人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)期中練習(xí)一、引言九年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試是對(duì)上冊(cè)前半部分內(nèi)容的綜合考查，核心覆蓋一元二次方程、二次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)、圓的基本性質(zhì)四大板塊。本文以“考點(diǎn)梳理+典型例題+易錯(cuò)警示+實(shí)戰(zhàn)演練”為框架，幫助學(xué)生系統(tǒng)梳理知識(shí)體系，掌握解題技巧，規(guī)避常見錯(cuò)誤，提升應(yīng)試能力。二、核心考點(diǎn)梳理（一）一元二次方程1.定義：形如\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)，\(a,b,c\)為常數(shù)）的整式方程，關(guān)鍵是二次項(xiàng)系數(shù)不為0。2.解法：配方法：移項(xiàng)→配方（加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）→開平方。公式法：求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（前提：判別式\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)）。因式分解法：提公因式、平方差、完全平方（適用于右邊為0且左邊可分解的情況）。3.根的判別式：\(\Delta>0\)：有兩個(gè)不相等的實(shí)根；\(\Delta=0\)：有兩個(gè)相等的實(shí)根；\(\Delta<0\)：無實(shí)根。4.韋達(dá)定理：若\(x_1,x_2\)是方程\(ax^2+bx+c=0\)的根，則\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)（前提：\(\Delta\geq0\)）。5.實(shí)際應(yīng)用：增長(zhǎng)率問題（\(a(1+x)^2=b\)）、面積問題（如矩形邊長(zhǎng)變化后的面積計(jì)算）。（二）二次函數(shù)1.定義：形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的函數(shù)，\(a\)決定開口方向，\(b\)影響對(duì)稱軸位置，\(c\)決定與\(y\)軸交點(diǎn)。2.表達(dá)式：一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（適用于已知三點(diǎn)坐標(biāo)）；頂點(diǎn)式：\(y=a(x-h)^2+k\)（頂點(diǎn)坐標(biāo)\((h,k)\)，適用于已知頂點(diǎn)或最值）；交點(diǎn)式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(x_1,x_2\)為與\(x\)軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，適用于已知交點(diǎn)）。3.圖像性質(zhì)：開口方向：\(a>0\)向上，\(a<0\)向下；對(duì)稱軸：\(x=-\frac{2a}\)；頂點(diǎn)坐標(biāo)：\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)；增減性：\(a>0\)時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)\(y\)隨\(x\)增大而減小，右側(cè)增大；\(a<0\)時(shí)相反。4.系數(shù)與圖像關(guān)系：\(ab\)符號(hào)：\(ab>0\)→對(duì)稱軸在\(y\)軸左側(cè)；\(ab<0\)→對(duì)稱軸在\(y\)軸右側(cè)；\(c\)值：與\(y\)軸交點(diǎn)為\((0,c)\)；\(\Delta=b^2-4ac\)：\(\Delta>0\)→與\(x\)軸有兩個(gè)交點(diǎn)；\(\Delta=0\)→一個(gè)交點(diǎn)；\(\Delta<0\)→無交點(diǎn)。（三）旋轉(zhuǎn)1.定義：將圖形繞某一點(diǎn)\(O\)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度的變換，\(O\)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)角度稱為旋轉(zhuǎn)角。2.性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前后圖形全等（形狀、大小不變）。3.中心對(duì)稱：定義：繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一圖形重合，該點(diǎn)稱為對(duì)稱中心；中心對(duì)稱圖形：繞自身某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與自身重合（如平行四邊形、圓）。4.旋轉(zhuǎn)作圖：步驟：確定旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度→找原圖形關(guān)鍵點(diǎn)→作關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（用坐標(biāo)變換公式或旋轉(zhuǎn)性質(zhì)）→連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)。（四）圓的基本性質(zhì)1.基本要素：圓心（決定位置）、半徑（決定大小）、直徑（半徑的2倍）。2.垂徑定理：核心：垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧；推論：平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧。3.圓周角定理：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，等于該弧所對(duì)圓心角的一半；推論：半圓（或直徑）所對(duì)圓周角為直角；90°圓周角所對(duì)弦為直徑。4.圓內(nèi)接四邊形：定義：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形；性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)（\(\angleA+\angleC=180^\circ\)），外角等于內(nèi)對(duì)角（\(\angleDCE=\angleA\)）。