1自動控制原理2第1章緒論1.1

自動控制理論及其發(fā)展簡史1.2

自動控制系統(tǒng)的基本原理和組成

1.3

自動控制系統(tǒng)的分類

1.4

對自動控制系統(tǒng)性能的基本要求

31.1自動控制理論及其發(fā)展簡史自動控制技術(shù)是一種運(yùn)用自動控制理論、儀器儀表、計算機(jī)和其它信息技術(shù)，通過自動控制系統(tǒng)對各類機(jī)械設(shè)備、各種物理參量、工業(yè)生產(chǎn)過程等實現(xiàn)檢測、控制、優(yōu)化、調(diào)度、管理和決策，達(dá)到增加產(chǎn)量、提高質(zhì)量、降低消耗、確保安全等目的的綜合性技術(shù)。自動控制理論是研究關(guān)于自動控制系統(tǒng)組成、分析和設(shè)計的一般性理論。1765年瓦特在他發(fā)明的蒸汽機(jī)上設(shè)計的離心調(diào)速器，被公認(rèn)是首例最成功應(yīng)用反饋調(diào)節(jié)器的自動控制裝置。英國的麥克斯韋對它的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，于1868年發(fā)表的論文被公認(rèn)為是自動控制理論的開端。4自動控制理論20世紀(jì)20年代到50年代——古典控制理論。它以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，以時域法，頻率法和根軌跡法為主要內(nèi)容的一門獨(dú)立學(xué)科。研究單輸入-單輸出一類定?？刂葡到y(tǒng)的分析與設(shè)計問題。20世紀(jì)50年代中期后——現(xiàn)代控制理論。它是以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)，研究多輸入-多輸出、時變參數(shù)、高精度復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題，并形成了如最優(yōu)控制、最佳濾波、系統(tǒng)辨識、自適應(yīng)控制等學(xué)科分支。古典控制理論——自動控制原理現(xiàn)代控制理論

51.2.1自動控制系統(tǒng)的基本原理1.2自動控制的基本概念

自動控制系統(tǒng)——離開人的直接干預(yù)，利用控制裝置操縱受控對象，使受控對象的被控制量自動地按預(yù)定的規(guī)律運(yùn)行。

◆受控對象：控制系統(tǒng)要進(jìn)行控制的受控客體如冰箱、電梯、飛機(jī)、汽車等各種機(jī)器或某一生產(chǎn)過程?！舯豢刂屏浚嚎刂茖ο笠獙崿F(xiàn)的某一物理量如冰箱的溫度、電機(jī)的轉(zhuǎn)速、飛機(jī)姿態(tài)角、船的航跡、電網(wǎng)的電壓、生產(chǎn)過程中的壓力、流量、溫度、濕度等。

6溫度人工控制系統(tǒng)：

工件空氣溫度儀熱電偶熱處理爐閥門混合器燃?xì)馐芸貙ο蟆?/p>

熱處理爐被控制量——

溫度7工件燃?xì)忾y門熱電偶熱處理爐

M放大

比較

放大空氣混合器溫度自動控制系統(tǒng)：8

若實際溫度小于給定溫度，，它放大后控制電動機(jī)開大閥門，調(diào)高爐溫；若實際溫度大于給定溫度，，使電動機(jī)反轉(zhuǎn)關(guān)小閥門，調(diào)低爐溫。只要實際溫度和設(shè)定溫度不等，系統(tǒng)就會進(jìn)行自動調(diào)節(jié)，直到實際溫度與給定溫度相等，即，，電動機(jī)停轉(zhuǎn)為止，實現(xiàn)了溫度的自動控制。溫度自動控制系統(tǒng)控制原理：9溫度自動控制系統(tǒng)框圖：

放大電動機(jī)閥門加熱爐熱電偶輸入量

輸出量

反饋受控對象

放大

溫度自動控制系統(tǒng)通過對溫度信號的測量反饋，再由比較器產(chǎn)生誤差信號對系統(tǒng)產(chǎn)生控制作用，爐溫未達(dá)到設(shè)定值時誤差信號，電動機(jī)轉(zhuǎn)動，控制調(diào)節(jié)閥門朝減小的方向轉(zhuǎn)動，而當(dāng)爐溫達(dá)到設(shè)定值時，誤差信，控制作用消失，實現(xiàn)了溫度的自動控制。

101.2.2自動控制系統(tǒng)的組成

典型自動控制系統(tǒng)框圖：11

參與控制的信號：

輸入信號、反饋信號、偏差信號、輸出信號（被控量）、擾動信號。

控制回路：主反饋回路（主回路）局部反饋回路?；窘M成部分：給定環(huán)節(jié)、測量裝置、比較裝置、放大環(huán)節(jié)、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、校正裝置、被控對象。

信號傳遞通道：前向通道、反饋通道。12

——開環(huán)控制、閉環(huán)控制、復(fù)合控制1.3自動控制系統(tǒng)的分類1.3.1按控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分類

開環(huán)控制系統(tǒng)：◆不存在反饋回路，輸出量對系統(tǒng)的控制作用不產(chǎn)生影響。特點(diǎn)：無反饋，抗擾能力差；一個輸入對應(yīng)一個輸出；系統(tǒng)的控制精度取決于組成部件的精度。

13閉環(huán)控制系統(tǒng)：閉環(huán)控制系統(tǒng)又稱反饋控制系統(tǒng)系統(tǒng)中不但存在從輸入端到輸出端的信號，還有將輸出信號通過測量元件送到系統(tǒng)輸入端的反饋信號14

閉環(huán)控制系統(tǒng)的特點(diǎn)是：

1）閉環(huán)控制的實質(zhì)就是負(fù)反饋控制。負(fù)反饋控制具有自動修正被控制量偏離給定值（或期望值）的能力，較好地實現(xiàn)了自動控制的功能。

2）閉環(huán)控制有較強(qiáng)的抗干擾能力。引入負(fù)反饋后，不論是輸入信號、或是作用在被反饋包圍的前向通道的擾動、或是系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化引起的被控制量偏離，都會通過負(fù)反饋形成偏差，從而產(chǎn)生相應(yīng)的控制去減小或消除這些偏差。

3）閉環(huán)控制的結(jié)構(gòu)和控制相對復(fù)雜，如果結(jié)構(gòu)或參數(shù)選取不當(dāng)，系統(tǒng)控制過程可能變得很差，甚至產(chǎn)生振動或不穩(wěn)定。復(fù)合控制：將閉環(huán)控制與開環(huán)控制（補(bǔ)償控制）相結(jié)合的控制，稱為復(fù)合控制。

151.3.2按系統(tǒng)輸處信號的變化規(guī)律分類——

恒值系統(tǒng)、隨動系統(tǒng)、程序控制系統(tǒng)

◆恒值系統(tǒng)——輸出信號保持恒值

◆隨動系統(tǒng)——輸出信號隨輸入信號變化◆程序控制系統(tǒng)——輸出信號按照預(yù)先確定的規(guī)律變化

隨動系統(tǒng)——火炮發(fā)射架方位控制系統(tǒng)

161.3.3按系統(tǒng)傳輸信號的特性分類

——線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)

1.3.4按系統(tǒng)傳輸信號的時間性質(zhì)分類

——連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)

171.4對自動控制系統(tǒng)的基本要求

穩(wěn)定性——穩(wěn)定性是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件，指系統(tǒng)受到短暫的擾動后重新恢復(fù)平衡工作的能力。18

暫態(tài)性能——指輸入作用改變后系統(tǒng)重新達(dá)到平衡狀態(tài)前的特性，暫態(tài)性能包括響應(yīng)的平穩(wěn)性（相對穩(wěn)定性）和快速性。

穩(wěn)態(tài)性能——系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與給定輸入所要求的期望輸出之間的誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能是由穩(wěn)態(tài)誤差來表征的，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。

