中考數學真題分類（勾股定理）匯編專題攻克考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、我國古代數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：

“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．水深、葭長各幾何？”．其大意是：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為10尺(丈、尺是長度單位，1丈＝10尺)的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？若設這跟蘆葦的長度為x尺，根據題意，所列方程正確的是(

)A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2＝(x＋1)2C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2＝(x＋1)22、如圖，以Rt△ABC的兩直角邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，則斜邊AB的長是（

）A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm3、△ABC的三邊長a，b，c滿足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC的面積是（

）A．65 B．60 C．30 D．264、已知直角三角形的兩條邊長分別是3和4，那么這個三角形的第三條邊的長為（

）A．5 B．25 C． D．5或5、如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設筷子露在外面的長為hcm，則h的取值范圍是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤126、如圖，P是等邊三角形內的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結論中不正確的是（

）A． B． C． D．7、如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和3cm，高為6cm．如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈達到點B，那么所用細線最短需要（

）A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、已知，在中，，，，則的面積為__．2、如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為__________．3、《九章算術》是我國古代數學名著，書中有下列問題：“今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地，問木長幾何？”其意思為：今有墻高1丈，倚木桿于墻，使木之上端與墻平齊，牽引木桿下端退行1尺，則木桿（從墻上）滑落至地上．問木桿是多長？（1丈=10尺）設木桿長為x尺根據題意，可列方程為______．4、如圖，在正方形網格中，點A，B，C，D，E是格點，則∠ABD＋∠CBE的度數為_____________．

