高考數(shù)學圓錐曲線復習導學講義一、圓錐曲線的高考地位與考查方向圓錐曲線是高考數(shù)學的核心考點之一，約占15-20分（全國卷），題型覆蓋選擇題、填空題、解答題，其中解答題多為壓軸題（第20或21題），考查綜合能力?？疾橹攸c：定義與幾何性質（基礎）；直線與圓錐曲線的位置關系（核心，占解答題80%以上）；軌跡、范圍、最值、定點定值、存在性問題（綜合應用）。二、基礎知識點梳理（必背）（一）橢圓1.定義：平面內到兩定點\(F_1,F_2\)（焦距\(|F_1F_2|=2c>0\)）的距離之和為定值\(2a\)（\(2a>2c\)）的點的軌跡。注：若\(2a=2c\)，軌跡為線段\(F_1F_2\)；若\(2a<2c\)，無軌跡。2.標準方程：焦點在\(x\)軸：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)，\(c^2=a^2-b^2\)）；焦點在\(y\)軸：\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）。3.幾何性質：長軸\(2a\)，短軸\(2b\)，焦距\(2c\)；離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(0<e<1\)，\(e\)越小，橢圓越圓）；焦半徑公式：\(|PF_1|=a+ex_0\)，\(|PF_2|=a-ex_0\)（\(P(x_0,y_0)\)在橢圓上，\(F_1\)為左焦點）。（二）雙曲線1.定義：平面內到兩定點\(F_1,F_2\)（焦距\(|F_1F_2|=2c>0\)）的距離之差的絕對值為定值\(2a\)（\(0<2a<2c\)）的點的軌跡。注：若\(2a=2c\)，軌跡為兩條射線；若\(2a>2c\)，無軌跡。2.標準方程：焦點在\(x\)軸：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)，\(c^2=a^2+b^2\)）；焦點在\(y\)軸：\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）。3.幾何性質：實軸\(2a\)，虛軸\(2b\)，焦距\(2c\)；離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)，\(e\)越大，雙曲線開口越廣）；漸近線：將標準方程中的“1”換為“0”，因式分解得：焦點在\(x\)軸：\(y=\pm\frac{a}x\)；焦點在\(y\)軸：\(y=\pm\frac{a}x\)；焦半徑公式：左支上點\(P(x_0,y_0)\)：\(|PF_1|=-ex_0-a\)，\(|PF_2|=-ex_0+a\)；右支上點\(P(x_0,y_0)\)：\(|PF_1|=ex_0+a\)，\(|PF_2|=ex_0-a\)。（三）拋物線1.定義：平面內到定點\(F\)（焦點）與定直線\(l\)（準線）距離相等的點的軌跡（\(F\notinl\)）。2.標準方程與幾何性質（開口方向決定形式）：開口方向標準方程焦點坐標準線方程離心率\(e\)向右\(y^2=2px\)（\(p>0\)）\((\frac{p}{2},0)\)\(x=-\frac{p}{2}\)1向左\(y^2=-2px\)（\(p>0\)）\((-\frac{p}{2},0)\)\(x=\frac{p}{2}\)1向上\(x^2=2py\)（\(p>0\)）\((0,\frac{p}{2})\)\(y=-\frac{p}{2}\)1向下\(x^2=-2py\)（\(p>0\)）\((0,-\frac{p}{2})\)\(y=\frac{p}{2}\)13.焦半徑公式：開口向右：\(|PF|=x_0+\frac{p}{2}\)（\(P(x_0,y_0)\)在拋物線上）；開口向左：\(|PF|=-x_0+\frac{p}{2}\)；開口向上：\(|PF|=y_0+\frac{p}{2}\)；開口向下：\(|PF|=-y_0+\frac{p}{2}\)。三、核心方法與技巧（必練）（一）定義法適用場景：求軌跡、求焦半徑、簡化距離運算。例：已知點\(P\)滿足\(|PF_1|+|PF_2|=10\)（\(F_1(-3,0)\)，\(F_2(3,0)\)），則\(P\)的軌跡是橢圓（\(a=5\)，\(c=3\)，\(b=4\)，方程\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)）。（二）坐標法（聯(lián)立方程+韋達定理）適用場景：直線與圓錐曲線相交（求弦長、中點、面積、定點定值）。步驟：1.設直線方程（斜率存在設\(y=kx+m\)，斜率不存在設\(x=t\)）；2.聯(lián)立圓錐曲線方程，消去\(y\)（或\(x\)）得一元二次方程：\(Ax^2+Bx+C=0\)；3.計算判別式\(\Delta=B^2-4AC\)（判斷交點個數(shù)，\(\Delta>0\)有兩個實根）；4.用韋達定理得\(x_1+x_2=-\frac{B}{A}\)，\(x_1x_2=\frac{C}{A}\)；5.代入弦長公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)；中點坐標：\((\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\)。（三）點差法適用場景：求中點弦的斜率、中點軌跡。例：橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)的弦\(AB\)中點為\(M(1,1)\)，求弦\(AB\)的斜率。解：設\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=2\)，\(y_1+y_2=2\)，代入橢圓方程得：\[\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\quad\text{①},\quad\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1\quad\text{②},\]①-②得：\(\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{3}=0\)，化簡得：\(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{3(x_1+x_2)}{4(y_1+y_2)}=-\frac{3\times2}{4\times2}=-\frac{3}{4}\)，即弦\(AB\)的斜率為\(-\frac{3}{4}\)。