19第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1微分方程2.2傳遞函數(shù)2.3結(jié)構(gòu)圖2.4信號流圖2.5MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

202.1.1系統(tǒng)微分方程的建立2.1微分方程

列寫微分方程的一般步驟是：１）根據(jù)實際工作情況，確定系統(tǒng)或各元器件的輸入變量和輸出變量。

２）從輸入端開始，按照信號傳遞的順序和各變量所遵循的物理規(guī)律，列出微分方程組。

３）消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸出量與輸入量（包括擾動量）關(guān)系的微分方程。

４）標(biāo)準(zhǔn)化。即將微分方程中與輸出量有關(guān)的項寫在方程的左端，與輸入量有關(guān)的項寫在方程的右端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。21

例２-1求圖2-1所示RLC電路網(wǎng)絡(luò)的微分方程。為輸入量，為輸出量。

解:設(shè)回路電流為ｉ(ｔ)，根據(jù)基爾霍夫定律有消去中間變量ｉ（ｔ），可得

ＲＬＣ無源網(wǎng)絡(luò)是一個二階常系數(shù)線性微分方程。22

例２-２試求圖２-２所示彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。設(shè)外作用力Ｆ為輸入量，位移x為輸出量。由牛頓第二定律有整理后得：也是一個二階常系數(shù)線性微分方程。

解:

在外力的作用下，質(zhì)量為m的物體還受到兩個力：彈簧的恢復(fù)力阻尼器的阻尼力，與x方向相反，與x方向相反232.1.2非線性微分方程的線性化

將非線性函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）在工作點(diǎn)（ｘ０，ｙ０）處展開成泰勒級數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)只在ｘ０附近很小的鄰域內(nèi)運(yùn)動，即（ｘ-ｘ０）很小，則可忽略二次及二次以上的高次項，得到一個線性方程式：線性化增量方程：非線性特性線性化的方法，也稱為小偏差法。24

若發(fā)電機(jī)工作在曲線上的Ａ點(diǎn)，對應(yīng)的輸出電動勢和勵磁電流分別為ｅ０和ｉ０。但當(dāng)勵磁電流只在工作點(diǎn)Ａ附近變化時，就可以近似地認(rèn)為ｅ是沿著Ａ點(diǎn)上的切線（直線）變化。線性化增量方程：直流發(fā)電機(jī)的發(fā)電特性曲線。252.1.3線性微分方程的求解（4）拉式反變換求出系統(tǒng)輸出的時間解。

線性微分方程的求解，拉氏變換法：拉氏變換法求解微分方程步驟：（1）方程兩邊求拉氏變換。

（2）給定的初始條件代入方程。

（3）求出系統(tǒng)輸出量的拉式變換式。262.1.1傳遞函數(shù)的基本概念2.1傳遞函數(shù)

線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，通常用Ｇ（ｓ）或Φ（ｓ）表示。1.定義27設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述ｎ階線性常微分方程描述：由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式。282.性質(zhì)傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：

１）傳遞函數(shù)是復(fù)變量ｓ的有理真分式，其分母多項式的階次ｎ一般大于等于分子多項式的階次ｍ，即ｎ≥ｍ。２）傳遞函數(shù)只反映系統(tǒng)在零初始條件下的運(yùn)動特性。

３）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入量無關(guān)。

４）服從不同物理規(guī)律的系統(tǒng)可以有同樣的傳遞函數(shù)，故它不能反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。５）傳遞函數(shù)只描述系統(tǒng)的輸入輸出特性，而不能表征系統(tǒng)內(nèi)部所有狀態(tài)的特性。

６）傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。293.傳遞函數(shù)的其他形式

（1）零、極點(diǎn)表達(dá)式——為系統(tǒng)根軌跡放大系數(shù)；——為零值極點(diǎn)的個數(shù)；——為系統(tǒng)的零點(diǎn)；——為系統(tǒng)的非零極點(diǎn)。式中：30其零、極點(diǎn)分布圖例31（2）時間常數(shù)表達(dá)式——為系統(tǒng)放大系數(shù)；——為分子、分母多項式因子的時間常數(shù)。式中：各參數(shù)與零、極點(diǎn)式的關(guān)系：

一次因子對應(yīng)于實數(shù)零、極點(diǎn)，二次因子對應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)。

322.2.2典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)

常有的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)等。

傳遞函數(shù)為：2.積分環(huán)節(jié)——T為積分時間常數(shù)。傳遞函數(shù)為：當(dāng)輸入信號突然變?yōu)榱銜r，輸出量維持原值不變，積分環(huán)節(jié)具有記憶功能。333.慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律上升的曲線：——T為慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)，負(fù)實極點(diǎn)

345.振蕩環(huán)節(jié)式中，ξ—阻尼比—自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）

振蕩環(huán)節(jié)包含兩個儲能元件，在動態(tài)過程中，兩個儲能元件的能量互相交換。傳遞函數(shù)為：

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一對共軛復(fù)數(shù)點(diǎn)，無零點(diǎn)，階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律衰減振蕩。354.微分環(huán)節(jié)理想微分二階微分一階微分

微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號的微分，即變化率有關(guān)?？刂葡到y(tǒng)中有三種常用的微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)只有零點(diǎn)，沒有極點(diǎn)。由于微分環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量的變化率有關(guān)，它能預(yù)示輸入信號的變化趨勢，故有預(yù)報功能。實用微分環(huán)節(jié)電路和傳遞函數(shù)：366.延遲（時滯）環(huán)節(jié)式中—延遲時間常數(shù)

延遲環(huán)節(jié)的輸出是在經(jīng)一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。傳遞函數(shù)為：延遲環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)曲線372.2.3

傳遞函數(shù)的求取

對于已經(jīng)求得輸入、輸出微分方程式的系統(tǒng)，可直接對該方程進(jìn)行拉式變換求得傳遞函數(shù)，如ＲＬＣ電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)：

對于電路網(wǎng)絡(luò)，可利用復(fù)阻抗的概念，直接寫出拉氏變換關(guān)系的代數(shù)方程求解傳遞函數(shù)。電路網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)阻抗：電阻——電感——電容——38例2-5

試求圖2-11所示有源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

解運(yùn)算放大器輸入和輸出電路的復(fù)阻抗為由運(yùn)算放大器電路“虛地”的概念，有則所以傳遞函數(shù)為：式中：392.3結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖是控制系統(tǒng)原理圖與數(shù)學(xué)方程的結(jié)合。結(jié)構(gòu)圖既補(bǔ)充了控制系統(tǒng)原理圖所缺乏的定量描述，又避免了純數(shù)學(xué)的抽象運(yùn)算。2.3.1結(jié)構(gòu)圖的基本概念結(jié)構(gòu)圖包含四種基本單元：（１）信號線（２）引出點(diǎn)（3）比較點(diǎn)（４）方框40

１）列出描述系統(tǒng)各環(huán)節(jié)或元件的運(yùn)動方程式，確定其傳遞函數(shù)。

２）繪出各環(huán)節(jié)或元件的方框，方框中示明其傳遞函數(shù)，并以箭頭和字母符號表明其輸入量和輸出量。３）根據(jù)信號的流向關(guān)系，依次將各方框連接起來，構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。繪制系統(tǒng)框圖的一般步驟為：41例2-6

繪制圖2-13所示兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。解用復(fù)阻抗法直接列寫出復(fù)域方程為：根據(jù)方程可分別建立每個方程各變量間的傳遞方框，如教材圖2-15a)-d)。

連接各方框便得到兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖：42例2-7

試?yán)L制如圖2-15所示轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)的輸入量為給定電壓，輸出量為電動機(jī)轉(zhuǎn)速。例2-7結(jié)構(gòu)圖例2-7原理圖432.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換及化簡

結(jié)構(gòu)圖等效變換的兩條基本原則是：

1）變換前后前向通道中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變；

2）變換前后各回路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變。1.基本連接的等效變換結(jié)構(gòu)圖的基本連接方式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋。（1）串聯(lián)（2）并聯(lián)44（3）反饋反饋結(jié)構(gòu)及其等效變換如圖：

