第4節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【課標(biāo)要求】（1）理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系；（2）掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直1.定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直m，n?αm性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行a⊥αb⊥結(jié)論（1）若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；（2）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直；（4）三垂線定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥CO，則l⊥PC；（5）三垂線定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥PC，則l⊥CO.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).證明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE.證明：（1）在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，∴PD⊥平面ABE.規(guī)律方法證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵（1）證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥α?b⊥α）；③面面平行的性質(zhì)（a⊥α，α∥β?a⊥β）；④面面垂直的性質(zhì)；（2）證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).練1（1）（人A必修二P162習(xí)題1（2）題改編）已知直線m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件（2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1.（1）解析：Bn?α，m⊥nm⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n?α，則m⊥n，必要性成立.故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分條件.（2）證明：如圖所示，連接A1C1，C1D，B1D1，BD.∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1?平面A1C1D，∴EF⊥平面A1C1D， ①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四邊形A1B1C1D1為正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D， ②由①②可知EF∥BD1.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直1.平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直a?αa⊥性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直α⊥βl?β結(jié)論兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.（2023·全國(guó)甲卷文18題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；解：（1）證明：因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC.因?yàn)椤螦CB＝90°，所以AC⊥BC.因?yàn)锳C∩A1C＝C，AC，A1C?平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因?yàn)锽C?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.（2）設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高.解：（2）如圖，取棱AA1的中點(diǎn)D，連接BD，CD.因?yàn)锳B＝A1B，所以AA1⊥BD.因?yàn)锽C⊥平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.因?yàn)锽C∩BD＝B，BC，BD?平面BCD，所以AA1⊥平面BCD.因?yàn)镃D?平面BCD，所以AA1⊥CD.因?yàn)锳A1∥CC1，所以CD⊥CC1.又因?yàn)镃D⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1?平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.因?yàn)锳A1＝2，所以CD＝1.易知AA1∥平面BB1C1C，所以四棱錐A1-BB1C1C的高為CD＝1.規(guī)律方法1.判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a?α?α⊥β）.2.已知面面垂直時(shí)，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，將問題轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.練2（1）（蘇教必修二P195練習(xí)4題改編）已知直線a，b與平面α，β，γ，能使α⊥β的充分條件是（D）A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β＝a，b⊥a，b?βC.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β解析：（1）α⊥γ，β⊥γ?α與β相交或平行，故A不正確；因?yàn)棣痢搔拢絘，b⊥a，b?β，所以β可以繞交線a任意旋轉(zhuǎn)，所以不能得到α⊥β，故B不正確；a∥β，a∥α?α與β相交或平行，故C不正確；當(dāng)a⊥β，a∥α，過直線a作平面與平面α交于直線b，所以a∥b，又a⊥β，所以b⊥β，又b?α，所以α⊥β，故D正確.（2）〔多選〕（人A必修二P165習(xí)題20題改編）如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，AE⊥PC，垂足為E，點(diǎn)F是PB上一點(diǎn)，則下列判斷中正確的是（ABD）A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EFC.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC解析：（2）對(duì)于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，而BC?底面圓面，則PA⊥BC，又由圓的性質(zhì)，可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則BC⊥平面PAC，所以A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)可知，BC⊥AE，由題意可知，AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC，而EF?平面PBC，所以AE⊥EF，所以B正確；對(duì)于C，若AC⊥PB，因?yàn)锳C⊥BC，BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又PC?平面PBC，則AC⊥PC，與AC⊥PA矛盾，所以AC⊥PB不成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B項(xiàng)可知，AE⊥平面PBC，AE?平面AEF，由面面垂直的判定定理，可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正確.故選A、B、D.提能點(diǎn)平行與垂直的綜合問題（2025·石家莊模擬）如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E為線段AB上的一點(diǎn).（1）若OE∥平面D1BC，求證：E為AB的中點(diǎn)；解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛A1D1D為正方形，A1D∩AD1＝O，所以O(shè)為AD1的中點(diǎn).又因?yàn)镺E∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE?平面ABD1，所以O(shè)E∥BD1.又因?yàn)镺為AD1的中點(diǎn)，所以E為AB的中點(diǎn).（2）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（2）存在點(diǎn)E，當(dāng)AE＝12時(shí)，平面D1DE⊥平面AD1C，理由如下設(shè)AC∩DE＝F，因?yàn)樗倪呅蜛A1D1D為正方形，所以D1D⊥AD，又因?yàn)槠矫鍭A1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D?平面AA1D1D，所以D1D⊥平面ABCD，又因?yàn)锳C?平面ABCD，所以D1D⊥AC.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，當(dāng)AE＝12時(shí)，在Rt△ADE中tan∠ADE＝AEAD＝1在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BCAB＝1所以∠ADE＝∠BAC，又因?yàn)椤螧AD＝∠BAC＋∠DAC＝90°，所以∠ADE＋∠DAC＝90°，則∠AFD＝90°，所以AC⊥DE，又因?yàn)镈E∩DD1＝D，DE，DD1?