π＋\f(π,6)，0))(k∈Z)．(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，故f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).B組能力提升練1．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為eq\f(π,3)，則f(x)的最小正周期為()A.eq\f(π,2)B.eqB.\f(2π,3)C．π D．2π解析：由題意得函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))(ω>0)，又曲線y＝f(x)與直線y＝1相鄰交點距離的最小值是eq\f(π,3)，由正弦函數(shù)的圖像知，ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)和ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)對應(yīng)的x的值相差eq\f(π,3)，即eq\f(2π,3ω)＝eq\f(π,3)，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝eq\f(2π,ω)＝π.答案：C2．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(1＋cos2x)·sin2x(x∈R)是()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)C．最小正周期為π的偶函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)解析：f(x)＝eq\f(1,4)(1＋cos2x)(1－cos2x)＝eq\f(1,4)(1－cos22x)＝eq\f(1,4)sin22x＝eq\f(1,8)(1－cos4x)，f(－x)＝eq\f(1,8)(1－cos4x)＝f(x)，因此函數(shù)f(x)是最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)，選D.答案：D3．設(shè)α，β∈[0，π]，且滿足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，則sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范圍為()A．[－eq\r(2)，1] B．[－1，eq\r(2)]C．[－1,1] D．[1，eq\r(2)]解析：∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1?sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝eq\f(π,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π))?eq\f(π,2)≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－α＋\f(π,2)))＋sin(α－2α＋π)＝sinα＋cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))).∵eq\f(π,2)≤α≤π，∴eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)≤eq\f(5,4)π，∴－1≤eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))≤1，即取值范圍是[－1,1]，故選C.答案：C4．已知eq\f(2sin2θ＋sin2θ,1＋tanθ)＝k,0<θ<eq\f(π,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))的值為()A．隨著k的增大而增大B．有時隨著k的增大而增大，有時隨著k的增大而減小C．隨著k的增大而減小D．是與k無關(guān)的常數(shù)解析：eq\f(2sin2θ＋sin2θ,1＋tanθ)＝eq\f(2sinθsinθ＋cosθ,\f(sinθ＋cosθ,cosθ))＝2sinθcosθ＝sin2θ，∵0<θ<eq\f(π,4)，∴0<sinθ<eq\f(\r(2),2)<cosθ<1,0<2θ<eq\f(π,2)，∴k＝sin2θ∈(0,1)，(sinθ－cosθ)2＝1－sin2θ，sinθ－cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\r(1－k)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sinθ－cosθ)＝－eq\f(\r(2－2k),2)，其值隨著k的增大而增大，故選A.答案：A5．已知函數(shù)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最大值為3，f(x)的圖像與y軸的交點坐標為(0,2)，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝__________.解析：f(x)＝eq\f(A,2)cos(2ωx＋2φ)＋eq\f(A,2)＋1.由相鄰兩條對稱軸間的距離為2，知eq\f(T,2)＝2，得T＝4＝eq\f(2π,2ω)，∴ω＝eq\f(π,4)，由f(x)的最大值為3，得A＝2.又f(x)的圖像過點(0,2)，∴cos2φ＝0，∴2φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)(k∈Z)，又0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,2)))＋2＝－sineq\f(πx,2)＋2.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2016＝4032.答案：40326．求函數(shù)f(x)＝4cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1(x∈R)的最大值．解析：∵f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1＝4cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))－1＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，∴f(x)max＝2.7．已知函數(shù)f(x)＝sin(3x＋eq\f(π,4))．(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若α是第二象限角，f(eq\f(α,3))＝eq\f(4,5)cos(α＋eq\f(π,4))cos2α，求cosα－sinα的值．解析：(1)因為函數(shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ]，k∈Z.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)，k∈Z.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)，eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)cos(α＋eq\f(π,4))(cos2α－sin2α)，所以sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)(cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4))·(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝eq\f(4,5)(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．當sinα＋cosα＝0時，由α是第二象限角，知α＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.此時，cosα－sinα＝－eq\r(2).當sinα＋cosα≠0時，有(cosα－sinα)2＝eq\f(5,4).由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此時cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),2).綜上所述，cosα－sinα＝－eq\r(2)或－eq\f(\r(5),2).8．(2018·三湘名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sinωx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)．(1)若f(x)在[0，π]上的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，求ω的取值范圍；(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)，且f(0)＋fe