第3節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件；（2）會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法；（4）會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的極值01.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最值02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的極值條件f'（x0）＝0x0附近的左側(cè)f'（x）

0，右

側(cè)f'（x）

?0x0附近的左側(cè)f'

（x）

0，右側(cè)f'

（x）

?0圖象

形如山峰

形如山谷＞

＜

＜

＞

f'（x0）＝0極值f（x0）為極

?值f（x0）為極

?值極值點(diǎn)x0為極

?值點(diǎn)x0為極

?值點(diǎn)大

小

大

小

提醒

f'（x0）＝0是x0為可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的必要不充分條件.如：f

（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是極值點(diǎn).

（1）〔多選〕（人A選二P92練習(xí)1題改編）如圖是y＝f（x）的導(dǎo)

函數(shù)f'（x）的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的是（

AC

）A.

當(dāng)x＝－1時(shí)，f（x）取得極小值B.

f（x）在[－2，1]上單調(diào)遞增C.

當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得極大值D.

f（x）在[－1，2]上不具備單調(diào)性AC解析：由導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象知，當(dāng)x＝－1時(shí)，f（x）取得極小值，故選項(xiàng)A正確；f（x）在[－2，1]上有減有增，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得極大值，故選項(xiàng)C正確；f（x）在[－1，2]上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

x（0，e）e（e，＋∞）f'（x）＋0－f（x）↗極大值↘

規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）極值的步驟（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f'（x）；（3）解方程f'（x）＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；（4）列表檢驗(yàn)f'（x）在f'（x）＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)；（5）求出極值.

A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)

A（2）（2025·岳陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè)）函數(shù)f（x）＝6＋12x－x3的極小值為

?

?.解析：函數(shù)f（x）＝6＋12x－x3的定義域?yàn)镽，且f'（x）＝12－3x2＝3（2－x）（2＋x），所以當(dāng)－2＜x＜2時(shí)f'（x）＞0，當(dāng)x＜－2或x＞2時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）在（－2，2）上單調(diào)遞增，在（－∞，－2），（2，＋∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x＝－2處取得極小值，極小值為－10.－10

PART02知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最值1.

如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條

?的曲

線，那么它必有最大值和最小值.2.

若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，則f（a）為函數(shù)的

?，

f（b）為函數(shù)的

；若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，則f

（a）為函數(shù)的

，f（b）為函數(shù)的

?.連續(xù)不斷

最小值

最大值

最大值

最小值

結(jié)論

（1）若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)，則f（x）一定在區(qū)間端點(diǎn)處

取得最值；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定

是函數(shù)相應(yīng)的最值點(diǎn).

A.

，－2πB.

，－

C.2π，－

D.2π，－2πA

（2）已知函數(shù)f（x）＝2ln

x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），

則x2－2x1的最大值為

?.

－4

規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)求給定區(qū)間上函數(shù)最值的步驟（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）；（2）利用f'（x）＝0求f（x）在給定區(qū)間上所有極值點(diǎn)的函數(shù)值；（3）求f（x）在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；（4）將f（x）的各極值與f（x）的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f（x）的最大

值與最小值.

π

0

e＋2

已知函數(shù)f（x）＝（x－2）（ex－ax），當(dāng)a＞0時(shí)，討論f（x）的

極值情況.解：∵f'（x）＝（ex－ax）＋（x－2）（ex－a）＝（x－1）（ex－

2a），由f'（x）＝0得x＝1或x＝ln

2a（a＞0）.

提能點(diǎn)1函數(shù)極值的綜合問題

x（－∞，ln

2a）ln

2a（ln

2a，1）1（1，＋∞）f'（x）＋0－0＋f（x）↗極大值↘極小值↗故f（x）有極大值f（ln

2a）＝－a（ln

2a－2）2，極小值f（1）＝a－e.

x（－∞，1）1（1，ln

2a）ln

2a（ln

2a，＋∞）f'（x）＋0－0＋f（x）↗極大值↘極小值↗

規(guī)律方法已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的2個(gè)要領(lǐng)（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定

系數(shù)法求解；（2）驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用

待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.提醒

若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么y＝f（x）在

（a，b）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).

A.

（

，e）B.（－e，－

）C.

（－∞，

）D.（－∞，－e）B

（1，＋∞）

提能點(diǎn)2函數(shù)最值的綜合問題

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

①若a≤0，則f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋

∞）上單調(diào)遞減；②若a＞0，則當(dāng)x＞a時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f'（x）＞0，所以

f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，＋∞）上單調(diào)遞減.