其中，稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，稱為開環(huán)傳遞函數(shù)，它可定義為反饋信號與偏差信號之比。若為正反饋，式中分母對應(yīng)的符號為“-”。所以負(fù)反饋連接的等效傳遞函數(shù)為

若反饋通路的傳遞函數(shù)，稱為單位反饋系統(tǒng)。單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)即為其前向通道的傳遞函數(shù)。45２.引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的移動引出點(diǎn)后移：引出點(diǎn)前移：46２.引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的移動比較點(diǎn)交換：比較點(diǎn)后移：比較點(diǎn)前移：注意：引出點(diǎn)和比較點(diǎn)之間不能簡單地直接移動47例2-8化簡結(jié)構(gòu)圖，求兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：得傳遞函數(shù)：48例2-9簡化如圖所示系統(tǒng)的框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。得傳遞函數(shù)：492.3.3閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)１.作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)2.作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)3.作用下的誤差傳遞函數(shù)4.作用下的誤差傳遞函數(shù)50給定輸入和擾動輸入同時作用下閉環(huán)控制系統(tǒng)的總輸出給定輸入和擾動輸入同時作用下閉環(huán)控制系統(tǒng)的總誤差512.4信號流圖信號流圖和結(jié)構(gòu)圖一樣，也是一種圖模型。其對應(yīng)信號流圖：一組代數(shù)方程式：52

節(jié)點(diǎn)：表示系統(tǒng)中的一個變量（信號），用小圓圈“?！北硎尽?/p>

支路：連接兩節(jié)點(diǎn)的線段為支路，用“→”表示，箭頭方向表示信號的傳遞方向

增益：標(biāo)注在支路旁的兩個變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，稱為支路的增益，也稱為傳輸。節(jié)點(diǎn)支路增益2.4.1信號流圖的符號及術(shù)語１.信號流圖的符號信號流圖的基本圖形符號有三種：53２.信號流圖的術(shù)語

輸入節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)叫做輸入節(jié)點(diǎn)。它對應(yīng)于輸入信號。

輸出節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)叫做輸出節(jié)點(diǎn)。它對應(yīng)于輸出信號。

混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)叫做混合節(jié)點(diǎn)。

通道：凡從某一節(jié)點(diǎn)開始，沿支路的箭頭方向穿過相連支路而終止在另一節(jié)點(diǎn)（或同一節(jié)點(diǎn)）的路徑，稱為通道。

前向通道：如從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通道上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，則該通道稱為前向通道。

回路：如通道的終點(diǎn)就是通道的起點(diǎn)，并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，則該通道稱為回路。

不接觸回路：如一些回路之間沒有任何公共的節(jié)點(diǎn)和支路，則稱它們?yōu)椴唤佑|回路。

回路增益：回路中各支路的增益乘積稱為回路增益。

前向通道增益：前向通道中，各支路的增益乘積稱為前向通道增益。542.4.2

信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的關(guān)系

信號流圖中的增益相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的方框，而其節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的組合。55其對應(yīng)信號流圖：例2-11結(jié)構(gòu)圖：562.4.4梅遜公式及其應(yīng)用

兩節(jié)點(diǎn)之間傳遞函數(shù)（增益）的梅遜公式為：式中：為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總數(shù)；為第條前向通道總增益；為第條前向通道的特征余子式；為特征式，由系統(tǒng)信號流圖中各回路增益確定：為所有兩個互不接觸回路增益的乘積之和；為所有獨(dú)立回路增益之和；為所有三個互不接觸回路增益的乘積之和。其中：57例2-11

用梅遜公式求圖2-35所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解由結(jié)構(gòu)圖畫出該系統(tǒng)的信號流圖如圖所示。系統(tǒng)有3個獨(dú)立回路其中，L2和L3兩個回路互不接觸，故特征式為58例2-12用梅遜公式求圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解系統(tǒng)有4個獨(dú)立回路

與互不接觸。2條前向通道：

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：59

例2-13用梅遜公式求圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、。解系統(tǒng)有3個獨(dú)立回路60輸入到輸出的前向通道有2條

擾動輸入到輸出的前向通道有2條

612.5MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

2.5.1傳遞函數(shù)模型的MATLAB表示1.傳遞函數(shù)模型(tf)g=tf(num,den)2.零極點(diǎn)模型(zp)g=zpk(z,p,k)3.模型的轉(zhuǎn)換[num,den]=zp2tf(z,p,k)[z,p,k]=tf2zp(num,den)622.5.2結(jié)構(gòu)圖模型的MATLAB表示[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)[num,den]=cloop(num1,den1,sign)串聯(lián)：反饋：并聯(lián)：單位反饋：其中，sign=1為正反饋，sign=-1為負(fù)反饋，缺省值為-1其中，sign的含義與feedback同舉例：63第3章時域分析法3.1典型輸入信號和時域性能指標(biāo)3.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.3控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析3.5MATLAB用于時域響應(yīng)分析

643.1

典型輸入信號和時域性能指標(biāo)3.1.1典型輸入信號１.階躍信號，拉氏變換式：2.斜坡信號，拉氏變換式：3.拋物線信號，拉氏變換式：65４.脈沖信號當(dāng)，A＝1時稱為單位脈沖信號，記作。5.正弦信號

，拉氏變換式：663.1.2時域性能指標(biāo)

穩(wěn)定系統(tǒng)的階躍響應(yīng)具有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種類型。

1.暫態(tài)性能指標(biāo)：上升時間，峰值時間，調(diào)整時間，

（最大）超調(diào)量

。2.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)：

穩(wěn)態(tài)誤差

上升時間和峰值時間反映系統(tǒng)響應(yīng)初始階段的快慢；最大超調(diào)量反映了暫態(tài)過程的平穩(wěn)性；調(diào)節(jié)時間反映了系統(tǒng)的快速性。，反映了系統(tǒng)的控制精度。673.2

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.2.1穩(wěn)定性的概念及線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的性質(zhì)，是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。

穩(wěn)定性的概念：一個處于某平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在擾動信號的作用下，會偏離原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動作用消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸地恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，或者說系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有收斂性質(zhì)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，若系統(tǒng)不能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有發(fā)散性質(zhì)，或者進(jìn)入震蕩狀態(tài)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)去掉外作用后，自身的一種恢復(fù)能力，是系統(tǒng)的一種固有特性，只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)而與初始條件及外作用無關(guān)。68設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為:R（s）=1線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根均具有負(fù)實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都位于S平面的左半部。693.2.2勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為1.線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件

式中，特征方程的系數(shù)為實數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：特征方程的所有系數(shù)都大于零。

勞斯穩(wěn)定判據(jù)是利用特征方程的系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算來確定特征方程在s右平面的根的數(shù)目，以判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也稱為代數(shù)穩(wěn)定判劇。702.勞斯穩(wěn)定判據(jù)（1）建立勞斯表

將特征方程的系數(shù)按以下方法構(gòu)成一個n+1行的勞斯表：71（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是——特征方程的全部系數(shù)都大于零，且勞斯表的第一列元素都大于零。

勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出：系統(tǒng)特征方程具有正實部根的個數(shù)等于勞斯表第一列元素符號改變的次數(shù)。72

設(shè)某控制系統(tǒng)的特征方程為，例3-2

判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解特征方程的系數(shù)都大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表:

由于勞斯表第一列數(shù)不全為正，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列數(shù)符號改變了兩次，故系統(tǒng)有兩個正實部根。73（3）兩種特殊情況的勞斯判據(jù)

