暑假預(yù)習(xí)課人教版20252026學(xué)年度第一學(xué)期九上數(shù)學(xué)第24章《圓》第9課時(shí)切線長(zhǎng)定理學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________用時(shí)：___________1.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.圖1－24－46－1幾何語(yǔ)言：∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.1.如圖1－24－46－2，PA，PB與⊙O相切，切點(diǎn)為A，B.圖1－24－46－2(1)若∠APB＝60°，OA＝1，則∠APO＝30°，PA＝eq\r(3)；(2)若∠AOB＝120°，則△PAB是等邊三角形.2.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等.2.如圖1－24－46－3，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，則∠BOC＝125°.圖1－24－46－3知識(shí)點(diǎn)1：切線長(zhǎng)定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用【例1】如圖，PA，PB，EF分別切⊙O于點(diǎn)A，B，C，PA＝10cm，則△PEF的周長(zhǎng)為(C)B.15cmC.20cmD.25cm知識(shí)點(diǎn)2：切線長(zhǎng)定理的綜合運(yùn)用【例2】(人教九上P100例2改編)如圖，⊙O分別切△ABC的三條邊AB，BC，CA于點(diǎn)D，E，F(xiàn).若AB＝6，AC＝5，BC＝7，求AD，BE和CF的長(zhǎng).則AF＝AD＝x，BE＝BD＝AB－AD＝6－x，CE＝CF＝AC－AF＝5－x.∵BE＋CE＝BC，∴(6－x)＋(5－x)＝7.解得x＝2.∴AD＝2，BE＝4，CF＝3.知識(shí)點(diǎn)3：三角形的內(nèi)心【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)求作：Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O(保留作圖痕跡，無(wú)需寫出作圖過程)；(2)∠BOA＝135°；(3)若AC＝3，BC＝4，則Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O的半徑為1；(4)若角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則其內(nèi)切圓半徑為eq\f(ab,a＋b＋c)或eq\f(a＋b－c,2).解：(1)如答圖，⊙O即為所作.一、選擇題：在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙O于A，B兩點(diǎn)，若PA=3，則PB的長(zhǎng)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B

2.如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∠P=70°，C為AB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，則∠ACB的度數(shù)為A.110° B.120° C.125°【答案】C

3.如圖，等腰△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB=AC=5，BC=6，則DE的長(zhǎng)是(

)A.31010 B.3105【答案】D

【解析】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理．連接OA、OE、OD、OB，OB交DE于H，利用切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得到OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE=BD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷點(diǎn)A、O、E共線，BE=CE=3，利用勾股定理計(jì)算出AE=4，則AD=2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OE=r，AO=4?r，利用勾股定理得到r2+22=(4?r)2，解得r=32，于是可計(jì)算出OB=【解答】解：連接OA、OE、OD、OB，OB交DE于H，如圖，∵等腰△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AO平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE=BD，∵AB=AC，∴AO⊥BC，∴點(diǎn)A、O、E共線，即AE⊥BC，∴BE=CE=3，在Rt△ABE中，AE=∵BD=BE=3，∴AD=2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OE=r，AO=4?r，在Rt△AOD中，r2+2在Rt△BOE中，OB=∵BE=BD，OE=OD，∴OB垂直平分DE，∴DH=EH，OB⊥DE，∵1∴HE=OE?BE∴DE=2EH=6故選：D．4.如圖，點(diǎn)P在⊙O外，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，∠P=50°，則∠C等于

(

)A.50° B.75° C.65° D.100°【答案】C

5.如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，AC分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn).若⊙O的半徑為2，AB=6，AC=8，BC=12，則△ABC的面積為(

)．A.123 B.24 C.26 【答案】C

【解析】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓且半徑為2，AB=6，AC=8，BC=12∴SS△ABC則△ABC的面積為26，故選：C．根據(jù)三角形面積=三角形邊長(zhǎng)之和乘以內(nèi)切圓半徑之積的一半．計(jì)算即可．本題考查了三角形內(nèi)切圓與三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊與內(nèi)切圓的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．6.如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB=110°，則∠P的度數(shù)為(

