第第頁第05講空間向量的數(shù)量積運算掌握空間向量的數(shù)量積，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.知識點1空間向量的夾角定義如圖，已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b知識點2空間向量的數(shù)量積運算1．(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.投影向量及直線與平面所成的角(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．注意點：(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，其符號由夾角θ的范圍決定．①當(dāng)θ為銳角時，a·b>0；但當(dāng)a·b>0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0.②當(dāng)θ為鈍角時，a·b<0；但當(dāng)a·b<0時，θ不一定為鈍角，因為θ也可能為π.(3)空間向量的數(shù)量積運算不滿足消去律和結(jié)合律．知識點3空間向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，是單位向量，則①；②；③或；④；⑤(當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立)1、求空間向量數(shù)量積的步驟(1)將待求數(shù)量積的兩向量的模長及它們的夾角理清；(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角余弦值的乘積；(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．注：在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形，將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式;其次利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積;最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或特殊角.2、求兩個向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后確定〈a，b〉的值．3、利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟注：求兩向量夾角，必須特別關(guān)注兩向量方向，應(yīng)用向量夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角．4、利用空間向量解決垂直問題的方法(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的數(shù)量積并判斷是否為0.5、求兩點間的距離或線段長的方法將相應(yīng)線段用向量表示，通過向量運算來求對應(yīng)向量的模．用其他已知夾角和模的向量表示該向量；因為a·a＝|a|2，所以|a|＝，這是利用向量解決距離問題的基本公式．另外，該公式還可以推廣為|a±b|＝，.（4）可用|a·e|＝|a||cosθ|(e為單位向量，θ為a，e的夾角)來求一個向量在另一個向量所在直線上的投影．考點一：空間向量數(shù)量積的概念辨析空間向量的夾角例1．在正四面體ABCD中，與的夾角等于（

）A．30°B．60°C．150°D．120°變式1．如圖，在長方體中：(1)哪些棱所在直線與直線互為異面直線且互相垂直？(2)若，分別求向量與，，的夾角.空間向量的運算律例2．【多選】設(shè)，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A．B．C．D．變式1．設(shè)，，都是非零空間向量，則下列等式不一定正確的是（

）A．B．C．D．考點二：空間向量數(shù)量積的運算例3．已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．變式1．【多選】正方體的棱長為1，體對角線與，相交于點，則（

）A．B．C．D．變式2．平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．考點三：空間向量數(shù)量積的最值問題例4．已知點P在棱長為2的正方體的表面上運動，則的最大值為（

）A．6B．7C．8D．9變式1．如圖，已知正方體的棱長為，點是四邊形的內(nèi)切圓上一點，為四邊形的中心，則的最大值為（

）A．B．C．D．變式2．已知球O是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點P為正四面體表面上的一個動點，則的取值范圍為_______________.考點四：利用空間向量的數(shù)量積求夾角例5．如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．變式1．在平行六面體中，，且，則的余弦值是________.變式2．已知空間向量，則使向量與的夾角為鈍角的實數(shù)的取值范圍是____________．考點五：利用空間向量的數(shù)量積解決垂直問題例6．在空間，已知，為單位向量，且，若，，，則實數(shù)k的值為（

）A．－6B．6C．3D．－3例7．如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，且，，．(1)求線段的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)若為的中點，證明：．考點六：利用空間向量的數(shù)量積求距離(即線段長度)例8．已知，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，那么（

）A．2B．C．D．6例9．已知正四面體的棱長為，若、分別是、的中點，則線段的長為（

）A．2B．C．D．變式1．平行六面體的底面是菱形，，，，線段的長度為，則______．變式2．如圖，在平行六面體中，，，，，，，則的長為（

）A．B．C．D．變式3．如圖，在四面體ABCD中，，，，.(1)求的值；(2)已知F是線段CD中點，點E滿足，求線段EF的長.考點七：利用空間向量的數(shù)量積求投影例10．已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A．B．C．D．變式1．如圖，已知正方體的棱長為1，為棱上的動點，則向量在向量方向上的投影數(shù)量的取值范圍為______．1．（2023春·高一課時練習(xí)）已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A．B．C．D．42．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A．B．C．D．一、單選題1．如圖，在平行六面體中，，，，，E為中點，則AE的長為（

）

A．B．C．D．2．已知單位向量，，中，，，則（

）A．B．5C．6D．3．定義兩個向量與的向量積是一個向量，它的模，它的方向與和同時垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則（

）

A．B．4C．D．4．在三棱錐中，，則與的夾角為（

）A．B．C．D．不確定5．若為非零向量，，則與一定（

）A．共線B．相交C．垂直D．不共面6．已知二面角的大小為，點B、C在棱l上，，，，，則AD的長為（

）A．B．C．D．7．四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為（

）A．B．C．D．二、填空題8．棱長均為a的四面體中，的值等于_________．9．已知，則__________．10．若三棱錐的棱長都為為的中點，為棱上一點，且，則的長為__________.11．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，分別為上的點，且，__________.

空間向量的數(shù)量積運算隨堂檢測1.對于任意空間向量，，，下列說法正確的是（

）A．若且，則 B．C．若，且，則 D．2.已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A．B．C．D．3.如圖，各棱長都為的四面體中，，則向量（

）A． B． C． D．4.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于a，點E、F分別是、的中點，則的值為（

）A． B． C． D．5.已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．1 D．06.已知均為空間單位向量，且它們的夾角為，則___