1）在勞斯表的某一行中，第一列數(shù)為零，而其余數(shù)不全為零。按照勞斯判據(jù)，因第一列元素不全大于0，可以確定系統(tǒng)不穩(wěn)定。如需要了解根的分布情況，可用一個有限小的正數(shù)代替0，完成勞斯表。2）勞斯表某行元素全為零，表示特征方程具有對稱于原點(diǎn)的根存在。可用全零行的前一行數(shù)值組成輔助方程，并用這個方程的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)代替全零行的各項，完成勞斯表。利用輔助方程可解得那些對稱根。74試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

例3-4

設(shè)系統(tǒng)的特征式為列勞斯表:全零行第一列元素符號沒有改變，表明系統(tǒng)不存在s右平面的特征根，臨界穩(wěn)定。解輔助方程：

得臨界根：753.勞斯判據(jù)的應(yīng)用（1）確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時的參數(shù)條件（2）檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量例3-6

確定圖3-4所示系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。解系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表：系統(tǒng)穩(wěn)定條件：763.3

控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析3.3.1一階系統(tǒng)分析一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和典型結(jié)構(gòu)為系統(tǒng)階躍響應(yīng)的拉氏變換式為可得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是單調(diào)上升的指數(shù)曲線，暫態(tài)分量隨時間增加而逐漸衰減為零，暫態(tài)分量衰減的速度（快速性）與一階系統(tǒng)的特征參數(shù)T有關(guān)，。一個負(fù)實數(shù)特征根——773.3.1二階系統(tǒng)分析1.數(shù)學(xué)模型典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和閉環(huán)傳遞函數(shù)：其中，為系統(tǒng)的阻尼比；為無阻尼振蕩頻率（或自然振蕩頻率）。系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根，即閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為特征方程根的性質(zhì)由的值完全決定了。782.單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換式為（1）無阻尼情況響應(yīng)為等幅振蕩曲線，其振蕩的角頻率為，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。（2）欠阻尼情況——為一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)根——一對純虛根79單位階躍響應(yīng)為

欠阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)的暫態(tài)分量，是幅值隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦振蕩項。其振蕩的角頻率為阻尼振蕩頻率，即特征方程根的虛部；其衰減的速度由，即特征方程根的實部的絕對值決定。80（3）臨界阻尼情況——一對相等的負(fù)實數(shù)根響應(yīng)為無振蕩及超調(diào)的單調(diào)上升曲線

（4）過阻尼情況——2個不相等負(fù)實根，且響應(yīng)的暫態(tài)分量是兩個單調(diào)衰減的指數(shù)項，響應(yīng)曲線與臨界阻尼時一樣——無振蕩單調(diào)上升曲線

不同阻尼比時系統(tǒng)特征方程的根在s平面的位置及其單位階躍響應(yīng)曲線

822.欠阻尼典型二階系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)計算

欠阻尼單位階躍響應(yīng)式：（１）上升時間（２）峰值時間按定義，峰值時間應(yīng)出現(xiàn)在第一個峰值處，則：，

83（３）最大超調(diào)量0.40.50.60.680.7070.8

2516.3954.31.5

可見，最大超調(diào)量僅由阻尼比決定。阻尼比越大，超調(diào)量越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好。將代入輸出響應(yīng)式有：84（4）調(diào)整時間

當(dāng)阻尼比很小時，經(jīng)過二次近似后，常用下列兩式計算調(diào)整時間

而實際的調(diào)整時間，當(dāng)＞0.7之后，增大，會變大，快速性變差。

從以上分析計算可知，為使系統(tǒng)具有較好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比一般應(yīng)取0.4～0.8之間，這時超調(diào)量約在25％～1.5％之間，而調(diào)節(jié)時間比較短。工程上常取作為設(shè)計依據(jù)，稱之為“二階最佳系統(tǒng)”。此時，超調(diào)量為4.3％，而調(diào)整時間最小。85

（1）討論系統(tǒng)參數(shù)K、T對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響。（2）計算系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)。（3）若要求將系統(tǒng)設(shè)計成二階最佳

，在不改變T的情況下應(yīng)如何改變Ｋ值?解

(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

討論：由參數(shù)K、T與和的關(guān)系可知：開環(huán)放大系數(shù)K和時間常數(shù)T增大，都會使減小，超調(diào)量增大，系統(tǒng)振蕩加??；而，=6T，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間由時間常數(shù)唯一確定，增大T，增大，快速性下降。例3-8

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中。86（2）當(dāng)K=4,T=0.25時系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)為：（3）（3）若設(shè)計，有87

例3-9

某單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解由圖可知，該系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)。且有由解得：所以，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：884.二階系統(tǒng)性能改善（1）誤差的比例-微分控制

系統(tǒng)引人比例－微分控制后閉環(huán)傳遞函數(shù)為

可見阻尼比增大了，使減小超調(diào)量，系統(tǒng)平穩(wěn)性提高。其中：89（2）速度負(fù)反饋控制

系統(tǒng)引人速度負(fù)反饋控制后閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其中：

可見阻尼比增大，減小了超調(diào)量，系統(tǒng)的平穩(wěn)性得到提高。但開環(huán)增益下降了：對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能將產(chǎn)生不利的影響

。由原來：改變?yōu)椋?03.3.3高階系統(tǒng)分析

三階及以上系統(tǒng)。將式（3-46）傳遞函數(shù)表示成零、極點(diǎn)形式：設(shè)系統(tǒng)沒有重極點(diǎn)。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為1.高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析式中：91

如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實部，即所有極點(diǎn)都位于s平面的左半部，隨著時間的增大，響應(yīng)中的暫態(tài)分量指數(shù)函數(shù)項和二階正弦函數(shù)項都將衰減趨于零，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。各暫態(tài)分量衰減的快慢，取決于對應(yīng)極點(diǎn)離虛軸的距離。極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減越快。反之，離虛軸很近的極點(diǎn)，其對應(yīng)的暫態(tài)分量項衰減慢，它在整個暫態(tài)分量中起主導(dǎo)作用。

由求得的高階系統(tǒng)階躍響應(yīng)可知，高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為常數(shù)A0。暫態(tài)分量則由一些實數(shù)極點(diǎn)構(gòu)成的指數(shù)函數(shù)項和共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)構(gòu)成的二階正弦函數(shù)項線性組合而成。922.閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

高價系統(tǒng)中，滿足下列2個條件的極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)：例如，某四階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為：

工程上常采用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，或采用計算機(jī)進(jìn)行分析。

（1）距虛軸最近且周圍沒有零點(diǎn)；（2）其他極點(diǎn)與虛軸的距離比該極點(diǎn)與虛軸的距離大5倍以上。

利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以將高階系統(tǒng)近似用一、二階系統(tǒng)表達(dá)，以便估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。933.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析3.4.1誤差及穩(wěn)態(tài)誤差

（1)從輸入端定義：以系統(tǒng)的輸入信號與反饋信號比較后的偏差信號定義為誤差：

(2)從輸出端定義：以系統(tǒng)的期望輸出與實際輸出信號之差定義為誤差：

從輸入端定義的誤差可以測量，便于用結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行分析計算，故在工程上應(yīng)用較多。在本教材，未加特殊說明時，均采用從系統(tǒng)輸入端定義的誤差。1.誤差的定義對于單位反饋系統(tǒng)對于非單位反饋系統(tǒng)94

系統(tǒng)誤差的穩(wěn)態(tài)分量在時的值被稱為穩(wěn)態(tài)誤差，用表示。由反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)，得誤差信號式中，開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2.穩(wěn)態(tài)誤差953.4.2給定輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)分類：

——

以開環(huán)傳遞函數(shù)中含零值極點(diǎn)數(shù)（積分環(huán)節(jié)的數(shù)目）分類，分別稱系統(tǒng)為0型、1型、2型系統(tǒng)。