)A.30° B.40° C.55° D.60°【答案】B

7.如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠B=65°，∠C=75°，則∠EDF的度數(shù)是(

)A.65°B.140°C.55°D.70°【答案】D

【解析】解：連接IE、IF，如圖，∵內(nèi)切圓I和邊AC、AB分別相切于點(diǎn)E、F，∴IE⊥AC，IF⊥AB，∴∠AEI=∠AFI=90°，∴∠A=180°?∠EIF，∵∠EDF=1∴∠EDF=90°?1∵∠B=65°，∠C=75°，∴∠A=180°?∠B?∠C=180°?65°?75°=40°，∴∠EDF=90°?1故選：D．連接IE、IF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠AEI=∠AFI=90°，利用四邊形的內(nèi)角和得到∠A=180°?∠EIF，再利用圓周角定理得到∠EDF=90°?12∠A，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠A本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角，也考查了切線的性質(zhì)．8.如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，BC，若∠P=70°，則∠ACB的度數(shù)為A.50° B.55° C.60°【答案】B

【解析】解：連接OA、OB，則∠ACB=1又由PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，得到∠PAO=∠PBO=90所以∠AOB=180°?∠P=從而得到∠ACB=1因此本題選B．二、填空題：9.如圖，PA，PB與⊙O相切于點(diǎn)A，B，PA=10，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D兩點(diǎn)，則△PCD的周長(zhǎng)是

．【答案】20

10.如圖，直尺、三角尺都和⊙O相切，切點(diǎn)分別為B，E.若AB=8?cm，則⊙O的半徑為

cm．【答案】811.如圖，在△ABC中，∠A=60°，BC=8，O為BC的中點(diǎn)，⊙O分別與AB，AC相切于D，E兩點(diǎn)，則⊙O的半徑長(zhǎng)為

．【答案】2【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．連接OE，OD，由HL證明Rt△OCE≌Rt△OBD得出∠B=∠C，再結(jié)合∠A=60°證明△ABC是等邊三角形，得出∠B=∠C=60°，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，連接OE，OD，∵⊙O分別與AB，AC相切于D，E兩點(diǎn)，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O為BC的中點(diǎn)，BC=8，∴OB=OC=4，在Rt△OBD與Rt△OCE中，OD=OEOB=OC∴Rt△OBD≌Rt△OCE(HL)，∴∠B=∠C，又∵∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，在Rt△ODB中，∠B=60°，OB=4，∴OD=2即⊙O的半徑長(zhǎng)為2故答案為：212.如圖，A是⊙O外一點(diǎn)，AB，AC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，點(diǎn)D在BDC?上.已知∠A=50°，則∠D的度數(shù)是【答案】65°

13.如圖，已知△ABC的內(nèi)切圓⊙O與邊BC相切于點(diǎn)D，連接OB，OD.若∠ABC=40°，則∠BOD的度數(shù)為

°.【答案】70

14.如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B，∠P=70°，C為⊙O上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為

．【答案】125°

15.如圖，AB，AC與⊙O相切于點(diǎn)B，C.若∠A=50°，P是圓上不與點(diǎn)B，C重合的動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)為

．【答案】65°或115°

【解析】解：分別連接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C(1)當(dāng)∠BPC為銳角，也就是∠BP∵AB，AC與⊙O相切于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)∴OC⊥AC，OB⊥AB，∵∠A=50°，∴在△ABC中，∠COB=130°，∵在⊙O中，∠BP∴∠BP(2)如果當(dāng)∠BPC為鈍角，也就是∠BP∵四邊形BP1C∵∠BP∴∠B故答案為：65°或115°．此題分為兩種情況，如圖p點(diǎn)的位置有兩個(gè)，所以∠BPC可能是銳角，也有可能是鈍角，分別連接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C(1)當(dāng)∠BPC為銳角，也就是∠BP1C時(shí)，根據(jù)AB，AC與⊙O相切，結(jié)合已知條件，在△ABC中，即可得出圓心角∠COB(2)如果當(dāng)∠BPC為鈍角，也就是∠BP2C時(shí)，根據(jù)⊙O本題考查圓的切線性質(zhì)，在解題過程中還要注意對(duì)圓的內(nèi)接四邊形、圓周角、圓心角的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用16.如圖，⊙O的半徑為2，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∠C=60°，則PA的長(zhǎng)為

