數(shù)列的自定義題目及答案一、選擇題（共40分）1.（10分）數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=2an+1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：A.an=2^n-1B.an=2^n+1C.an=2^(n-1)-1D.an=2^(n-1)+1答案：A2.（10分）數(shù)列{bn}中，若b1=1，bn+1=3bn+2，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn為：A.Sn=3^n-1B.Sn=3^(n+1)-3C.Sn=3^(n+1)-2D.Sn=3^n-2答案：B3.（10分）數(shù)列{cn}中，若c1=2，cn+1=cn+2，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn為：A.Sn=n(n+1)B.Sn=n(n+1)/2C.Sn=n^2+nD.Sn=n^2+2n答案：D4.（10分）數(shù)列{dn}中，若d1=1，dn+1=dn+2^n，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn為：A.Sn=2^(n+1)-1B.Sn=2^(n+1)-2C.Sn=2^(n+2)-2D.Sn=2^(n+2)-3答案：B二、填空題（共30分）1.（10分）數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+3，則該數(shù)列的前5項(xiàng)為：1，4，7，10，13。2.（10分）數(shù)列{bn}中，若b1=2，bn+1=bn/2+1，則該數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，1.5，1.75，1.875。3.（10分）數(shù)列{cn}中，若c1=3，cn+1=cn^2，則該數(shù)列的前3項(xiàng)為：3，9，81。三、簡(jiǎn)答題（共30分）1.（10分）已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+n，求該數(shù)列的前10項(xiàng)。答案：2，3，5，8，12，17，23，30，38，47。2.（10分）已知數(shù)列{bn}中，b1=1，bn+1=bn+n，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和。答案：前10項(xiàng)和為：1+2+6+12+20+30+42+56+72+90=385。3.（10分）已知數(shù)列{cn}中，c1=1，cn+1=cn+2^n，求該數(shù)列的前5項(xiàng)和。答案：前5項(xiàng)和為：1+3+7+15+31=57。四、證明題（共50分）1.（20分）證明：數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+n，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n(n+1)/2。證明：由題意可知，an+1=an+n，即an+1-an=n。當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1=n-1，an-2-an-3=n-2，...，a2-a1=1。將上述等式相加，得到an-a1=1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2。又因?yàn)閍1=1，所以an=n(n+1)/2。2.（20分）證明：數(shù)列{bn}中，若b1=1，bn+1=bn+2^n，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=2^(n+1)-2。證明：當(dāng)n=1時(shí)，S1=b1=1，符合題意。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，Sk=2^(k+1)-2成立。則當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk+bk+1=2^(k+1)-2+bk+1。由題意可知，bk+1=bk+2^k，所以Sk+1=2^(k+1)-2+bk+2^k。又因?yàn)镾k=2^(k+1)-2=2^k+2^k-2，所以bk=2^k-2。代入上式，得到Sk+1=2^(k+1)-2+2^k-2+2^k=2^(k+2)-2。所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。綜上，該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=2^(n+1)-2。3.（10分）證明：數(shù)列{cn}中，若c1=1，cn+1=cn+n，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)(n+2)/6。證明：由題意可知，cn+1-cn=n。當(dāng)n≥2時(shí)，cn-cn-1=n-1，cn-2-cn-3=n-2，...，c2-c1=1。將上述等式相加，得到cn-c