第4節(jié)函數(shù)的對(duì)稱性【課標(biāo)要求】（1）能通過(guò)平移，分析得出一般的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱公式和推論；（2）會(huì)利用對(duì)稱公式解決問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一軸對(duì)稱1.偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱.2.若函數(shù)y＝f（x＋a）是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.3.若函數(shù)y＝f（x）滿足f（a－x）＝f（a＋x），則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.（1）已知奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）＝－x，則f（－16）＝（B）A.1 B.2C.3 D.4（2）（2025·玉溪統(tǒng)考）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，y＝f（x＋3）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）＝log2x，則不等式f（2x＋2）＞f（x－1）的解集為{x｜x＜－3或x＞53}解析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，則有f（x）＝f（6－x），又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f（－x）＝－f（x），則f（x）＝－f（－x）＝－f（6＋x）＝f（x＋12），則f（x）的最小正周期是12，故f（－16）＝f（－4）＝－f（4）＝－f（2）＝－（－2）＝2.（2）∵y＝f（x＋3）是偶函數(shù)，∴f（x）的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱.∵當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）＝log2x，∴f（x）在[3，＋∞）上單調(diào)遞增，∴｜2x＋2－3｜＞｜x－1－3｜，即｜2x－1｜＞｜x－4｜，∴（2x－1）2＞（x－4）2，即3x2＋4x－15＞0，解得x＜－3或x＞53規(guī)律方法1.函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱?f（x）＝f（2a－x）?f（a－x）＝f（a＋x）.2.若函數(shù)y＝f（x）滿足f（a＋x）＝f（b－x），則y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a＋b練1（1）（蘇教必修一P126習(xí)題4題改編）函數(shù)f（x）＝lg｜2x－1｜圖象的對(duì)稱軸方程為（C）A.x＝－12 B.x＝C.x＝12 D.x＝解析：（1）內(nèi)層函數(shù)t＝｜2x—1｜的對(duì)稱軸是直線x＝12，所以函數(shù)f（x）＝lg｜2x－1｜圖象的對(duì)稱軸方程是x＝1（2）已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（4＋x）＝f（－x），若函數(shù)y＝｜x2－4x－5｜與y＝f（x）圖象的交點(diǎn)為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（C）A.0 B.mC.2m D.4m解析：（2）依題意，函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（4＋x）＝f（－x），即y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.函數(shù)y＝｜x2－4x－5｜的圖象也關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，所以若函數(shù)y＝｜x2－4x－5｜與y＝f（x）圖象的交點(diǎn)分別為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則x1＋x2＋…＋xm＝4×m2＝2m知識(shí)點(diǎn)二中心對(duì)稱1.奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.2.若f（x＋a）是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）圖象的對(duì)稱中心為（a，0）.3.若函數(shù)y＝f（x）滿足f（a－x）＝－f（a＋x），則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱.（1）〔多選〕（人A必修一P85思考改編）下列說(shuō)法中正確的是（ABC）A.函數(shù)f（x）＝2x－1x+2的圖象關(guān)于點(diǎn)（－B.函數(shù)f（x）滿足f（2x－1）為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（－1，0）中心對(duì)稱C.若函數(shù)y＝f（x）過(guò)定點(diǎn)（0，1），則函數(shù)y＝f（x－1）＋1過(guò)定點(diǎn)（1，2）D.函數(shù)y＝x－1x－b的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，c）中心對(duì)稱，則（2）（2025·揚(yáng)州模擬）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞減，且f（x＋1）為奇函數(shù)，則使得不等式f（x2－x）＜f（2－2x）成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（D）A.（－1，2） B.（－∞，－1）∪（2，＋∞）C.（－2，1） D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）解析：（1）對(duì)于A，f（x）＝2x－1x+2＝2（x+2)?5x+2＝2－5x+2，其圖象可以由y＝－5x的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，且y＝－5x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f（x）＝2x－1x+2的圖象關(guān)于點(diǎn)（－2，2）中心對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，因?yàn)閒（2x－1）為奇函數(shù)，所以f（2x－1）＝－f（－2x－1），所以f（x－1）＝－f（－x－1），所以f（x）＝－f（－x－2），所以函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（－1，0）中心對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝f（x－1）＋1的圖象，由于y＝f（x）過(guò)定點(diǎn)（0，1），故函數(shù)y＝f（x－1）＋1過(guò)定點(diǎn)（1，2），C正確；對(duì)于D，函數(shù)y＝x－1x－b＝（x－b）＋b－1（2）因?yàn)閒（x＋1）為奇函數(shù)，所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，因?yàn)閒（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在R上是減函數(shù)，因?yàn)閒（x2－x）＜f（2－2x），所以x2－x＞2－2x，即x2＋x－2＞0，解得x＜－2或x＞1，所以x的取值范圍為（－∞，－2）∪（1，＋∞）.