給定輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差——由系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)、開環(huán)系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目和輸入信號的形式確定。961.階躍信號輸入，稱為系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，1型及以上系統(tǒng)，階躍信號輸入時，根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的不同情況——分為有差、無差、不能跟隨輸入三類系統(tǒng)972.斜坡信號輸入，稱為系統(tǒng)的速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2型及以上系統(tǒng)斜坡信號輸入時，983.拋物線信號輸入，稱為系統(tǒng)的加速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。對于1型以下系統(tǒng)2型系統(tǒng)拋物線信號輸入時，小于1型的系統(tǒng)都不能跟蹤輸入信號99輸入信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法有兩種：例3-10

已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求（1）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)；（2）輸入信號時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解由勞斯判據(jù)可判斷本系統(tǒng)穩(wěn)定（1）誤差系數(shù)根據(jù)疊加原理有1）終值定理法——直接用終值定理求極限求得穩(wěn)態(tài)誤差；

2）誤差系數(shù)法——

根據(jù)輸入信號的形式求出相應(yīng)的誤差系數(shù)后求穩(wěn)態(tài)誤差。（2）穩(wěn)態(tài)誤差1003.4.3擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

說明，擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差，除了與開環(huán)傳遞函數(shù)的類型以及擾動信號的形式有關(guān)外，還取決于擾動作用點(diǎn)的位置。當(dāng)式中，是擾動作用點(diǎn)與誤差信號之間的傳遞函數(shù)。

可見，擾動作用下穩(wěn)態(tài)誤差的大小，除了與擾動信號有關(guān)外，還主要取決于擾動作用點(diǎn)到誤差信號之間的傳遞函數(shù)。1013.5MATLAB用于時域響應(yīng)分析3.5.1用MATLAB分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.多項式求根命令roots2．求系統(tǒng)極點(diǎn)命令pole可用roots命令求出已知控制系統(tǒng)特征方程的根。例3-12

已知反饋系統(tǒng)特征方程為，判定穩(wěn)定性。解在命令窗口執(zhí)行命令d=[13424];p=roots(d)可用pole命令求出已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。調(diào)用格式：p=pole(sys)顯示結(jié)果為p=-3.68320.3416+2.5297i0.3416-2.5297i

1023.5.2用MATLAB分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能1.求取動態(tài)響應(yīng)曲線MATLAB以下幾條求取線性系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的命令：step求取單位階躍響應(yīng)命令

impulse求取單位脈沖響應(yīng)命令

lsin求取任意輸入信號響應(yīng)命令step命令的調(diào)用格式如下：(1)step(num,den)orstep(sys)(下同)——作響應(yīng)圖，時間自動給定。(2)step(num,den,t)——作響應(yīng)圖，時間人工給定。(3)[y,x]=step(num,den)——返回輸出變量y、x，不作圖。(4)[y,x,t]=step(num,den)——返回輸出變量y、x、t，不作圖,時間自動給定。

or[y,x]=step(num,den,t)——返回輸出變量y、x，不作圖,時間人工給定。Impulse和lsin的調(diào)用格式基本相同1032.求取性能指標(biāo)根據(jù)性能指標(biāo)的定義，用MATLAB命令編程求取各性能指標(biāo)。例3-15已知典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為用step命令繪制，時單位階躍響應(yīng)曲線。

繪制曲線第4章根軌跡分析法4.1根軌跡的基本概念4.2繪制根軌跡的基本法則4.3參量根軌跡4.4正反饋回路和零度根軌跡4.5用根軌跡分析系統(tǒng)性能4.6MATLAB用于根軌跡分析

根軌跡增益：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程為：特征根為：1054.1根軌跡的基本概念根軌跡——指系統(tǒng)中某個參數(shù)由0→∞變動時閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。4.1.1

根軌跡如圖系統(tǒng)：開環(huán)傳遞函數(shù)為：根軌跡增益與特征根的關(guān)系：當(dāng)根軌跡增益Kr從零變化到無窮時，閉環(huán)極點(diǎn)的變化情況如圖。穩(wěn)定性:當(dāng)由變化時，根軌跡都位于s左半平面，因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。動態(tài)性能：當(dāng)時，根軌跡在負(fù)實軸上，則系統(tǒng)閉環(huán)特征根是兩個負(fù)實數(shù)，故系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)無超調(diào)；Kr=1，為實數(shù)重根，系統(tǒng)呈臨界阻尼狀態(tài)；Kr>1，為共軛復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)具有衰減振蕩特征，且超調(diào)量將隨Kr值的增大而加大，平穩(wěn)性變差。設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為式中，zi為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，pj為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，Kr為根軌跡增益。1084.1.2

根軌跡方程——稱為根軌跡方程109系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為或：則有：4.1.3

幅值條件方程和相角條件方程由于根軌跡方程是復(fù)數(shù)方程，由它可派生出:幅值條件方程:相角條件方程:

相角條件方程是確定s平面上的某個點(diǎn)是否在根軌跡上的必要條件，當(dāng)s平面上的某個點(diǎn)滿足相角方程時，則該點(diǎn)必在根軌跡上。

幅值條件方程主要是用來確定根軌跡上任意點(diǎn)對應(yīng)的根軌跡增益Kr值。規(guī)則1根軌跡的連續(xù)性、對稱性由于閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根是根軌跡增益Kr的連續(xù)函數(shù)，所以當(dāng)Kr由0→∞連續(xù)變化時，特征方程的根必然是連續(xù)變化的。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根必為實根或共軛復(fù)數(shù)根，即根軌跡必然位于s平面的實軸上或?qū)ΨQ于實軸。4.2

繪制根軌跡的基本法則

根軌跡是對稱于實軸的連續(xù)曲線。規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)根軌跡是指系統(tǒng)中某個參數(shù)由0→∞變化時，閉環(huán)特征根在S平面上移動的軌跡，故根軌跡的分支數(shù)就是閉環(huán)特征方程根的數(shù)目，即特征方程的階數(shù)。特征方程的階數(shù)為開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n和開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m中最大數(shù)。通n≥m，則根軌跡的分支數(shù)通常為開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n。根軌跡分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n和開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m中的最大數(shù)。112規(guī)則3根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)考慮到根軌跡起始處Kr＝０，故根軌跡幅值方程為根軌跡終點(diǎn)處Kr→∞。有m條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，n-m條終止于無窮遠(yuǎn)。根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)。使等式成立的條件是s=pj

113規(guī)則4實軸上的根軌跡段實軸上根軌跡段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)個數(shù)之和為奇數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為在實軸上p1與z1之間任取一點(diǎn)s1，則各開環(huán)零、極點(diǎn)指向s1的向量如圖。s1對應(yīng)的相角方程：滿足相角相角方程，即該區(qū)段是根軌跡段。114零、極點(diǎn)分布圖例4-1已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定實軸上的根軌跡。

解：繪制出的實軸上的根軌跡如圖

規(guī)則5根軌跡的漸近線趨于無窮遠(yuǎn)的根軌跡的漸近線由下式確定：漸近線與實軸的夾角漸近線與實軸的交點(diǎn)116直到取滿n-m個傾角

例4-2設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)的根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的漸近線，并繪制根軌跡。解：

p1=0，p2=-2,p3=-4，n=3,m=0，n–m=3。實軸上：0～-2、-4～-∞區(qū)段有根軌跡。根軌跡的漸近線：繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖。規(guī)則6根軌跡的分離（會合）點(diǎn)118若實軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離（會合）點(diǎn)；如果實軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（其中一個可能是無限大零點(diǎn)）之間有根軌跡，則這兩相鄰零點(diǎn)之間必有分離（會合）點(diǎn)。分離點(diǎn)可由下式求得，即隨著開環(huán)增益kr的變動，在s平面上可能會出現(xiàn)幾條根軌跡相會和而后又分離的一些點(diǎn)，這類點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)或會和點(diǎn)。分離（會合）點(diǎn)實質(zhì)上就是閉環(huán)特征方程的重根。例4-3設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制kr由0→∞變化時系統(tǒng)的根軌跡。解：

p1=-1，p2=-2,z1=-3，n=2,m=1，n–m=1。實軸上：-1～-2、-3～-∞區(qū)段有根軌跡。根軌跡的漸近線：分離（會合）點(diǎn):由解得繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖。規(guī)則7根軌跡的出射角和入射角出射角:為根軌跡在復(fù)數(shù)起點(diǎn)處的切線與正實軸的夾角。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示，有零、極點(diǎn)z1,p1，p2，p3。設(shè)p1的出射角為θp1，如圖所示。假設(shè)s1為離開p1的根軌跡上的一點(diǎn)，則s1應(yīng)滿足相角方程當(dāng)則有入射角的一般表達(dá)式為入射角:為根軌跡在復(fù)數(shù)終點(diǎn)處的切線與正實軸的夾角。121由此可推得出射角的一般表達(dá)式例4-4

