第1節(jié)數(shù)列的概念與表示高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的概念01.知識(shí)點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式02.知識(shí)點(diǎn)三由數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式03.課時(shí)跟蹤檢測(cè)05.知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列的函數(shù)特征04.PART01知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的概念1.

數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照

?排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的

?數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與

?之間的關(guān)系式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中，Sn＝

?確定的順序

每一個(gè)數(shù)

序號(hào)n

a1＋a2＋…＋an

提醒

數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置

序號(hào).2.

數(shù)列的分類及性質(zhì)3.

數(shù)列的表示方法列表法列出表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)

?畫在平面直角坐標(biāo)系中公式

法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)用

?表示遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)

式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式（n，an）

公式

A.

B.

C.

D.2

B（2）（蘇教選一P139習(xí)題9題改編）如圖，在n×n的單位正方形網(wǎng)格

中，陰影相連的正方形個(gè)數(shù)依次為1，5，9，13，則下一陰影相連的正方

形個(gè)數(shù)為

，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝

?.17

4n－3

解析：從陰影相連的正方形個(gè)數(shù)依次為1，5，9，13看出，從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)多4，故下一陰影相連的正方形個(gè)數(shù)為13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根據(jù)上述規(guī)律an＝a1＋（n－1）×4＝1＋（n－1）×4＝4n－3.所以通項(xiàng)公式an＝4n－3.規(guī)律方法由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式應(yīng)注意的4個(gè)特征（1）分式中分子、分母的特征；（2）相鄰項(xiàng)的變化特征；（3）拆項(xiàng)后的特征：把數(shù)列的項(xiàng)拆分成變化的部分和不變的部分；（4）各項(xiàng)的符號(hào)特征.練1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）－1，7，－13，19，…；解：偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式必含有因式（－1）n；觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝（－1）n（6n－5）.

（4）9，99，999，9

999，….解：這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以寫成10－1，100－1，1

000－1，10

000－1，故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1.PART02知識(shí)點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式

（2）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn＝2n－3，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an

＝

?.

規(guī)律方法Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求

解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.

A.

3nB.3n－1C.

3n－1D.3n－1－1

A

PART03知識(shí)點(diǎn)三由數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

（1）若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋2n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公

式為an＝

?；

2n－1

（2）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，（2n－1）an＋1＝（2n＋1）an.則{an}的

通項(xiàng)公式an＝

.

2n－1

規(guī)律方法1.

形如an＋1－an＝f（n）的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an＝（an－

an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1（n≥2），即可求數(shù)列

{an}的通項(xiàng)公式.

A.2B.3C.1＋lg

99D.2＋lg

99

B（2）已知數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2nan，則an＝

?.

PART04知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列的函數(shù)特征數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實(shí)數(shù)集R

的函數(shù)，其自變量是

，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是

?，

記為an＝f（n）.序號(hào)n

數(shù)列的第n項(xiàng)an

角度1

數(shù)列的周期性

無(wú)窮數(shù)列{an}滿足：只要ap＝aq（p，q∈N*），必有ap＋1＝aq＋1，

則稱{an}為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”.若{an}為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，Sn為其前n項(xiàng)

和，且a1＝1，a2＝2，a4＝1，a6＋a8＝6，則a7＝

；S2

026＝

?

?.解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，且a1＝a4＝1，a2＝2，所以a5

＝a2＝2，同理有a3＝a6，a7＝a4＝1，a8＝a5＝2，又a6＋a8＝6，所以a3

＝a6＝4，則數(shù)列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，a7

＝1，a8＝2，…，故數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列，所以S2

026＝S675×3＋1＝

（1＋2＋4）×675＋1＝4

726.1

4726

規(guī)律方法解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法

根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，

進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和.角度2

數(shù)列的單調(diào)性

（1）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－3λn，則“λ＜1”是

“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的（

C

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件C解析：若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則an＋1－an＝[（n＋1）2－3λ（n＋1）]－（n2－3λn）＝（n2＋2n＋1－3λn－3λ）－（n2－3λn）＝2n＋1－3λ＞0，即3λ＜2n＋1，由于n∈N*，所以3λ＜2×1＋1＝3，解得λ＜1，反之，當(dāng)λ＜1時(shí)，an＋1－an＞0，則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以“λ＜1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充要條件.

A.

（1，7）B.（2，7）C.

（2，6）D.（6，7）C

規(guī)律方法解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的方法（1）作差比較法：根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減

數(shù)列還是常數(shù)列；

（3）函數(shù)法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖象直觀判斷.角度3

數(shù)列的最大（小）項(xiàng)問(wèn)題

4

規(guī)律方法求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法（1）函數(shù)法：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值；

練4

（1）（2025·安康模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝a2＝

1，a3＝a4＝2，an＋an＋4＝0，則（

B

）A.

S23＞S21＞S22B.

S21＞S22＞S23C.

S21＞S23＞S22D.

