21.1二次根式第21章二次根式【2025-2026學(xué)年華東師大版】數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********幻燈片1：封面標(biāo)題：21.1二次根式副標(biāo)題：理解二次根式的概念，掌握其基本性質(zhì)幻燈片2：學(xué)習(xí)目標(biāo)理解二次根式的概念，能準(zhǔn)確判斷一個(gè)式子是否為二次根式。掌握二次根式有意義的條件，能求出二次根式中字母的取值范圍。理解并運(yùn)用二次根式的基本性質(zhì)（\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)）；\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)））解決問(wèn)題?；脽羝?：情境引入——實(shí)際問(wèn)題中的式子問(wèn)題1：一個(gè)正方形的面積為\(S\)，則它的邊長(zhǎng)可以表示為_(kāi)_____。問(wèn)題2：一個(gè)圓的面積為\(2\pi\)，則它的半徑可以表示為_(kāi)_____。問(wèn)題3：若一個(gè)數(shù)的平方等于\(a\)（\(a\geq0\)），則這個(gè)數(shù)可以表示為_(kāi)_____。引出式子：\(\sqrt{S}\)、\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)），這些式子都帶有開(kāi)平方運(yùn)算，且被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，它們就是我們今天要學(xué)習(xí)的二次根式?；脽羝?：二次根式的概念定義：一般地，形如\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子叫做二次根式。其中“\(\sqrt{}\)”叫做二次根號(hào)，\(a\)叫做被開(kāi)方數(shù)。解讀：二次根式的形式特征：必須含有二次根號(hào)“\(\sqrt{}\)”。被開(kāi)方數(shù)的要求：被開(kāi)方數(shù)\(a\)必須是非負(fù)數(shù)（即\(a\geq0\)），這是二次根式有意義的前提。示例：\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{x+1}\)（\(x+1\geq0\)）、\(\sqrt{0}\)都是二次根式；\(\sqrt{-3}\)（被開(kāi)方數(shù)為負(fù)數(shù)）、\(\sqrt[3]{4}\)（根指數(shù)是3，不是2）不是二次根式。幻燈片5：二次根式有意義的條件核心條件：二次根式\(\sqrt{a}\)有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)\(a\)為非負(fù)數(shù)，即\(a\geq0\)。例題：當(dāng)\(x\)取何值時(shí)，二次根式\(\sqrt{x-2}\)有意義？解答：要使\(\sqrt{x-2}\)有意義，則\(x-2\geq0\)，解得\(x\geq2\)。練習(xí)：當(dāng)\(x\)取何值時(shí)，\(\sqrt{3x+6}\)有意義？（答案：\(x\geq-2\)）當(dāng)\(x\)取何值時(shí)，\(\sqrt{5-2x}\)有意義？（答案：\(x\leq\frac{5}{2}\)）幻燈片6：二次根式的性質(zhì)1性質(zhì)內(nèi)容：\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)），即二次根式的結(jié)果是非負(fù)數(shù)。解讀：因?yàn)槠椒綌?shù)具有非負(fù)性，所以二次根號(hào)的運(yùn)算結(jié)果必然是非負(fù)數(shù)，這是二次根式的一個(gè)重要性質(zhì)。示例：\(\sqrt{4}=2\geq0\)，\(\sqrt{0}=0\)，\(\sqrt{2}\approx1.414\geq0\)。拓展：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0。如\(\sqrt{a}+\sqrt=0\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），則\(a=0\)且\(b=0\)?；脽羝?：二次根式的性質(zhì)2性質(zhì)內(nèi)容：\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)）。推導(dǎo)：根據(jù)二次根式的定義，\(\sqrt{a}\)表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，它的平方等于\(a\)，例如\((\sqrt{3})^2=3\)，\((\sqrt{0})^2=0\)。例題：計(jì)算\((\sqrt{5})^2\)、\((\sqrt{\frac{1}{2}})^2\)、\((\sqrt{0.3})^2\)。解答：\((\sqrt{5})^2=5\)；\((\sqrt{\frac{1}{2}})^2=\frac{1}{2}\)；\((\sqrt{0.3})^2=0.3\)。逆用：若\(a\geq0\)，則\(a=(\sqrt{a})^2\)，例如\(3=(\sqrt{3})^2\)，可用于式子的變形?；脽羝?：例題1——判斷二次根式題目：下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是？（1）\(\sqrt{7}\)（2）\(\sqrt{-1}\)（3）\(\sqrt[3]{8}\)（4）\(\sqrt{x^2+1}\)（\(x\)為任意實(shí)數(shù)）解答：（1）\(\sqrt{7}\)：含有二次根號(hào)，被開(kāi)方數(shù)7是正數(shù)，是二次根式。（2）\(\sqrt{-1}\)：被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，不是二次根式。（3）\(\sqrt[3]{8}\)：根指數(shù)是3，不是2，不是二次根式。（4）\(\sqrt{x^2+1}\)：因?yàn)閈(x^2\geq0\)，所以\(x^2+1\geq1>0\)，含有二次根號(hào)，是二次根式。結(jié)論：（1）（4）是二次根式；（2）（3）不是二次根式?；脽羝?：例題2——求二次根式中字母的取值范圍題目：求下列二次根式中\(zhòng)(x\)的取值范圍：（1）\(\sqrt{x^2}\)（2）\(\sqrt{\frac{1}{x+3}}\)（3）\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\)解答：（1）因?yàn)閈(x^2\geq0\)恒成立，所以\(x\)可以取任意實(shí)數(shù)。