（四）幾何法適用場景：利用圓錐曲線的對稱性、漸近線、焦點三角形性質快速解題。焦點三角形性質：橢圓：\(\trianglePF_1F_2\)的面積\(S=b^2\tan\frac{\theta}{2}\)（\(\theta=\angleF_1PF_2\)）；雙曲線：\(\trianglePF_1F_2\)的面積\(S=b^2\cot\frac{\theta}{2}\)（\(\theta=\angleF_1PF_2\)）。（五）參數(shù)法適用場景：求范圍、最值（利用三角函數(shù)有界性）。例：橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)上點\(P(x,y)\)，求\(x+2y\)的最大值。解：設\(x=5\cos\theta\)，\(y=3\sin\theta\)，則\(x+2y=5\cos\theta+6\sin\theta=\sqrt{5^2+6^2}\sin(\theta+\varphi)=\sqrt{61}\sin(\theta+\varphi)\)，故最大值為\(\sqrt{61}\)（\(\varphi=\arctan\frac{5}{6}\)）。四、常見題型突破（必懂）（一）軌跡問題方法：定義法、直接法、代入法（相關點法）、參數(shù)法。例：已知點\(A(2,0)\)，\(B(-2,0)\)，點\(P\)滿足\(|PA|-|PB|=2\)，則\(P\)的軌跡是雙曲線的右支（\(a=1\)，\(c=2\)，\(b=\sqrt{3}\)，方程\(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)（\(x\geq1\)））。（二）范圍與最值問題方法：代數(shù)法：聯(lián)立方程得判別式\(\Delta\geq0\)，或利用基本不等式、三角函數(shù)有界性；幾何法：利用圓錐曲線的幾何意義（如距離的最值）。（三）定點定值問題方法：設參數(shù)（如直線斜率\(k\)），化簡表達式，消去參數(shù)得定點或定值。例：拋物線\(y^2=4x\)，過點\((1,0)\)的直線\(l\)與拋物線交于\(A,B\)兩點，求證：\(OA\perpOB\)（\(O\)為原點）。證明：設直線\(l\)的方程為\(x=ty+1\)，聯(lián)立\(y^2=4x\)得\(y^2-4ty-4=0\)，設\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(y_1+y_2=4t\)，\(y_1y_2=-4\)，\(x_1x_2=(ty_1+1)(ty_2+1)=t^2y_1y_2+t(y_1+y_2)+1=1\)，故\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=1+(-4)=-3\neq0\)？（哦，這里舉錯了，換一個例子：拋物線\(y^2=2px\)，過焦點\(F\)的直線\(l\)與拋物線交于\(A,B\)兩點，求證：\(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}\)。）證明：設直線\(l\)的方程為\(x=ty+\frac{p}{2}\)，聯(lián)立\(y^2=2px\)得\(y^2-2pty-p^2=0\)，設\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(y_1+y_2=2pt\)，\(y_1y_2=-p^2\)，焦半徑\(|AF|=x_1+\frac{p}{2}=ty_1+\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=ty_1+p\)，\(|BF|=ty_2+p\)，故\(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{ty_1+p}+\frac{1}{ty_2+p}=\frac{(ty_2+p)+(ty_1+p)}{(ty_1+p)(ty_2+p)}=\frac{t(y_1+y_2)+2p}{t^2y_1y_2+tp(y_1+y_2)+p^2}\)，代入\(y_1+y_2=2pt\)，\(y_1y_2=-p^2\)得：分子\(t\cdot2pt+2p=2p(t^2+1)\)，分母\(t^2\cdot(-p^2)+tp\cdot2pt+p^2=-p^2t^2+2p^2t^2+p^2=p^2(t^2+1)\)，故\(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2p(t^2+1)}{p^2(t^2+1)}=\frac{2}{p}\)，得證。（四）存在性問題方法：假設存在，聯(lián)立方程，判斷是否有解（判別式\(\Delta\geq0\)）。五、易錯點提醒（必避）1.雙曲線漸近線：焦點在\(y\)軸的雙曲線\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)，漸近線是\(y=\pm\frac{a}x\)（而非\(\frac{a}x\)）；2.拋物線焦點：\(y^2=-2px\)的焦點是\((-\frac{p}{2},0)\)（而非\(\frac{p}{2}\)）；3.焦半徑符號：雙曲線左支上的點到右焦點的距離是\(-ex_0+a\)（需保證距離為正）；4.判別式：直線與圓錐曲線相交時，必須滿足\(\Delta>0\)（否則無實根）；5.范圍限制：橢圓上點的橫坐標范圍是\([-a,a]\)，雙曲線右支上點的橫坐標范圍是\([a,+\infty)\)（易忽略）。六、備考策略（必行）1.夯實基礎：記牢定義、方程、性質（每天花10分鐘默寫）；2.專題訓