三、典型例題解析（一）一元二次方程：實(shí)際應(yīng)用例1：某商場(chǎng)1月份銷售額50萬元，2月份下降10%，3、4月份回升，4月份銷售額64.8萬元，求3、4月份月平均增長(zhǎng)率。思路：先算2月份銷售額，再設(shè)增長(zhǎng)率為\(x\)，列方程求解。解答：2月份銷售額\(=50\times(1-10\%)=45\)萬元，設(shè)月平均增長(zhǎng)率為\(x\)，則\(45(1+x)^2=64.8\)，解得\((1+x)^2=1.44\)，\(x=0.2\)（舍去負(fù)解）。結(jié)論：月平均增長(zhǎng)率為20%。（二）二次函數(shù)：表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)例2：二次函數(shù)圖像過\((-1,0)\)、\((3,0)\)、\((0,-3)\)，求表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)。思路：用交點(diǎn)式設(shè)表達(dá)式，代入點(diǎn)求系數(shù)，再轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式。解答：設(shè)交點(diǎn)式\(y=a(x+1)(x-3)\)，代入\((0,-3)\)得\(-3=a(0+1)(0-3)\)，解得\(a=1\)，故表達(dá)式為\(y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3\)。頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)=(1,-4)\)。（三）旋轉(zhuǎn)：坐標(biāo)變換例3：△ABC頂點(diǎn)\(A(1,2)\)、\(B(3,1)\)、\(C(2,3)\)，繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A'B'C'，求\(A'\)、\(B'\)坐標(biāo)。思路：繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的坐標(biāo)公式：\((x,y)\to(y,-x)\)。解答：\(A(1,2)\toA'(2,-1)\)；\(B(3,1)\toB'(1,-3)\)。（四）圓：垂徑定理應(yīng)用例4：⊙O中弦AB=8cm，圓心到AB距離3cm，求半徑。思路：構(gòu)造直角三角形（半徑為斜邊，弦長(zhǎng)一半、圓心距為直角邊）。解答：設(shè)半徑為\(r\)，則\(r^2=(8/2)^2+3^2=16+9=25\)，\(r=5\)cm。四、易錯(cuò)警示1.一元二次方程：忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0錯(cuò)誤案例：方程\((k-1)x^2+2x+1=0\)有實(shí)根，求\(k\)的取值范圍。錯(cuò)誤做法：直接用\(\Delta=4-4(k-1)\geq0\)，得\(k\leq2\)。正確做法：當(dāng)\(k-1=0\)時(shí)，方程為\(2x+1=0\)（有實(shí)根）；當(dāng)\(k-1\neq0\)時(shí)，\(\Delta\geq0\)得\(k\leq2\)且\(k\neq1\)。故\(k\leq2\)。2.二次函數(shù)：頂點(diǎn)坐標(biāo)公式記錯(cuò)錯(cuò)誤案例：求\(y=2x^2+4x-1\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。錯(cuò)誤做法：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)\(=\frac{2a}=\frac{4}{4}=1\)，縱坐標(biāo)\(=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-8-16}{8}=-3\)，得\((1,-3)\)。正確做法：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)\(=-\frac{2a}=-\frac{4}{4}=-1\)，縱坐標(biāo)\(=\frac{4\times2\times(-1)-4^2}{4\times2}=-3\)，得\((-1,-3)\)。3.旋轉(zhuǎn)：忽略旋轉(zhuǎn)方向錯(cuò)誤案例：點(diǎn)\(A(2,3)\)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得\(A'\)，求坐標(biāo)。錯(cuò)誤做法：未明確方向，直接寫\((-3,2)\)（逆時(shí)針）或\((3,-2)\)（順時(shí)針）。正確做法：必須明確旋轉(zhuǎn)方向，如順時(shí)針得\((3,-2)\)，逆時(shí)針得\((-3,2)\)。4.圓：垂徑定理?xiàng)l件缺失錯(cuò)誤案例：判斷“平分弦的直徑垂直于弦”是否正確。錯(cuò)誤做法：認(rèn)為正確。正確做法：錯(cuò)誤，平分的弦若為直徑，則直徑互相平分但不一定垂直（如兩條直徑相交）。正確表述：“平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦”。五、實(shí)戰(zhàn)演練（一）選擇題1.下列方程是一元二次方程的是（）A.\(x+2y=1\)B.\(x^2-2x=0\)C.\(x^2+\frac{1}{x}=3\)D.\(x(x-1)=x^2+2\)答案：B（解析：A二元一次，C分式，D一元一次）2.二次函數(shù)\(y=-2(x-1)^2+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)答案：A（解析：頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)，頂點(diǎn)\((h,k)\)）（二）填空題1.方程\(x^2-3x+2=0\)的兩根之和為______，兩根之積為______。答案：3；2（解析：韋達(dá)定理）2.⊙O中弦AB=6cm，半徑OA=5cm，圓心到AB的距離為______cm。答案：4（解析：垂徑定理，\(d=\sqrt{OA^2-(AB/2)^2}\)）（三）解答題1.用配方法解方程\(x^2-4x+3=0\)。解答：\(x^2-4x=-3\)→\(x^2-4x+4=1\)→\((x-2)^2=1\)→\(x=3\)或\(x=1\)。2.二次函數(shù)過\((0,1)\)、\((1,0)\)、\((2,3)\)，求表達(dá)式。解答：設(shè)一般式\(y=ax^2+bx+c\)，代入得\(c=1\)，\(a+b+1=0\)，\(4a+2b+1=3\)，解得\(a=2\)，\(b=-3\)，故\(y=2x^2-3x+1\)。3.⊙O中AB是直徑，弦CD⊥AB于E，CD=8cm，AE=2cm，求半徑。解答：設(shè)半徑為\(r\)，則\(OE=r-2\)，\