5、如圖，圓柱形無蓋玻璃容器，高18cm，底面周長為60cm，在外側距下底1cm的點C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側距開口1cm的F處有一蒼蠅，則急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度為__________cm（容器壁厚度忽略不計）．6、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取點D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，連結DE．若AB＝4，AC＝3，則DE＝__．7、如圖，在的網格中每個小正方形的邊長都為1，的頂點、、都在格點上，點為邊的中點，則線段的長為________．8、《九章算術》中記載著這樣一個問題：已知甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7步/分，乙的速度為3步/分，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時，甲、乙各走了多遠？解：如圖，設甲乙兩人出發(fā)后x分鐘相遇．根據勾股定理可列得方程為______．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖，煙臺市正政府決定在相距50km的A、B兩村之間的公路旁E點，修建一個大櫻桃批發(fā)市場，且使C、D兩村到E點的距離相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大櫻桃批發(fā)市場E應建什么位置才能符合要求？2、如圖，在四邊形中，，，于，（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．3、我們知道，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．由此，我們可以引入如下新定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．（1）如圖1，點P在線段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求證：點P是△APD的準外心；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的準外心P在△ABC的直角邊上，試求AP的長．4、如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，，，于A，于B，現要在AB上建一個中轉站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E應建在距A多遠處？5、閱讀與思考：請閱讀下列材料，并完成相應的任務．若直角三角形的三邊的長都是正整數，則三邊的長為“勾股數”．構造勾股數，就是要尋找3個正整數，使它們滿足“其中兩個數的平方和（或平方差）等于第三個數的平方”．通過觀察常見勾股數“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想當一組勾股數中（），最小數為奇數時，另兩個正整數和滿足比且，解得，．任務：(1)請證明猜想成立，即證明，，構成勾股數．(2)若一組勾股數中，最小數為9，則另兩個數分別是________和________．6、如圖是三個全等的直角三角形紙片，且，按如圖的三種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過其中的一個頂點，且使該頂點所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為．(1)若，求的值．(2)若，求①單個直角三角形紙片的面積是多少？②此時的值是多少？7、如圖，已知和中，，，，點C在線段BE上，連接DC交AE于點O．（1）DC與BE有怎樣的位置關系？證明你的結論；（2）若，，求DE的長．-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】設這跟蘆葦的長度為x尺，根據勾股定理，即可求解．【詳解】解：設這跟蘆葦的長度為x尺，根據題意得：52＋(x－1)2＝x2故選：C【考點】本題主要考查了勾股定理的應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．2、D【解析】【分析】根據正方形的面積可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根據勾股定理即可得到AB2，從而可以求得AB的值．【詳解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，∴BC2＝8，AC2＝17，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，∴AB＝5cm，故選：D．【考點】本題考查正方形的面積、勾股定理，解答本題的關鍵是明確正方形的面積是邊長的平方．3、C【解析】【分析】首先根據非負數的性質可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，進而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理證明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵+(b-12)2+|c-13|=0，∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC==30．故選：C．【考點】此題主要考查了非負數的性質，以及勾股定理逆定理，熟練掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形，利用非負數性質求出a、b、c的值是解題的關鍵．4、D【解析】【分析】分情況討論：①當邊長為4的邊作斜邊時；②當邊長為4的邊作直角邊時，利用勾股定理分別求解即可．【詳解】解：當邊長為4的邊作斜邊時，第三條邊的長度為；當邊長為4的邊作直角邊時，第三條邊的長度為；綜上分析可知，這個三角形的第三條邊的長為5或，故D正確．故選：D．【考點】本題主要考查了勾股定理，掌握分類討論的思想是解題的關鍵．5、B【解析】【分析】根據題意畫出圖形，先找出h的值為最大和最小時筷子的位置，再根據勾股定理解答即可．【詳解】解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，如圖所示：此時，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故選：B．【考點】本題考查了勾股定理的實際應用問題，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形找出何時h有最大及最小值，同時注意勾股定理的靈活運用，有一定難度．6、C【解析】【分析】根據△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據勾股定理的逆定理即可判斷B；根據△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【考點】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是綜合應用以上知識．7、B【解析】【詳解】要求所用細線的最短距離，需將長方體的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果．解：將長方體展開,連接AB′，則AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6cm，∴AB′=cm.故選B..二、填空題1、2或14#14或2【解析】【分析】過點B作AC邊的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是鈍角三角形時，②△ABC是銳角三角形時，分別求出AC的長，即可求解．【詳解】解：過點作邊的高，中，，，，在中，，，①是鈍角三角形時，，；②是銳角三角形時，，，故答案為：2或14．【考點】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關鍵是分類討論思想．2、##【解析】【分析】根據勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【考點】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關鍵．3、102+（x-1）2=x2【解析】【分析】當木桿的上端與墻頭平齊時，木桿與墻、地面構成直角三角形，設木桿長為x尺，則木桿底端離墻有（x-1）尺，根據勾股定理可列出方程．