（2）要使\(\sqrt{\frac{1}{x+3}}\)有意義，則\(\frac{1}{x+3}\geq0\)，且分母\(x+3\neq0\)，即\(x+3>0\)，解得\(x>-3\)。（3）要使\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\)有意義，則\(\begin{cases}x-1\geq0\\5-x\geq0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x\geq1\\x\leq5\end{cases}\)，即\(1\leqx\leq5\)?；脽羝?0：例題3——利用二次根式的性質(zhì)求值題目：已知\(\sqrt{a-2}+\sqrt{b+3}=0\)，求\(a\)、\(b\)的值。解答：因?yàn)閈(\sqrt{a-2}\geq0\)，\(\sqrt{b+3}\geq0\)（二次根式的性質(zhì)1），且它們的和為0。所以\(\sqrt{a-2}=0\)，\(\sqrt{b+3}=0\)（幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0）。即\(a-2=0\)，\(b+3=0\)，解得\(a=2\)，\(b=-3\)。結(jié)論：\(a=2\)，\(b=-3\)?；脽羝?1：例題4——利用性質(zhì)2進(jìn)行計(jì)算題目：計(jì)算：（1）\((\sqrt{6})^2\)（2）\((-\sqrt{3})^2\)（3）\((\sqrt{2a})^2\)（\(a\geq0\)）解答：（1）\((\sqrt{6})^2=6\)。（2）\((-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3\)（平方運(yùn)算的結(jié)果為非負(fù)數(shù)）。（3）\((\sqrt{2a})^2=2a\)（\(a\geq0\)）?；脽羝?2：課堂練習(xí)1——基礎(chǔ)判斷題目：判斷下列說(shuō)法是否正確：（1）\(\sqrt{-a}\)一定是二次根式。（2）若\(\sqrt{x-1}\)有意義，則\(x>1\)。（3）\((\sqrt{5})^2=5\)，\(\sqrt{5^2}=5\)。答案：（1）錯(cuò)誤（當(dāng)\(a>0\)時(shí)，\(-a<0\)，\(\sqrt{-a}\)無(wú)意義）；（2）錯(cuò)誤（應(yīng)為\(x\geq1\)）；（3）正確?；脽羝?3：課堂練習(xí)2——取值范圍題目：當(dāng)\(x\)為何值時(shí)，\(\sqrt{(x-2)^2}\)有意義？答案：\(x\)為任意實(shí)數(shù)（因?yàn)閈((x-2)^2\geq0\)恒成立）?；脽羝?4：課堂練習(xí)3——性質(zhì)應(yīng)用題目：已知\(x\)、\(y\)為實(shí)數(shù)，且\(\sqrt{x-1}+(y+2)^2=0\)，求\(x+y\)的值。解答：因?yàn)閈(\sqrt{x-1}\geq0\)，\((y+2)^2\geq0\)，且它們的和為0，所以\(\sqrt{x-1}=0\)，\((y+2)^2=0\)。解得\(x=1\)，\(y=-2\)，則\(x+y=1+(-2)=-1\)。答案：\(-1\)幻燈片15：易錯(cuò)點(diǎn)分析常見(jiàn)錯(cuò)誤：忽略二次根式有意義的條件，認(rèn)為只要形式上是\(\sqrt{a}\)就是二次根式，如錯(cuò)誤地認(rèn)為\(\sqrt{-2}\)是二次根式。計(jì)算\((-\sqrt{a})^2\)時(shí)，錯(cuò)誤地得到\(-a\)，而實(shí)際上\((-\sqrt{a})^2=(\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)）。求二次根式中字母的取值范圍時(shí)，忽略分母不能為0的情況，如在\(\sqrt{\frac{1}{x}}\)中，只考慮\(x\geq0\)，而忽略\(x\neq0\)，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。規(guī)避方法：牢記二次根式的定義，判斷一個(gè)式子是否為二次根式時(shí)，務(wù)必檢查被開(kāi)方數(shù)是否為非負(fù)數(shù)。進(jìn)行平方運(yùn)算時(shí)，明確負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，\((-\sqrt{a})^2\)等于\((\sqrt{a})^2\)，結(jié)果為\(a\)（\(a\geq0\)）。當(dāng)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是分式時(shí)，不僅要保證被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，還要保證分母不為0，綜合考慮兩個(gè)條件確定字母的取值范圍?；脽羝?6：課堂小結(jié)二次根式的概念：形如\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子，被開(kāi)方數(shù)\(a\)必須是非負(fù)數(shù)。有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)\(a\geq0\)?；拘再|(zhì)：\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)）（非負(fù)性）。\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)）?；脽羝?7：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：教材課后練習(xí)題第1、2題（判斷二次根式、求字母取值范圍）。計(jì)算：\((\sqrt{7})^2\)、\((-\sqrt{2})^2\)、\((\sqrt{0.6})^2\)。提升作業(yè)：若二次根式\(\sqrt{2x-3}\)與\(\sqrt{5-x}\)都有意義，求\(x\)的取值范圍，并求出當(dāng)\(x=2\)時(shí)，兩個(gè)二次根式的值。已知\(a\)、\(b\)滿足\(\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+b=4\)，求\(ab\)的值。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意義解答具體題目.2.理解（a≥0）是非負(fù)數(shù)和.3.理解