．【答案】2三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與三邊分別相切于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，AB=7，BC=12，CA=11，求AF，BD，CE的長(zhǎng)．【答案】設(shè)AF=x.∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與三邊分別相切于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，AB=7，BC=12，CA=11，∴AE=AF=x，BF=BD=AB?AF=7?x，CE=CD=AC?AE=11?x.∵BD+CD=BC，∴7?x+11?x=12，解得x=3.∴AF=3，BD=7?x=4，CE=11?x=8

18.(教材P102習(xí)題11變式1)如圖，AB，BC，CD分別與O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，，且AB/?/CD，BO=6，CO=8，求O的半徑．【答案】解：如圖，∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，AB/?/CD由BE=BF，OE=OF，OB=OB，可得△OEB≌△OFB，∴∠1=∠2，同理∠3=∠4，OF⊥BC，∴∠2+∠3=90°，又∵BO=6，CO=8，∴BC=10，由面積公式得：1∴OF=則⊙O的半徑為245．19.如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF，BD，CE的長(zhǎng)．【答案】AF的長(zhǎng)為8cm，BD的長(zhǎng)為10cm，CE的長(zhǎng)為18cm

20.如圖24.2?17，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的長(zhǎng)．【答案】解：設(shè)AF=x，則AE=x，CD=CE=AC?AE=13?x，BD=BF=AB?AF=9?x．由BD+CD=BC，可得(13?x)+(9?x)=14．解得x=4．因此AF=4，BD=5，CE=9．

21.如圖，⊙O與四邊形ABCD的各邊分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．(1)若AB=AD=3，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，求(2)若AB，CD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2?3x+m2=0(m≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且四邊形ABCD【答案】(1)解：連接AC，則易證Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴CB=CD=33設(shè)⊙O的半徑為r，則12∴r=3?（另解：連接OE，OF，則四邊形OEBF是正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝BE＝r，AE=∵∠OAE=1∴AE=∴3∴r=3?

(2)接：∵AB，CD的長(zhǎng)是原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴AB＋CD＝3，由切線長(zhǎng)定理易證：BC＋AD＝AB＋CD＝3，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為6，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2

22.如圖，⊙O的直徑AB=12cm，AM和BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)．(Ⅰ)若∠ADC=122°，求∠BCD的度數(shù)；(Ⅱ)設(shè)AD=x，BC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【答案】解：(I)∵AD與BC都是⊙O的切線，∴∠OAD=∠OBC=90°，∴∠OAD+∠OBC=180°，∴AD//BC，∴∠BCD+∠ADC=180°，∴∠BCD=58°；(II)過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，可知AB=DF=12，∵AM和BN是⊙O的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，∴AD=DE=x，BC=CE=y，∴CD=DE+CE=x+y，∴CF=BC?BF=y?x，在Rt△DFC中，∴由勾股定理可知：DF即122∴化簡(jiǎn)可得：y=36x【解析】本題考查圓的綜合問題，涉及切線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，屬于中等題型．(I)由于AD與BC都是⊙O的切線，易證AD//BC，所以∠ADC+∠BCD=180°，從而可求出∠BCD的度數(shù)；(II)過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，可知AB=DF=12，由切線長(zhǎng)定理以及勾股定理即可求出x與y之間的關(guān)系式．23.如圖，在四邊形ABCD中，AD?//?BC，∠A=90°，⊙O與邊AB，BC，CD，DA分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．(1)求證：AE=BE．(2)若AB=4，AD=5，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)證明：連接OE，OF，OH，證得正方形OEAH和正方形OEBF，∴AE＝BE.