S23＞S22＞S21解析：因?yàn)閍n＋an＋4＝0，所以an＋4＝－an，所以an＋8＝－an＋4＝an，所以{an}是以8為周期的周期數(shù)列，又a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，所以a6＝－a2＝－1，a7＝－a3＝－2，所以S22－S21＝a22＝a6＝－1＜0，S23－S22＝a23＝a7＝－2＜0，所以S22＜S21，S23＜S22，故S21＞S22＞S23.B

PART05課時(shí)跟蹤檢測(cè)

A.

B.

C.

D.

12345678910111213141516√

123456789101112131415162.

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝10，那么a10

＝（

）A.1B.9C.10D.55解析：令m＝1，則Sn＋S1＝Sn＋1，則Sn＋1－Sn＝S1＝a1＝10，所以an＋1＝10，所以數(shù)列{an}是常數(shù)列，則a10＝10.故選C.

√123456789101112131415163.

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋3n，則a6＝（

）A.30B.31C.45D.46解析：

由已知an＋1－an＝3n，∴a2－a1＝3，a3－a2＝6，…，a6－a5

＝15，上述等式左右分別相加可得a6－a1＝3＋6＋9＋12＋15＝45，∴a6＝

1＋45＝46.故選D.

√12345678910111213141516

A.

（3，＋∞）B.（2，＋∞）C.

（1，＋∞）D.（0，＋∞）

√123456789101112131415165.

（2024·邯鄲二模）對(duì)于函數(shù)y＝f（x），部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如

表，x123456789y375961824數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，且對(duì)于任意n∈N*，點(diǎn)（xn，xn＋1）都在函數(shù)y＝f

（x）的圖象上，則x1＋x2＋…＋x2

024＝（

）A.7

569B.7

576C.7

584D.7

590√12345678910111213141516解析：由題意，數(shù)列{xn}滿足x1＝1，且點(diǎn)（xn，xn＋1）都在函數(shù)y＝f（x）的圖象上，可得x2＝f（x1）＝f（1）＝3，x3＝f（x2）＝f（3）＝

5，x4＝f（x3）＝f（5）＝6，x5＝f（x4）＝f（6）＝1，…，則數(shù)列{xn}

是周期為4的周期數(shù)列，即數(shù)列{xn}滿足x4k－3＝1，x4k－2＝3，x4k－1＝5，

x4k＝6，k∈N*，則x1＋x2＋…＋x2

024＝506×（1＋3＋5＋6）＝7

590.故

選D.

12345678910111213141516

A.

b1＜b5B.

b3＜b8C.

b6＜b2D.

b4＜b7√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.1B.2C.3D.4√

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

若數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為2，0，2，0，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是

（

）A.

an＝1＋（－1）n＋1B.

an＝1－cos

nπC.

an＝2sin2

D.

an＝1＋（－1）n－1＋（n－1）（n－2）√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

數(shù)列{an}有最小項(xiàng)，且有最大項(xiàng)B.

使an∈Z的項(xiàng)共有5項(xiàng)C.

滿足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5個(gè)D.

使Sn取得最小值的n為4√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1個(gè)負(fù)數(shù)或3個(gè)負(fù)

數(shù)，所以n＝1或n＝2或n＝4，故滿足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3個(gè)，故

C錯(cuò)誤；因?yàn)閚≤4時(shí)an＜0，n≥5時(shí)an＞0，所以當(dāng)n為4時(shí)Sn取得最小值，

故D正確.故選A、B、D.

12345678910111213141516三、填空題10.

如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù).如圖中的

數(shù)1，5，12，22，…稱為五邊形數(shù)，則第8個(gè)五邊形數(shù)是

?.解析：∵5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，∴相鄰兩個(gè)圖形的小石子數(shù)

的差值依次增加3，∴第5個(gè)五邊形數(shù)是22＋13＝35，第6個(gè)五邊形數(shù)是35

＋16＝51，第7個(gè)五邊形數(shù)是51＋19＝70，第8個(gè)五邊形數(shù)是70＋22＝92.92

1234567891011121314151611.

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，（n－1）an＝n·2nan－1（n∈N*，

n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

?.

1234567891011121314151612.

（2025·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)月考）我們把由0和1組成的數(shù)列稱為0－1數(shù)

列，0－1數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，把斐波那契

數(shù)列{Fn}（F1＝F2＝1，F(xiàn)n＋2＝Fn＋Fn＋1）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可

得到0－1數(shù)列{an}，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S100＝

?.解析：因?yàn)镕1＝F2＝1，F(xiàn)n＋2＝Fn＋Fn＋1，所以F3＝2，F(xiàn)4＝3，F(xiàn)5＝5，

F6＝8，F(xiàn)7＝13，F(xiàn)8＝21，F(xiàn)9＝34，…，所以數(shù)列{an}的前若干項(xiàng)為a1＝

a2＝0，a3＝1，a4＝0，a5＝0，a6＝1，a7＝0，a8＝0，a9＝1，…，則a1

＋a2＋a3＝a4＋a5＋a6＝a7＋a8＋a9＝…＝1，所以S100＝33×1＋0＝33.33

12345