規(guī)律方法1.函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱?f（a＋x）＋f（a－x）＝2b?2b－f（x）＝f（2a－x）.2.若函數(shù)y＝f（x）滿足f（a＋x）＋f（b－x）＝c，則y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a＋b2，c練2（1）（2025·九江一模）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax3－x－3＋a，若函數(shù)f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則a＝（）A.－1 B.0C.1 D.2解析：B因?yàn)楹瘮?shù)f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，即f（x）為奇函數(shù)，f（0）＝0，故a＝0.故選B.（2）（2024·新高考Ⅰ卷18題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）＝lnx2－x＋ax＋b（x－1）3.證明：曲線y＝f（x證明：法一∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2），且f（2－x）＋f（x）＝ln2－xx＋a（2－x）＋b（1－x）3＋lnx2－x＋ax＋b（x－1∴f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，a）中心對(duì)稱.法二將f（x）向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度?f（x＋1）＝lnx+11－x＋a（x＋1）＋bx3關(guān)于點(diǎn)（0，∴f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，a）中心對(duì)稱.知識(shí)點(diǎn)三兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱1.函數(shù)y＝f（x）與y＝f（－x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.2.函數(shù)y＝f（x）與y＝－f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.3.函數(shù)y＝f（x）與y＝－f（－x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（1）（人A必修1P116探究改編）下列函數(shù)與y＝ex的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的是（C）A.y＝ex－1 B.y＝e1－xC.y＝e2－x D.y＝lnx解析：（1）與f（x）＝y(tǒng)＝ex的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的是f（2－x）＝e2－x，即y＝e2－x.（2）定義在R上的函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且函數(shù)y＝g（2x－1）＋1為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）圖象的對(duì)稱中心是（D）A.（－1，－1） B.（－1，1）C.（3，1） D.（3，－1）解析：（2）因?yàn)閥＝g（2x－1）＋1為奇函數(shù)，所以g（－2x－1）＋1＝－g（2x－1）－1，即g（－2x－1）＋g（2x－1）＝－2，故g（x）的對(duì)稱中心為（－1，－1），由于函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且（－1，－1）關(guān)于x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為（3，－1），故y＝f（x）的對(duì)稱中心為（3，－1）.故選D.規(guī)律方法函數(shù)y＝f（a＋x）的圖象與函數(shù)y＝f（b－x）的圖象關(guān)于直線x＝b－a練3設(shè)函數(shù)y＝f（x）的圖象與y＝3x＋m的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，若f（3）＋f（9）＝1，則實(shí)數(shù)m＝1.解析：∵函數(shù)y＝f（x）的圖象與y＝3x＋m的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，∴x＝log3y－m，∴f（x）＝log3x－m，∴f（3）＋f（9）＝1－m＋2－m＝1，∴m＝1.提能點(diǎn)對(duì)稱性的綜合應(yīng)用（1）（2025·南京模擬）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象既關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x2024，則f（2025）＝（BA.32024C.11012解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f（－x）＝f（2＋x），因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，所以f（－x）＝－f（4＋x），所以f（x＋2）＋f（x＋4）＝0，所以f（x）－f（x＋4）＝0，即f（x）＝f（x＋4），所以函數(shù)f（x）的周期為4，所以f（2025）＝f（4×506＋1）＝f（1）＝12（2）（2024·新高考Ⅱ卷11題改編）設(shè)函數(shù)f（x）＝2x3－3ax2＋1，若點(diǎn)（1，f（1））為曲線y＝f（x）的對(duì)稱中心，則a＝2.解析：（2）法一（常規(guī)解法）因?yàn)閒（1）＝3－3a，則（1，3－3a）為f（x）的對(duì)稱中心，則f（x）＋f（2－x）＝6－6a，事實(shí)上，f（x）＋f（2－x）＝2x3－3ax2＋1＋2（2－x）3－3a（2－x）2＋1＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，于是6－6a＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，即12－6a=0，法二（利用拐點(diǎn)）f（x）＝2x3－3ax2＋1，f'（x）＝6x2－6ax，f″（x）＝12x－6a，由f″（x）＝0?x＝a2，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為（a2，f（a2）），由題意（1，f（1））也是對(duì)稱中心，故a2＝1?規(guī)律方法任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn).練4（1）〔多選〕（2025·蘇北四市調(diào)研）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（2x＋1）為奇函數(shù)，f（x＋2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝ax＋b.若f（0）＋f（3）＝－1，則（ACD）A.b＝－2B.f（2025）＝－1C.f（x）為偶函數(shù)D.