規(guī)律方法

求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)參

數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值.

A.

－1B.－

C.

D.1

B（2）已知函數(shù)f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln

x，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)

間[1，e]上的最小值為－2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

?.

[1，＋∞）

PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.

函數(shù)f（x）＝ln

x－x在區(qū)間（0，e]上的最大值為（

）A.1－eB.－1C.

－eD.0

√123456789101112131415162.

（2025·伊春開學(xué)考試）函數(shù)f（x）＝（4x－5）e2x的極值點(diǎn)為（

）A.

B.

C.

D.

√123456789101112131415163.

已知函數(shù)f（x）＝2ln

x＋ax2－3x在x＝2處取得極小值，則f（x）的

極大值為（

）A.2B.－

C.3＋ln

2D.－2＋2ln

2

√12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

√

123456789101112131415165.

（2025·南通一模）若函數(shù)f（x）＝eax＋2x有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為（

）A.

a＞－2B.

a＞－

C.

a＜－2D.

a＜－

√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

（2025·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函

數(shù)y＝f（x）及其導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅

有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，1），則（

）A.

函數(shù)y＝f（x）·ex的最大值為1B.

函數(shù)y＝f（x）·ex的最小值為1C.

函數(shù)y＝

的最大值為1D.

函數(shù)y＝

的最小值為1√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

（0，＋∞）B.（0，1）C.

（－∞，0）D.（－1，0）√

12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

（2024·新高考Ⅰ卷10題）設(shè)函數(shù)f（x）＝（x－1）2（x－4），則

（

）A.

x＝3是f（x）的極小值點(diǎn)B.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜f（x2）C.

當(dāng)1＜x＜2時(shí)，－4＜f（2x－1）＜0D.

當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f（2－x）＞f（x）√√√12345678910111213141516解析：

對(duì)A，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，而f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，在（3，＋∞）上單調(diào)遞增，故x＝3是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，A正確；對(duì)B，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x－x2＝x（1－x）＞0，所以x＞x2，又函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，所以f（x）＞f（x2），B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，1＜2x－1＜3，而由上可知，函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正確；對(duì)D，由2－x－x＝2－2x，又－1＜x＜0，故2－2x＞0，所以f（2－x）－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2

－2x）＞0，D正確.故選A、C、D.

12345678910111213141516

A.

bc＞0B.

ab＞0C.

b2＋8ac＞0D.

ac＜0√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151611.

某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)

定為p（p≥20）元時(shí)的銷售量為Q件，且Q＝8

300－170p－p2，則這批

商品的最大毛利潤(rùn)（毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出）為

元.解析：設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)（p）元，由題意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－

20）＝（8

300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11

700p－166

000

（p≥20），所以L'（p）＝－3p2－300p＋11

700.令L'（p）＝0，解得p

＝30或p＝－130（舍去）.因?yàn)楫?dāng)20≤p＜30時(shí)，L'（p）＞0，當(dāng)p＞30

時(shí)，L'（p）＜0，所以L（30）是極大值，根據(jù)實(shí)際問題的意義知，L

（30）也是最大值，此時(shí)，L（30）＝23

000，即零售價(jià)定為每件30元

時(shí)，最大毛利潤(rùn)為23

000元.23

000

1234567891011121314151612.

（2025·湛江模擬）已知函數(shù)f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R），g

（x）＝x2＋（2－a）ln

x，若f（x）與g（x）中恰有一個(gè)函數(shù)無(wú)極值，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

?.

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答題13.

已知函數(shù)f（x）＝2ex（x＋1）.（1）求函數(shù)f（x）的極值；解：f'（x）＝2ex（x＋2），由f'（x）＞0，得x＞－2；由f'（x）＜0，得x＜－2.∴f（x）在（－2，＋∞）上單調(diào)遞增，在（－∞，－2）上單調(diào)遞減.∴f（x）的極小值為f（－2）＝－2e－2，無(wú)極大值.12345678910111213141516（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t＋1]（t＞－3）上的最小值g（t）.

1234567891011121314151614.

已知函數(shù)f（x）＝ln

x－ax，x∈（0，e]，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若x＝1為f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和最大值；

12345678910111213141516（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）的最大值是－3？若存在，求出a的

值；若不存在，說(shuō)明理由.

12345678910111213141516

1234567891011121314151615.

（2024·貴陽(yáng)摸底）如圖，A，B兩點(diǎn)分別在x，y軸上滑動(dòng)，

OP⊥AB，P為垂足，P點(diǎn)軌跡形成“四葉草”的圖形，若｜AB｜＝2