【詳解】解：如圖，設木桿AB長為x尺，則木桿底端B離墻的距離即BC的長有（x-1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-1）2=x2，故答案為：102+（x-1）2=x2．【考點】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是由實際問題抽象出直角三角形，從而運用勾股定理解題．4、45°【解析】【分析】取網格點M、N、F，連接AM、AN、BM、MF、BN，根據網格線可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根據勾股定理的逆定理證明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解．【詳解】取網格點M、N、F，連接AM、AN、BM、MF、BN，如圖，根據網格線可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，由網格圖可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，則∠ABD+∠CBE=∠MAB，在Rt△ANB中，有，同理可求得：，∵，∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，∴∠MAB=45°，即：∠ABD+∠CBE=45°，故答案為：45°．【考點】本題考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知識，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本題的關鍵．5、34【解析】【分析】首先展開圓柱的側面，即是矩形，接下來根據兩點之間線段最短，可知CF的長即為所求；然后結合已知條件求出DF與CD的長，再利用勾股定理進行計算即可.【詳解】如圖為圓柱形玻璃容器的側面展開圖，線段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根據題意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），∴（cm），即蜘蛛所走的最短路線的長度是34cm.故答案為34.【考點】此題是有關最短路徑的問題，關鍵在于把立體圖形展開成平面圖形，找出最短路徑；6、5【解析】【分析】根據角度轉換，得到三角形ADE是直角三角形，然后運用勾股定理計算出DE的長.【詳解】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【考點】本題主要考查到運用勾股定理求長度，說明三角形ADE是直角三角形是解題的關鍵.7、2.5【解析】【分析】由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，則AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出答案．【詳解】解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，∵點O為AB邊的中點，∴CO=AB=2.5，故答案為：2.5．【考點】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜邊上的中線性質等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．8、【解析】【分析】設甲、乙二人出發(fā)后相遇的時間為x，然后利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設經x秒二人在C處相遇，這時乙共行AC=3x，甲共行AB+BC=7x，∵AB=10，∴BC=7x-10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x-10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x-10)2=(3x)2+102．【考點】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形．三、解答題1、大櫻桃批發(fā)市場E應建在離A站20千米的地方【解析】【分析】由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方分別求出和，列等式求解即可．【詳解】解：設大櫻桃批發(fā)市場E應建在離A站x千米的地方，則千米．在直角中，根據勾股定理得：，∴，在直角中，根據勾股定理得：，∴．又∵C、D兩村到E點的距離相等，∴，∴，所以，解得．∴大櫻桃批發(fā)市場E應建在離A站20千米的地方．【考點】本題考查勾股定理的實際應用，掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關鍵．2、（1）詳見解析；（2）S四邊形ABCD=56【解析】【分析】（1）由等角的余角相等可得∠DAC=∠ABE，再根據題意可得Rt△BAE≌Rt△ADC，即可證；（2）根據勾股定理算出AC，由全等可得BE=AC，再算出△ACD的面積和△ABC的面積相加即可．【詳解】解：（1）∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵BAD=90°，∴∠BAE+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ABE，又∵AB=AD，∠BEA=∠ACD，∴Rt△BAE≌Rt△ADC(AAS)，∴BE=AC．（2）∵AB=AD=10，CD=6，∠ACD=90°，∴，∵Rt△BAE≌Rt△ADC，∴BE=AC=8，∴．【考點】本題考查三角形全等的判定和性質，三角形面積，關鍵在于牢記基礎知識并靈活使用．3、（1）見解析；（2）AP的長為或2或【解析】【分析】（1）利用AAS證明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定義可知點P是△APD的準外心；（2）先利用勾股定理計算AC=4，再進行討論：當P點在AB上，PA＝PB，當P點在AC上，PA＝PC，易得對應AP的值；當P點在AC上，PB＝PC，設AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此時AP的長．【詳解】（1）證明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB＝∠DPC，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP＝PD，∴點P是△APD的準外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC4，當P點在AB上，PA＝PB，則APAB；當P點在AC上，PA＝PC，則APAC＝2，當P點在AC上，PB＝PC，如圖2，設AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，即此時AP，綜上所述，AP的長為或2或．【考點】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理及新定義的運用能力．理解題中給的定義是解題的關鍵．4、E應建在距A點15km處【解析】【分析】設，則，根據勾股定理求得和，再根據列式計算即可；【詳解】設，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以：，解得：．所以，E應建在距A點15km處．【考點】本題主要考查了勾股定理的實際應用，準確計算是解題的關鍵．5、(1)見解析(2)40；41【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理證明即可．(2)利用勾股數的公式代入求值即可．(1)證明：，∴，，構成勾股數.(2)根據最小數為奇數時，另兩個正整數為，，當a=9時，，，故答案為：40,41．【考點】本題考查了勾股定理逆定理，勾股數的探索，代入求值，熟練掌握勾股數是解題的關鍵．6、(1)(2)①36；②【解析】【分析】（1）設DE=CE=x，則BE=4-x，依據S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，進而得出S1的值．（2）①如圖1，依據S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，進而得出S1=x2；如圖2，依據S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，進而得出S2=x2，再根據S1+S2=13，即可得