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)的出射角，并繪制出根軌跡。解：

p1=0，p2=-3,p3=-1+j,p4=-1-j,z1=-2，n=4,m=1，n–m=3。實軸上：0～-2、-3～-∞區(qū)段有根軌跡。漸近線：出射角：繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖。規(guī)則8根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界點(diǎn)，常常需要求得這一交點(diǎn)和相應(yīng)的Kr值。設(shè)與虛軸相交的閉環(huán)極點(diǎn)為ｓ=jω，代入閉環(huán)特征方程得：解方程即可求得ω，

Kr。123例4-5

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。P1P2P3解：

p1=-1.5，p2=-2+2j,p3=-2-2j,n=3,m=0，n–m=3。實軸上：-1.5～-∞區(qū)段有根軌跡。漸近線：出射角：繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖。與虛軸的交點(diǎn)：規(guī)則9閉環(huán)極點(diǎn)之和在一定條件下，開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)間有著固定的關(guān)系，可利用這種關(guān)系來判別閉環(huán)特征根在ｓ平面上的走向，并為確定閉環(huán)極點(diǎn)帶來方便。根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)間的關(guān)系，次高項系數(shù)設(shè)ｎ階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可表示為如果滿足條件n-m≥2，則1254.3

參量根軌跡

以非根軌跡增益或非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參量根軌跡。繪制參量根軌跡時，上述關(guān)于繪制根軌跡的基本法則依然是適用的，只是需要預(yù)先將參變量變換到相當(dāng)根軌跡增益的位置，得到等效的開環(huán)傳遞函數(shù)。

例4-6

已知控制系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制參數(shù)Ta由0→∞變化時的根軌跡。解：

閉環(huán)特征方程為

將特征方程整理成方程兩邊同除不含參量Ta的項，得等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為按照前述繪制根軌跡的基本規(guī)則，即可繪制出系統(tǒng)測速反饋系數(shù)Ta由0→∞變化時的根軌跡。4.4正反饋回路和零度根軌跡正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

1-G(s)H(s)=0

其幅值方程與負(fù)反饋系統(tǒng)相同，而相角方程則為因為相角條件常規(guī)根軌跡的不同為

，故稱之為零度根軌跡。

根軌跡方程為

G(s)H(s)=1

（1）實軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。

（2）根軌跡的漸近線與實軸的夾角為（3）根軌跡的出射角和入射角的計算公式為在繪制根零度根軌跡的規(guī)則中，不同于負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡法則的有以下幾點(diǎn)：將開環(huán)傳遞函數(shù)改寫成零、極點(diǎn)形式除具有正反饋結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)之外，有些非最小相位系統(tǒng)雖是負(fù)反饋結(jié)構(gòu)，但其開環(huán)傳遞函數(shù)的分子或分母多項式中，的最高次冪的系數(shù)為負(fù)，因而系統(tǒng)具有正反饋性質(zhì)。因而要用繪制零度根軌跡的規(guī)則來作根軌跡圖。滿足零度根軌跡繪制條件。如某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4.5用根軌跡法分析系統(tǒng)性能4.5.1用根軌跡確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)4.5.2用根軌跡確定系統(tǒng)性能與參數(shù)的關(guān)系4.5.3增加開環(huán)零、極點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響例４-7

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用根軌跡法求取具有阻尼比的閉環(huán)共軛極點(diǎn)和其它的閉環(huán)極點(diǎn)，并估算此時系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：繪制系統(tǒng)根軌跡如圖在根軌跡圖上作的等阻尼線，它與負(fù)實軸的夾角4.5.1

用根軌跡確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)由圖中讀出等阻尼線與根軌跡相交點(diǎn)因為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1,s2來估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)

——s1,s2為主導(dǎo)極點(diǎn)4.5.2

用根軌跡確定系統(tǒng)性能與參數(shù)關(guān)系閉根軌跡圖是系統(tǒng)某個參數(shù)變化時閉環(huán)系統(tǒng)特征根的變化軌跡，而閉環(huán)系統(tǒng)特征根在平面的位置決定了控制系統(tǒng)的性能：（1）穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件由根軌跡圖可以確定根軌跡都位于s左平面時增益Kr的取值范圍。（2）運(yùn)動形式由根軌跡圖可以確定系統(tǒng)響應(yīng)為單調(diào)變化或衰減振蕩形式時的Kr數(shù)值范圍。（3）暫態(tài)性能指標(biāo)可由根軌跡確定的主導(dǎo)極點(diǎn)來估算。例4-8

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)（1）繪制由閉環(huán)時系統(tǒng)的根軌跡；（2）確定系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)為衰減振蕩形式時的取值范圍；（3）在根軌跡上確定系統(tǒng)具有最小阻尼比時的閉環(huán)極點(diǎn)。解

p1=0，p2=-1,z1=-2,z2=-3,n=2,m=2。分離（會合）點(diǎn):對應(yīng)的根軌跡增益值：繪制出根軌跡圖。(2)系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)的根軌跡增益值范圍為（3）過原點(diǎn)作與根軌跡圓相切的直線，即最小阻尼比線求出切點(diǎn)處對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)4.5.3

增加開環(huán)零、極點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響１.增加開環(huán)零點(diǎn)原有三階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為a)原系統(tǒng)的根軌跡

b)增加了z1=-2的根軌跡

c)增加了z1=-10的根軌跡可見，零點(diǎn)的增加，使從原點(diǎn)出發(fā)的兩條根軌跡左移，而且增加的零點(diǎn)越靠近虛軸，左移更明顯。從以上的分析可知，選擇增加合適的開環(huán)零點(diǎn)，可以使根軌跡向左彎曲或移動，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。但零點(diǎn)選擇不合適，則達(dá)不到改善系統(tǒng)性能的目的。一般，先根據(jù)性能指標(biāo)的要求確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置，再選擇增加合適的開環(huán)零點(diǎn)。2.增加開環(huán)極點(diǎn)原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為a)原二階系統(tǒng)的根軌跡

b)增加了p3=-6的根軌跡c)增加了p3=-2的根軌跡d)增加了p3=-2的根軌跡

與增加開環(huán)零點(diǎn)時的情況相反，在系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中增加極點(diǎn)，將會使系統(tǒng)的根軌跡向右彎曲或移動，系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。且所增加極點(diǎn)的模值越小，即離虛軸越近，則根軌跡向右彎曲或移動的趨勢越明顯，對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響也越大。當(dāng)所增加極點(diǎn)的模值進(jìn)一步減小至某值后，有可能因為取值偏大而使得系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.6

