專題2.8平衡中的臨界、極值問題1.如圖所示，質(zhì)量均為m的小球A、B用兩根不可伸長的輕繩連接后懸掛于O點，在外力F的作用下，小球A、B處于靜止狀態(tài)．若要使兩小球處于靜止狀態(tài)且懸線OA與豎直方向的夾角θ保持30°不變，則外力F的大小()A．可能為eq\f(\r(3),3)mgB．可能為eq\f(\r(5),2)mgC．可能為eq\r(2)mgD．可能為mg【答案】BCD【解析】本題相當于一懸線吊一質(zhì)量為2m的物體，懸線OA與豎直方向夾角為30°，與懸線OA垂直時外力F最小，大小為mg，所以外力F大于或等于mg，故B、C、D正確．2.重力都為G的兩個小球A和B用三段輕繩如圖所示連接后懸掛在O點上，O、B間的繩子長度是A、B間的繩子長度的2倍，將一個拉力F作用到小球B上，使三段輕繩都伸直且O、A間和A、B間的兩段繩子分別處于豎直和水平方向上，則拉力F的最小值為()A.eq\f(1,2)GB.eq\f(\r(3),3)GC.GD.eq\f(2\r(3),3)G【答案】A【解析】對A球受力分析可知，因O、A間繩豎直，則A、B間繩上的拉力為0.對B球受力分析如圖所示，則可知當F與O、B間繩垂直時F最小，F(xiàn)min＝Gsinθ，其中sinθ＝eq\f(l,2l)＝eq\f(1,2)，則Fmin＝eq\f(1,2)G，故A項正確.3.(多選)如圖所示，兩個大小不計質(zhì)量均為m的物體A、B放置在水平地面上，一根長為L不可伸長的輕繩兩端分別系在兩物體上，繩恰好伸直且無拉力，在繩的中點施加一個豎直向上的拉力F，使兩物體慢慢靠近，直至兩物體接觸，已知兩物體與水平地面間的動摩擦因數(shù)均為eq\f(\r(3),3)，則在兩物體靠近的過程中下列說法正確的是()A．拉力F一直增大B．物體A所受的摩擦力不變C．地面對A物體的支持力先減小后增大D．當兩物體間的距離為eq\f(\r(3),2)L時，繩上的拉力最小【答案】AD【解析】A項，設(shè)兩根繩子之間的夾角為α，對結(jié)點O受力分析如圖甲所示，由平衡條件得：F1＝F2＝eq\f(F,2cos\f(α,2))，再對任一球(如右球)受力分析如圖乙所示，球剛好滑動的臨界條件是：F2sineq\f(α,2)＝μFN.又F2coseq\f(α,2)＋FN＝G.聯(lián)立解得：F＝eq\f(2μG,μ＋tan\f(α,2))＝eq\f(2μmg,μ＋tan\f(α,2))，當兩個物體逐漸靠近的過程中，α角逐漸減小，拉力F增大，故A項正確；D項，設(shè)繩子與地面夾角為θ時繩子拉力最小，根據(jù)平衡條件可得：F1cosθ＝f＝μ(mg－F1sinθ)，解得F1＝eq\f(μmg,cosθ＋μsinθ)＝eq\f(μmg,\r(μ2＋1)（\f(1,\r(μ2＋1))cosθ＋\f(μ,\r(μ2＋1))sinθ）)令sinβ＝eq\f(1,\r(μ2＋1))，則β＝60°，所以有：F1＝eq\f(μmg,\r(μ2＋1)·sin（β＋θ）)，當β＋θ＝90°時F1最小，此時θ＝30°，兩物體相距x＝2×eq\f(L,2)cosθ＝eq\f(\r(3),2)L，故D項正確；B項，由于繩子拉力先變小再變大，所以摩擦力f＝F1cosθ，θ一直增大，所以摩擦力一定是變力，故B項錯誤；C項，以整體為研究對象，拉力F一直增大，豎直方向受力平衡，則地面對兩個物體的支持力一直減小，故C項錯誤．4.如圖所示，物體的重量為2kg，兩根輕繩AB和AC的一端連接于豎直墻上，另一端系于物體上，在物體上另施加一個方向與水平線成θ=600的拉力F，若要兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍?！敬鸢浮?033N～【解析】根據(jù)平衡條件，有：x方向Fcos600=FC+FBcos600,y方向Fsin600+FBsin600=mg,解得：F5.如圖所示，斜面與水平面的夾角為370，物體A質(zhì)量為2kg，與斜面間摩擦因數(shù)為0.4，若要使A在斜面上靜止，求：物體B質(zhì)量的最大值和最小值。（sin370=0.6，cos370=0.8，g=10N/kg，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）【答案】最小值為0.56kg，最大值為1.84kg.【解析】對物體A，受重力、支持力、拉力和摩擦力而平衡，在垂直斜面方向，有：N=mAgcos370=16N,物體A與斜面之間的最大靜摩擦力fmax=μN=6.4N,因為物體受到的靜摩擦力可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，當物體受到的摩擦力等于最大靜摩擦力且方向沿斜面向上時根據(jù)受力平衡有：T1+6.如圖所法，一個質(zhì)量為m的物體放在傾角為θ的固定斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，且μ＜tanθ，現(xiàn)對物體施一水平推力，試分析：（最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）（1）要使物體靜止在斜面上，推力F為多少時，物體將不受摩擦力？（2）要使物體靜止在斜面上，水平推力F應該滿足什么條件？（3）要使物體在斜面上勻速運動，水平推力F應滿足什么條件？【答案】（1）mgtanθ（2）sinθ-μcosθμsinθ+cosθmg<F<sinθ+μcosθcosθ-μsinθmg（3）【解析】（1）以物體為研究對象進行受力分析如圖所示，根據(jù)共點力的平衡條件可得：水平方向：F=Nsinθ豎直方向：Ncosθ=mg，聯(lián)立解得：F=mgtanθ(2)因為μ＜tanθ，所以當F＝0時，物體不能靜止。若物體在力F的作用下剛好不下滑，則物體受沿斜面向上的最大靜摩擦力，且此時F最小，對物體受力分析，如圖甲所示，由平衡條件得：mgsinθ＝Fcosθ＋f①N＝mgcosθ＋Fsinθ②f＝μN③由①②③解得Fmin＝sinθ-μcosθ若物體在力F的作用下剛好不上滑，則物體受沿斜面向下的最大靜摩擦力，且此時F最大，對物體受力分析，如圖乙所示，由平衡條件得：mgsinθ＋f＝Fcosθ