（a≥0）并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式.2.（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（a≥0）及其運(yùn)用.3.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用“（a≥0）”解決具體問(wèn)題.1.要做一個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別為7cm和4cm的三角尺，斜邊的邊長(zhǎng)應(yīng)該是_____cm；2.面積為S

的正方體邊長(zhǎng)為_(kāi)____。新課導(dǎo)入問(wèn)題引進(jìn)了一個(gè)記號(hào)。表示什么？a

應(yīng)滿足什么條件？回顧當(dāng)a

是正數(shù)時(shí)，表示a

的算術(shù)平方根，即正數(shù)a

的正的平方根.當(dāng)a

是零時(shí)，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.當(dāng)a

是負(fù)數(shù)時(shí)，沒(méi)有意義.

a≥0，因?yàn)槿魏我粋€(gè)有理數(shù)的平方都大于或等于零.（a

≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即

概括性質(zhì)1：形如（a≥0）的式子叫做二次根式.51003練習(xí)二次根式必須具備以下特點(diǎn)：（1）有二次根號(hào)；（2）被開(kāi)方數(shù)不能小于0。注意指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是,為什么?√×××

x

是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式有意義？例分析要使二次根式有意義，被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).解被開(kāi)方數(shù)x–1≥0，即x

≥1.所以，當(dāng)x

≥1時(shí)，二次根式

有意義.練習(xí)x

是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列二次根式有意義？（1）（2）（3）（4）被開(kāi)方數(shù)x+3≥0，即x

≥-3.x>

0x