MATLAB用于根軌跡分析

MATLAB中有關(guān)根軌跡的函數(shù)主要有:（1）rlocus(num,den)或rlocus(sys)：繪制給定系統(tǒng)num,den或sys的根軌跡圖（2）[r,k]=rlocus(num,den)：返回計算的系統(tǒng)各個閉環(huán)極點(diǎn)值（實部和虛部值）以及對應(yīng)的根軌跡增益值，不作圖。（3）[k,pole]=rlocfind(num,den)：在已經(jīng)繪制的根軌跡圖上，獲取光標(biāo)指定位置的根軌跡增益值以及對應(yīng)于該增益值所有閉環(huán)極點(diǎn)位置.143第5章頻率特性法5.1頻率特性的基本概念5.2極坐標(biāo)圖（奈氏圖）5.3伯德圖5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.6系統(tǒng)頻率特性與時域性能的關(guān)系5.7MATLAB用于頻域分析1445.1頻率特性的基本概念5.1.1頻率響應(yīng)在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。設(shè)無重極點(diǎn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)輸入為正弦信號時，，則系統(tǒng)輸出的拉氏變換為求拉氏反變換，得暫態(tài)項穩(wěn)態(tài)項145

則系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為是一個復(fù)數(shù),且是共軛復(fù)數(shù)表明：對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，輸入正弦信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出信號，即頻率響應(yīng)是與輸入同頻率的正弦信號，但有變幅和移相。1465.1.2頻率特性的定義

定義：線性定常系統(tǒng)零初始條件下，系統(tǒng)頻率響應(yīng)與輸入信號的復(fù)數(shù)比，常用或表示：稱為的幅頻特性，它等于頻率響應(yīng)輸出幅值與輸入信號幅值之比；稱為的相頻特性，它是穩(wěn)態(tài)輸出對輸入的相位移。

頻率特性的表示還可表達(dá)為147

頻率特性與微分方程和傳遞函數(shù)一樣，是系統(tǒng)在在頻域的數(shù)學(xué)模型，它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。各種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系

頻率特性的幅值和相位都是的函數(shù)，即頻率特性反映了系統(tǒng)對不同頻率信號的變幅和移相特性，描述了系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的傳遞能力。148頻率特性常用解析式

頻率特性是復(fù)變函數(shù)，它在復(fù)平面上的向量如圖。幅頻-相頻形式：指數(shù)形式：實頻-虛頻形式：

實頻、虛頻和幅頻、相頻的關(guān)系149如圖所示RC電路網(wǎng)絡(luò)，其傳遞函數(shù)為實頻、虛頻頻率特性幅頻、相頻頻率響應(yīng)代入?yún)?shù)得：則1501.極坐標(biāo)圖——

也稱幅相頻率特性圖、奈奎斯特（Nyquist）圖，簡稱奈氏圖。

它是當(dāng)由0變化到∞時，向量端點(diǎn)在復(fù)平面上運(yùn)動形成的軌跡圖。通常規(guī)定從正實軸開始按逆時針方向作為相角的正值。

由表5-1數(shù)據(jù)繪制出的RC網(wǎng)絡(luò)的極坐標(biāo)圖：5.1.3頻率特性的圖形表示

極坐標(biāo)圖的繪制，可以通過幅頻特性和相頻特性計算描出，也可以由實頻和虛頻計算描出。復(fù)平面本教材在以下的極坐標(biāo)圖繪制中一般采用幅頻特性和相頻特性表達(dá)。1512.伯德（Bode）圖伯德圖縱坐標(biāo)均按線性分度橫坐標(biāo)是角頻率，按分度，10倍頻程，用dec

表示?！址Q對數(shù)頻率特性圖對數(shù)幅頻特性單位：(

)對數(shù)相頻特性單位：由表5-1數(shù)據(jù)繪制出的RC網(wǎng)絡(luò)的伯德圖：1523.尼柯爾斯(Nichols)圖

——又稱對數(shù)幅相頻率特性圖。

它是由對數(shù)幅頻特性為縱坐標(biāo)和對數(shù)相頻特性為橫坐標(biāo)而繪制成的曲線，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均是線性分度。由RC網(wǎng)絡(luò)的伯德圖繪制的尼柯爾斯圖：1535.2極坐標(biāo)圖（奈氏圖）

5.2.1典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

控制系統(tǒng)所包含的典型環(huán)節(jié)有：比例、積分、慣性、振蕩、微分、一階微分、二階微分以及延遲等環(huán)節(jié)。典型環(huán)節(jié)的頻率特性環(huán)節(jié)比例積分慣性振蕩154

振蕩環(huán)節(jié)頻率特性有幾個特點(diǎn)：3）相頻特性須分低頻和高頻兩種計算4）幅頻特性的最大值點(diǎn),也稱為諧振點(diǎn)：典型環(huán)節(jié)的頻率特性及其奈氏圖（續(xù)）環(huán)節(jié)微分一階微分二階微分延遲1）振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性由。2）時極坐標(biāo)曲線與負(fù)虛軸相交。1555.2.2控制系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖

概略繪制開環(huán)極坐標(biāo)圖方法:1.確定起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)：終點(diǎn)：2.確定與負(fù)實軸的交點(diǎn)3.確定變化趨勢1.確定開環(huán)極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)和終點(diǎn)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：起點(diǎn)位置與系統(tǒng)類型有關(guān)終點(diǎn)相角與(n-m)有關(guān)其中：156開環(huán)極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)開環(huán)極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)1572.確定極坐標(biāo)圖與負(fù)實軸的交點(diǎn)有兩種方法：1）頻率特性用幅頻-相頻形式表示時，令，解得交點(diǎn)頻率后代入幅頻特性求出交點(diǎn)的幅值.2）頻率特性用實頻-虛頻形式表示時，令，解得交點(diǎn)頻率后代入頻率特性的實部中求出對應(yīng)實部.3.確定極坐標(biāo)圖的變化趨勢

由頻率特性的幅頻、相頻或?qū)嶎l、虛頻確定奈氏圖以何種趨勢、單調(diào)性由起點(diǎn)進(jìn)入終點(diǎn)，或圖所在的象限區(qū)。158例5-1

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制系統(tǒng)概略開環(huán)極坐標(biāo)圖。

解系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為1)起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)：終點(diǎn)：2)負(fù)實軸穿越點(diǎn)奈氏圖與實軸交于

由以上計算和分析作出系統(tǒng)的極坐標(biāo)曲線如圖。3)負(fù)相角增大趨勢得：1595.3伯德圖

伯德圖實現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。而且伯德圖采用了對數(shù)，將幅值的乘除運(yùn)算簡化為加減運(yùn)算，大大簡化了頻率特性的計算。這些特點(diǎn)使伯德圖成為了控制系統(tǒng)設(shè)計的有效工具，得到了廣泛的應(yīng)用。將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解式中，N為典型環(huán)節(jié)的個數(shù)。

則系統(tǒng)頻率特性為系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性為典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性疊加1605.3.1典型環(huán)節(jié)的伯德圖1．比例環(huán)節(jié)其對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別為是一條高度為的水平線。2．積分、微分環(huán)節(jié)積分、微分環(huán)節(jié)的頻率特性對數(shù)幅頻特性斜率為的直線。1613.

慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻特性對數(shù)幅頻特性漸近線：①低頻漸近線，②高頻漸近線，在轉(zhuǎn)折頻率處有最大誤差是一條斜率為－20dB/dec的直線

可采用逐點(diǎn)計算描點(diǎn)或模板的方法繪制對數(shù)相頻特性。-20dB/dec漸近線精確曲線1624.一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻特性

一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為到數(shù)，它們的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性都相差一個符號，所以一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖和慣性環(huán)節(jié)的伯德圖對稱于橫坐標(biāo)。漸近線精確曲線1635．振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻特性對數(shù)幅頻特性漸近線：①低頻漸近線，②高頻漸近線，在轉(zhuǎn)折頻率處的誤差——與阻尼比有關(guān)

，時存在諧振1646.二階微分環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻特性

二階微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為到數(shù)，它們的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性都相差一個符號，所以二階微分環(huán)節(jié)的伯德圖和振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖對稱于橫坐標(biāo)。1657．延時環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為1665.3.2控制系統(tǒng)開環(huán)伯德圖1）轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注。將傳遞函數(shù)進(jìn)行典型環(huán)節(jié)分解，將各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率由小到大依次標(biāo)注在頻率軸上。2）繪制低頻段漸近線。斜率繪制方法：確定之點(diǎn)，過該點(diǎn)畫斜率為的直線。3）繪制中、高頻段漸近線。