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱解析：（1）由f（2x＋1）為奇函數(shù)，得f（－2x＋1）＝－f（2x＋1），則f（－x＋1）＝－f（x＋1），∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，D正確；由f（x＋2）為偶函數(shù)，∴f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴f（x）的周期為4×（2－1）＝4，于是f（－x）＝f（x＋4）＝f（x），C正確；在f（－x＋1）＝－f（x＋1）中，令x＝0，得f（1）＝0，由x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝ax＋b，可得f（0）＝1＋b，f（3）＝f（1）＝a＋b＝0，又f（0）＋f（3）＝－1，∴f（0）＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正確；f（2025）＝f（4×506＋1）＝f（1）＝0，B錯(cuò)誤.綜上，故選A、C、D.（2）（2025·八省聯(lián)考）已知曲線C：y＝x3－2x，兩條直線l1，l2均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，l1和C交于M，N兩點(diǎn)，l2和C交于P，Q兩點(diǎn)，若△OPM的面積為2，則△MNQ的面積為22解析：（2）由于（x，y）和（－x，－y）都符合y＝x3－2x，x≠0，所以曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y＝x3－2x單調(diào)遞增，由此畫(huà)出曲線C的大致圖象如圖所示，兩條直線l1，l2均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以M，N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)M，N，P，Q位置如圖，可知｜OP｜＝｜OQ｜，｜OM｜＝｜ON｜，∠POM＝∠QON，所以△OPM≌△OQN，所以S△OQN＝S△OPM＝2，而△OQM和△OQN等底等高，面積相同，所以S△OQM＝2，所以S△MNQ＝22.一、單項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)的圖象中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.y＝tanx B.y＝x－1C.y＝x3 D.y＝ln｜x｜解析：B由正切函數(shù)的圖象性質(zhì)：y＝tanx關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但沒(méi)有對(duì)稱軸，不符合；由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)：y＝x－1關(guān)于原點(diǎn)和y＝±x對(duì)稱，符合；由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)：y＝x3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但沒(méi)有對(duì)稱軸，不符合；由ln｜－x｜＝ln｜x｜，即y＝ln｜x｜關(guān)于y軸對(duì)稱，但沒(méi)有對(duì)稱中心，不符合.故選B.2.已知函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，－2），則函數(shù)y＝－f（－x）的圖象必過(guò)點(diǎn)（）A.（－1，2） B.（1，2）C.（－1，－2） D.（－2，1）解析：A函數(shù)y＝f（x）與y＝－f（－x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y＝f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，－2），則函數(shù)y＝－f（－x）的圖象必過(guò)點(diǎn)（－1，2），故選A.3.（2025·貴州一模）函數(shù)f（x）＝x+1x的圖象的對(duì)稱中心為（A.（0，0） B.（0，1）C.（1，0） D.（1，1）解析：B因?yàn)閒（x）＝x+1x＝1＋1x，由y＝1x的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝1＋1x的圖象，又y＝1x的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，所以f（x）＝1＋1x的圖象關(guān)于點(diǎn)4.（2025·湛江一模）已知函數(shù)y＝f（1－x）的圖象與函數(shù)y＝f（2＋x）的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，則m＝（）A.3 B.3C.－1 D.－1解析：D設(shè)點(diǎn)P（x，y）在函數(shù)y＝f（1－x）的圖象上，點(diǎn)P關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱點(diǎn)Q（x'，y'），則x＋x'=2m，y＝y(tǒng)',則x=2m－x',y＝y(tǒng)',即y'＝f（1－2m＋x'），即y＝f（1－2m＋x）與y＝f（1－x）5.（2025·九江模擬）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋2，且f（1＋x）＋f（1－x）＝2，則ab＝（）A.－1 B.2C.－3 D.4解析：C因?yàn)閒（1＋x）＋f（1－x）＝2，所以函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋2的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3，y＝x為奇函數(shù)，即關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，函數(shù)f（x）＝（x－1）3＋k（x－1）＋1＝x3－3x2＋（3＋k）x－k，所以a＝－3，b＝3＋k，－k＝2，解得a＝－3，b＝1，所以ab＝－3.故選C.6.（2025·寶雞一模）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝2x－1，則（）A.f（13）＜f（32）＜f（B.f（23）＜f（32）＜f（C.f（23）＜f（13）＜f（D.f（32）＜f（23）＜f（解析：B由題意知，函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程是x＝1，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝2x－1，則函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，由f（x）的對(duì)稱性知f（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減.∵1－23＜32－1＜1－13，∴f（23）＜f（32）＜f（17.（2025·日照調(diào)研）已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f（5.5）＝4，g（x）＝（x－1）f（x），若g（x＋1）是偶函數(shù)，則g（－0.5）＝（）A.－6 B.－4C.4 D.6解析：D因?yàn)間（x＋1）是偶函數(shù)，所以g（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，即g（x）＝g（2－x），即（x－1）f（x）＝（1－x）f（2－x），所以f（x）＋f（2－x）＝0.所以f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱.又f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以f（x）＝－f（2－x）＝－f（x－2），所以f（x－4）＝f（（x－2）－2）＝－f（x－2）＝－（－f（x））＝f（x），即f（x－4）＝f（x），所以函數(shù)f（x）的周期為4.所以f（5.5）＝f（1.5）＝f（－2.5）＝f（2.5）＝4，所以g（－0.5）＝g（2.5）＝1.5f（2.5）＝6.故選D.二、多項(xiàng)選擇題8.