2．2.1頻率分布表2．2.2頻率分布直方圖與折線圖[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的方法.2.會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖.3.能夠利用圖形解決實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)一頻率分布表與頻率分布直方圖1．頻率分布表當(dāng)總體很大或不便于獲得時(shí)，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，我們把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表．2．頻率分布直方圖把橫軸分成若干段，每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組的組距，然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組的eq\f(頻率,組距)，這樣得出一系列的矩形，每個(gè)矩形的面積恰好是該組的頻率．這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖．[思考]為什么要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組？答不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息，分組后，計(jì)算出頻率，從而估計(jì)總體的分布特征．知識(shí)點(diǎn)二頻率分布折線圖與總體密度曲線1．頻率分布折線圖如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái)，就得到頻率分布折線圖，簡(jiǎn)稱頻率折線圖．如圖所示．2．總體分布的密度曲線如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，那么相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線．如圖所示．題型一頻率分布直方圖的繪制例1為了了解一大片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，人們隨機(jī)測(cè)量其中的100株樹木的底部周長(zhǎng)(單位：cm)，得到如下數(shù)據(jù)： 99 121 110125 97 117 113 110 92 102 109 104 112105 124 87 104 104 128109 123 111 103 105 92 114 108 104 102129 126 97 100 115 111 106 117111 89 110 121 80 120 121 104 108 118129 99 90 99 121 123 10799 101 116 97 102 108 101102 108 117 99 118 106 119123 119 98 121 101 113 102 103(1)列出頻率分布表；(2)繪制頻率分布直方圖、頻率分布折線圖．解(1)從數(shù)據(jù)中可以看出，這組數(shù)據(jù)的最大值為135，最小值為80，故極差為55，可將其分為11組，組距為5.列頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[80,85)10.01[85,90)20.02[90,95)40.04[95,100)140.14[100,105)240.24[105,110)150.15[110,115)120.12[115,120)90.09[120,125)110.11[125,130)60.06[130,135]20.02合計(jì)1001.00(2)畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖如圖所示．反思與感悟1.在列頻率分布表時(shí)，極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系：(1)若eq\f(極差,組距)為整數(shù)，則eq\f(極差,組距)＝組數(shù)．(2)若eq\f(極差,組距)不為整數(shù)，則eq\f(極差,組距)的整數(shù)部分＋1＝組數(shù)．2．組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)據(jù)分組時(shí)，組數(shù)力求合適，使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來(lái)，組數(shù)太多或太少都會(huì)影響了解數(shù)據(jù)的分布情況，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多．跟蹤訓(xùn)練1美國(guó)歷屆總統(tǒng)中，就任時(shí)年紀(jì)最小的是羅斯福，他于1901年就任，當(dāng)時(shí)年僅42歲；就任時(shí)年紀(jì)最大的是里根，他于1981年就任，當(dāng)時(shí)69歲．下面按時(shí)間順序(從1789年的華盛頓到2009年的奧巴馬，共44任)給出了歷屆美國(guó)總統(tǒng)就任時(shí)的年齡：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48(1)將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；(2)用自己的語(yǔ)言描述一下歷屆美國(guó)總統(tǒng)就任時(shí)年齡的分布情況．解(1)以4為組距，列表如下：分組頻數(shù)頻率[41.5,45.5)20.0455[45.5,49.5)70.1591[49.5,53.5)80.1818[53.5,57.5)160.3636[57.5,61.5)50.1136[61.5,65.5)40.0909[65.5,69.5]20.0455合計(jì)441.00(2)從頻率分布表中可以看出60%左右的美國(guó)總統(tǒng)就任時(shí)的年齡在50歲至60歲之間，45歲以下以及65歲以上就任的總統(tǒng)所占的比例相對(duì)較?。}型二頻率分布直方圖的應(yīng)用例2為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約是多少？解(1)頻率分布直方圖是以面積的形式來(lái)反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，因此第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.因?yàn)榈诙〗M的頻率＝eq\f(第二小組的頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(第二小組的頻數(shù),第二小組的頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由直方圖可估計(jì)該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.反思與感悟1.頻率分布直方圖的性質(zhì)：(1)因?yàn)樾【匦蔚拿娣e＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小．(2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.(3)eq\f(頻數(shù),相應(yīng)的頻率)＝樣本容量．2．頻率分布直方圖反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率，可近似地估計(jì)總體在這一范圍內(nèi)的可能性．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示是總體的一個(gè)樣本頻率分布直方圖，且在[15,18)內(nèi)頻數(shù)為8.(1)求樣本在[15,18)內(nèi)的頻率；(2)求樣本容量；(3)若在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，求在[18,33)內(nèi)的頻數(shù)．解由樣本頻率分布直方圖可知組距為3.(1)由樣本頻率分布直方圖得樣本在[15,18)內(nèi)的頻率等于eq\f(4,75)×3＝eq\f(4,25).(2)∵樣本在[15,18)內(nèi)頻數(shù)為8，由(1)可知，樣本容量為eq\f(8,\f(4,25))＝8×eq\f(25,4)＝50.(3)∵在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，故樣本在[12,15)內(nèi)的頻率為0.06，故樣本在[15,33)內(nèi)的頻數(shù)為50×(1－0.06)＝47，又在[15,18)內(nèi)頻數(shù)為8，故在[18,33)內(nèi)的頻數(shù)為47－8＝39.頻率分布直方圖的應(yīng)用例3為了解某地居民的月收入情況，一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了20000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示(最后一組包含兩端值，其他組包含最小值，不包含最大值)．現(xiàn)按月收入分層，用分層抽樣的方法在這20000人中抽出200人進(jìn)一步調(diào)查，則月收入在[1500,2000)(單位：元)的應(yīng)抽取________人．分析首先求出頻率，再利用頻數(shù)＝樣本容量×頻率求解．解析月收入在[1500,2000)的頻率為1－(0.0002＋0.0005×2＋0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故應(yīng)抽取200×0.2＝40(人)．答案40解后反思在頻率分布直方圖中，矩形的面積＝eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率，各矩形表示的頻率之和為1.解題時(shí)常用到頻數(shù)＝樣本容量×頻率．1．下列關(guān)于樣本頻率分布折線圖與總體密度曲線的關(guān)系的說(shuō)法中，正確的是________．①頻率分布折線圖與總體密度曲線無(wú)關(guān)；②頻率分布折線圖就是總體密度曲線；③樣本容量很大的頻率分布折線圖就是總體密度曲線；④如果樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限減小，那么頻率分布折線圖就會(huì)無(wú)限接近于總體密度曲線．答案④解析所給項(xiàng)正誤理由①×當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，隨著樣本容量的增加，組數(shù)增加，組距減小，頻率分布折線圖趨向于總體密度曲線，所以兩者有關(guān)②×只有當(dāng)樣本容量很大時(shí)，頻率分布折線圖趨向于總體密度曲線③×總體密度曲線是由頻率分布折線圖估計(jì)的，樣本容量越大就越準(zhǔn)確④√頻率分布折線圖在樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限減小的情況下會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線，這條光滑曲線就是總體密度曲線2.一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40,0.125，則n的值為________．答案320解析依題意得eq\f(40,n)＝0.125，∴n＝eq\f(40,0.125)＝320.3．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為________．答案12解析志愿者的總?cè)藬?shù)為eq\f(20,0.24＋0.16×1)＝50，所以第三組人數(shù)為50×0.36×1＝18，所以有療效的人數(shù)為18－6＝12.4．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)