將低頻段直線沿著頻率增大的方向延伸，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率，根據(jù)該環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性改變一次直線的斜率，直至最后一個轉(zhuǎn)折頻率。4)誤差修正，需要時按照各典型環(huán)節(jié)的誤差曲線進(jìn)行修正。選擇若干個頻率計算對應(yīng)的相位，取點(diǎn)連成光滑曲線。的作圖步驟為：的作圖：167例5-2

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。轉(zhuǎn)折頻率2）低頻段直線。確定點(diǎn)：斜率：-20dB/dec

（1型系統(tǒng)）3）繪制中、高頻段漸近線。斜率轉(zhuǎn)折：-20dB/dec—-40dB/dec—-20dB/dec—-60dB/dec1）系統(tǒng)有放大、積分、振蕩、慣性、一階微分5個基本環(huán)節(jié)，解：1.作4）誤差修正。如果需要可以進(jìn)行誤差修正，計算諧振頻率及峰值1682.作由表5-2各頻率點(diǎn)的相位值，取點(diǎn)連成光滑曲線。例5-2系統(tǒng)伯德圖——截止頻率的計算：由，即得1695.3.3由伯德圖確定傳遞函數(shù)1.最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

最小相位系統(tǒng)——在s右平面上既無極點(diǎn)也無零點(diǎn)，也沒有滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)；反之，則稱其為非最小相位系統(tǒng)。

三個系統(tǒng)的幅頻特性完全相同，相頻特性相差很大，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小

。

最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、幅頻特性和相頻特性之間存在著唯一確定的關(guān)系1702.最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由對數(shù)幅頻漸近特性求傳遞函數(shù)是伯德圖曲線繪制的逆問題。

例5-3設(shè)某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1715.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.4.1幅角定理

設(shè)F(s)為一單值復(fù)變有理函數(shù)。在s平面上任取一條不通過F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)的封閉路徑Γ，當(dāng)s從封閉路徑Γ上任一點(diǎn)起順時針沿Γ運(yùn)動一周回到該點(diǎn)時，則對應(yīng)F(s)平面上的映射ΓF亦會是一條封閉路徑。幅角定理設(shè)s平面封閉路徑Γ包圍了F(s)的Z個零點(diǎn)、P

個極點(diǎn)，則當(dāng)s沿Γ按順時針方向運(yùn)行一周時，平面上的映射ΓF逆時針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)為:

R＝P–Z

當(dāng)R＜0時，則Z

>

P,表示ΓF順時針包圍F(s)平面的原點(diǎn)，R＝0,則Z=

P表示不包圍F(s)平面的原點(diǎn)。

1725.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)設(shè)如圖所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程:可見

1）F(s)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)相等，都是n個；2）F(s)的零點(diǎn)為特征方程的根，即閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)（判穩(wěn)欲知）

；

3）F(s)的極點(diǎn)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（已知）

；

1731.奈氏路徑

為了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以取一個包圍整個右半s平面的封閉路徑Γ，就可以通過其在F(s)平面的映射ΓF了解F(s)的零點(diǎn)，即特征根位于右半s平面的數(shù)目Z。當(dāng)Gk(s)無虛軸上的極點(diǎn)時，可選取如圖所示包圍整個右半s平面閉合路徑Γ，s按順時針方向沿著繞行，其中是沿半徑無窮大的半圓弧繞行。這個閉合路徑Γ稱為奈氏路徑。1742.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

若奈氏路徑Γ包圍了F(s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)。由應(yīng)用幅角原理可知，當(dāng)s按順時針方向沿奈氏路徑Γ運(yùn)行一周時，其在F(s)平面上的映射曲線ΓF將逆時針圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)R周，且

R＝P–Z若R＝P，則Z=0，F(xiàn)(s)沒有的零點(diǎn)，即閉環(huán)極點(diǎn)在右半s平面，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由于所以s按順時針方向沿奈氏路徑Γ運(yùn)行一周,由，其在F(s)平面上的映射即為F平面的原點(diǎn)即Gk平面的（-1，j0)點(diǎn)175s按順時針方向沿奈氏路徑Γ運(yùn)行一周,由，——稱為奈奎斯特曲線。

閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性就可以通過奈奎斯特曲線對點(diǎn)（-1，j0）的包圍情況來判斷，這就是奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的奈奎斯特曲線逆時針包圍(－1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的正實部極點(diǎn)數(shù)P。

對于最小相位系統(tǒng)，P=0,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏曲線不包圍(－1,j0)點(diǎn)。奈氏曲線不包圍(－1,j0)點(diǎn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，奈氏曲線包圍(－1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定(s右平面特征根數(shù)Z=P-R)

；若奈氏曲線穿越(－1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。R＝P–Z，Z＝P–R＝0——系統(tǒng)穩(wěn)定176例5-4

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試用奈氏判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.解系統(tǒng)兩個開環(huán)極點(diǎn)-1和-0.5，都為負(fù)實數(shù)

，即P＝0。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性開環(huán)奈氏圖：起點(diǎn)終點(diǎn)與負(fù)實軸無交點(diǎn)，再根據(jù)對稱性作圖。

由圖可知，奈氏曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，即R＝0，所以Z＝P－R＝0。閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。177例5-5

已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試用奈氏判據(jù)分別確定K=20和K=52時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的三個開環(huán)極點(diǎn)-2、-1±j2都在s左半平面，P＝0

起點(diǎn)：終點(diǎn)：與負(fù)實軸交點(diǎn)：

由對稱性作出K=20和K=52時系統(tǒng)的奈奎斯特曲線如圖。作開環(huán)奈氏圖判斷穩(wěn)定性K=20，R=0=P，系統(tǒng)穩(wěn)定。K=52，R=2≠P，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1783．含有積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)的奈氏判據(jù)

含有積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)，因其有開環(huán)極點(diǎn)位于s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)時選擇如圖5-23b所示的奈氏路徑Γ，這時的奈氏曲線還應(yīng)加上小半圓弧的映射。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則s沿小半圓弧繞行時，（其中）

可見，當(dāng)s從j0-沿?zé)o限小半圓弧到j(luò)0+時，θ由-90°→0°→+90°逆時針轉(zhuǎn)過180°時，其映射就是一個順時針轉(zhuǎn)過ν.180°的半徑為無窮大的圓弧。179例5-7

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)兩個開環(huán)極點(diǎn)0和1/T，1/T位于s右半平面

，即P＝1。這是一個1型系統(tǒng)，奈氏路徑應(yīng)是圖5-23b所示的閉合曲線Γ。起點(diǎn)終點(diǎn)

與負(fù)實軸無交點(diǎn)，作出奈奎斯特曲線（實線）如圖所示。

增補(bǔ)1型系統(tǒng)奈氏路徑小半圓的映射：從的映射點(diǎn)開始順時針轉(zhuǎn)過到映射點(diǎn)的無窮大圓弧，如圖虛線所示?？梢?，奈氏曲線順時針包圍(-1,j0)1次，R＝-1≠P，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1804.正、負(fù)穿越表示的奈氏判據(jù)正、負(fù)穿越的概念——正穿越—從上向下穿過(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實軸,用N+表示；負(fù)穿越—從下向上穿過(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實軸,用N-表示；起始于負(fù)實軸或終止于負(fù)實軸時，穿越次數(shù)定義為0.5次。

設(shè)N為時開環(huán)奈氏曲線逆時針包圍（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)：正、負(fù)穿越概念表示的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)ω=0→∞時，開環(huán)奈奎斯特曲線在點(diǎn)（－1，j0）左側(cè)負(fù)實軸上正、負(fù)穿越的次數(shù)之差為P/2。

因奈奎斯特曲線對稱于實軸，為簡便起見，在用