(2)解：作CM⊥AD于點(diǎn)M，可證H，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴四邊形CMHF為矩形．DH＝AD－AH＝5－2＝3＝DG，AB＝CM＝4，設(shè)HM＝CF＝CG＝x，則DM＝3－x，在△DCM中，（3－x）2＋42＝（3＋x）2，∴x=4∴CD=3+4

24.已知∠MPN的兩邊分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，⊙O的半徑為r．(1)如圖①，點(diǎn)C在點(diǎn)A，B之間的優(yōu)弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度數(shù)；(2)如圖②，點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PC最大時(shí)，要使四邊形APBC為菱形，∠APB的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說明理由．【答案】解：(1)如圖1，連接OA，OB，∵PA，PB為⊙O的切線，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠APB+∠AOB=180°，∵∠APB=80°，∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°；(2)如圖2，當(dāng)∠APB=60°時(shí)，四邊形APBC是菱形，連接OA，OB，由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=60°=∠APB，∵點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，∴PC經(jīng)過圓心，∵PA，PB為⊙O的切線，∴PA=PB，∠APC=∠BPC=30°，又∵PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)，∴∠ACP=∠BCP=30°，AC=BC，∴∠APC=∠ACP=30°，∴AP=AC，∴AP=AC=PB=BC，∴四邊形APBC是菱形．

【解析】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．(1)連接OA，OB，由切線的性質(zhì)可求∠PAO=∠PBO=90°，由四邊形內(nèi)角和可求解；(2)當(dāng)∠APB=60°時(shí)，四邊形APBC是菱形，連接OA，OB，由切線長(zhǎng)定理可得PA=PB，∠APC=∠BPC=30°，由“SAS”可證△APC≌△BPC，可得∠ACP=∠BCP=30°，AC=BC，可證AP=AC=PB=BC，可得四邊形APBC是菱形．25.【教材母題】如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，且AB?//?CD．(1)求證：OB⊥OC；(2)若BO=6，CO=8，求⊙O的半徑．【答案】(1)證明：連接OE，OF，OG．則OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，∴BO平分∠ABC，CO平分∠BCD．∵AB//CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴OB⊥OC；

(2)解：

BC=∵OB·OC＝BC·OF，∴OF=6×8∴⊙O的半徑為4.8．

26.如圖，在△ABC中，∠ACB是直角，內(nèi)切圓⊙I與AC，BC分別相切于點(diǎn)E，D．(1)試判斷四邊形CDIE的形狀，并說明理由；(2)若此直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為9和40，求線段CI的長(zhǎng)．【答案】(1)四邊形CDIE是正方形

理由：∵⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，∴IE⊥AC，ID⊥BC．又∵∠ACB是直角，∴∠ACB＝∠IEC＝∠IDC＝90°．∴四邊形CDIE是矩形．又∵IE＝ID，∴四邊形CDIE是正方形．

(2)連接AI，BI．由題意，得AB=402+92=41．∵S?ABC=12AC?BC=S?ACI+S?BCI+S?ABI，易得點(diǎn)I到△ABC三邊的距離相等，∴1227.如圖，⊙O是△GDP的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A，B，H，EF與⊙O相切于點(diǎn)C，分別交PA，PB于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)若△PEF的周長(zhǎng)為12，求線段PA的長(zhǎng)；(2)若∠G=90°，GD=3，GP=4，求⊙O的半徑．【答案】(1)∵⊙O是△GDP的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A，B，H，∴PA＝PB．∵EF與⊙O相切于點(diǎn)C，∴EA＝EC，F(xiàn)B＝FC．∵△PEF的周長(zhǎng)為12，∴PE＋EC＋PF＋FC＝12．∴PE＋EA＋PF＋FB＝12，即PA＋PB＝12．∴PA＝6

(2)如圖，連接OB、OH．設(shè)⊙O的半徑為r．∵∠G＝90°，GD＝3，GP＝4，∴DP=GD2+GP2=32+42=5．∴PA＋DA＝5．∵⊙O是△GDP的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A，B，H，∴OH⊥DG，OB⊥PG，PA＝PB，DA＝DH．∴∠OBG＝∠OHG＝∠G＝90°．∴四邊形OBGH是矩形．