（2025·湖北七市州調(diào)研）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sinx＋1sinx有如下四個(gè)命題，其中正確的是（A.f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.f（x）的圖象關(guān)于直線x＝π2D.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱解析：BCD∵f（x）＝sinx＋1sinx的定義域?yàn)閧x｜x≠kπ，k∈Z}，f（－x）＝sin（－x）＋1sin(?x）＝－sinx－1sinx＝－f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，B正確；∵f（π2－x）＝cosx＋1cosx，f（π2＋x）＝cosx＋1cosx，∴f（π2－x）＝f（π2＋x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x＝π2對(duì)稱，故C正確；又f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＋1sin（x+2π）＝sinx＋1sinx，f（－x）＝－sinx－1sinx，∴9.（2025·恩施模擬）定義在R上的函數(shù)f（x），f（x＋1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（－1，0）對(duì)稱，恒有f（x－1）＝f（3－x），且f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線x＝1是f（x）的圖象的對(duì)稱軸B.周期T＝2C.函數(shù)f（x）在[4，5]上單調(diào)遞增D.f（5）＝0解析：AC因?yàn)閒（x－1）＝f（3－x），所以直線x＝1是f（x）的圖象的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)閒（x＋1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（－1，0）對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，又因?yàn)閒（x）的對(duì)稱軸為x＝1，所以f（x）的周期T＝4，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；直線x＝1是f（x）的對(duì)稱軸，且函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，又f（x）的周期T＝4，所以函數(shù)f（x）在[4，5]上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)閒（x）的周期T＝4，f（4）＝f（0）＝0，則f（5）＞f（4）＝0，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.三、填空題10.（2025·臨沂一模）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f（x）＝2sinπ2x（答案不唯一）①f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；②f（1＋x）＝f（1－x）；③f（1）＝2.解析：由①②③可知函數(shù)f（x）是對(duì)稱軸為x＝1，定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（1）＝2，可寫(xiě)出滿足條件的函數(shù)f（x）＝2sinπ2x11.（2025·南通一模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＋f（－x）＝4x2＋2，設(shè)g（x）＝f（x）－2x2，若g（x）的最大值和最小值分別為M和m，則M＋m＝2.解析：由g（x）＝f（x）－2x2，那么g（－x）＝f（－x）－2x2，兩式相加，可得g（－x）＋g（x）＝2，故g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，其最大值和最小值也關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，所以M＋m＝2.12.（2025·贛州聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）在［32，＋∞）上單調(diào)遞增，滿足對(duì)任意x∈R，都有f（32－x）＝f（x＋32），若f（x）在區(qū)間（a，2a－1）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，5解析：由f（32－x）＝f（x＋32），得函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸是直線x＝32，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在［32，＋∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在（－∞，32］上單調(diào)遞減，因?yàn)閒（x）在區(qū)間（a，2a－1）上單調(diào)遞減，則2a－1≤32，a<2a－1四、解答題13.（2025·滄州模擬）已知函數(shù)f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x.（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的對(duì)稱性；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間.解：（1）f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.證明：由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（2，＋∞）.因?yàn)閒（2－x）＝log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4，f（2＋x）＝log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4，所以f（2＋x）＝f（2－x），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.（2）設(shè)y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x，當(dāng)x＞2時(shí)，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）單調(diào)遞增，y2＝x2－4x也單調(diào)遞增，故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上單調(diào)遞增.又f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，2）.14.我們知道，函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f（x＋a）－b為奇函數(shù).（1）判斷函數(shù)f（x）＝2x－12x+1的奇偶性，并求函數(shù)g（2）類(lèi)比上述推廣結(jié)論，寫(xiě)出“函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.解：（1）f（x）＝2x－證明如下，首先f(wàn)（x）定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f（－x）＝2－x－12－x+1＝1－2x1+2x1＋g（x）＝1－22x－1+1＝2x－1+1－故g（x）＝f（x－1）－1，于是g（x＋1）＋1＝f（x）是奇函數(shù)，由題意知，g（x）