平面D1DE，所以AC⊥平面D1DE.又因?yàn)锳C?平面AD1C，所以平面D1DE⊥平面AD1C.規(guī)律方法1.垂直與平行的綜合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.2.對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證.練3（2023·全國(guó)乙卷文19題）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，PB＝PC＝6，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，點(diǎn)F在AC上，BF⊥AO.（1）求證：EF∥平面ADO；（2）若∠POF＝120°，求三棱錐P-ABC的體積.解：（1）證明：因?yàn)锳B⊥BC，AB＝2，BC＝22，O是BC的中點(diǎn)，所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB.記BF⊥AO的垂足為H，則△BHA∽△OBA，所以∠HBA＝∠AOB.所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF，故CF＝AF，所以F是AC的中點(diǎn).因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AP，AC的中點(diǎn)，所以EF∥PC.因?yàn)镈，O分別是BP，BC的中點(diǎn)，所以DO∥PC，所以EF∥DO.又DO?平面ADO，EF?平面ADO，所以EF∥平面ADO.（2）由（1）得FO∥AB，因?yàn)锳B⊥BC，所以FO⊥BC.又PO⊥BC，所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角，所以二面角P-BC-F的大小為120°.如圖，過點(diǎn)P作PM⊥平面ABC于點(diǎn)M，連接MO，MB，則∠POM是二面角P-BC-M的平面角，所以∠POM＝60°.在△PBC中，由PB＝PC＝6，BC＝22，得PO＝2，所以PM＝3.所以三棱錐P-ABC的體積VP-ABC＝13S△ABC×PM＝13×12×2×22×3一、單項(xiàng)選擇題1.（2024·天津高考6題）若m，n為兩條直線，α為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若m∥α，n∥α，則m⊥nB.若m∥α，n∥α，則m∥nC.若m∥α，n⊥α，則m⊥nD.若m∥α，n⊥α，則m與n相交解析：C對(duì)于A、B，若m∥α，n∥α，則m與n可能平行、相交或異面，故A、B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，若m∥α，n⊥α，則m⊥n，m與n可能相交垂直，也可能異面垂直，故C正確，D錯(cuò)誤.2.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在（）A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC內(nèi)部解析：A連接AC1（圖略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.3.已知圓錐SO的底面半徑為r，當(dāng)圓錐的體積為26πr3時(shí)，該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為（A.33 B.C.32 D.解析：A設(shè)圓錐的高為h，則由題意可得，V＝13πr2h＝26πr3，解得?r＝22，所以母線與底面所成角的正切值為22，由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，母線與底面所成角的正弦值為4.（2025·景德鎮(zhèn)開學(xué)考試）已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若m⊥α，n⊥β，且α∥β，則m∥nB.若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nC.若α∥β，m?α，n?β，則m∥nD.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n解析：C由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，而垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，故A正確；由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β，又因?yàn)閚∥β，則m⊥n，故B正確；若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故C錯(cuò)誤；如圖，設(shè)α∩β＝l，在平面β內(nèi)作直線c⊥l，又因?yàn)棣痢挺?，則c⊥α，又m⊥α，所以m∥c，因?yàn)閚⊥β，c?β，所以n⊥c，從而有m⊥n，故D正確.5.在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定解析：B作AE⊥BD，交BD于E，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC，又∵AE∩AD＝A，AE，AD?平面ABD，∴BC⊥平面ABD，而AB?平面ABD，∴BC⊥AB，即△ABC為直角三角形.6.（2025·東營(yíng)模擬）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足與DD1垂直的直線MN（）A.有且僅有1條B.有且僅有2條C.有且僅有3條D.有無數(shù)條解析：D如圖，過點(diǎn)N作NE⊥BC，垂足為E，連接DE，當(dāng)M，N高度一樣，即MD＝NE時(shí)，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，所以四邊形MDEN為平行四邊形，所以MN∥DE.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，所以DD1⊥DE，則DD1⊥MN.所以當(dāng)M，N高度一樣，即MD＝NE時(shí)，一定有DD1⊥MN，此時(shí)滿足條件的直線MN有無數(shù)條.7.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BB1上，記B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A.13 B.C.23 D.解析：D由題意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1?平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，又AB1?平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，作DF⊥AB1交BB1于點(diǎn)F（如圖），連接FC1，A1B，此時(shí)AB1⊥平面C1DF，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，所以四邊形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，又D為A1B1的中點(diǎn)，所以F為BB1的中點(diǎn)，所以B1F＝BF，因?yàn)锽1F＝λBF，所以λ＝1.二、多項(xiàng)選擇題8.如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是（）解析：BD對(duì)于A，顯然AB與CE不垂直，則直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于B，因?yàn)锳B⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；對(duì)于C，顯然AB與CE不垂直，所以直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于D，因?yàn)镋D⊥平面ABC，則ED⊥AB，同理CE⊥AB，因?yàn)镋D∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.9.（2025·武漢模擬）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.CD⊥PDB.AB⊥PCC.平面PBD⊥平面PACD.E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面解析：AD如圖所示，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正確；因?yàn)镃D∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB與PC不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以BD與AC不一定垂直，則BD與平面PAC不一定垂直，所以平面PBD與平面PAC不一定垂直，故C錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面，故D正確.三、填空題10.（2025·泉州質(zhì)檢）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足BM⊥PC（或DM⊥PC）時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.解析：由題知△PAB≌△PAD，所以PB＝PD，易知△PDC≌△PBC，當(dāng)BM⊥PC時(shí)，則有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，此時(shí)PC⊥平面MBD，PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.11.如圖所示是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中，棱CG，DH，EH，F(xiàn)G（任選一個(gè)作答）所在的直線與棱AB所在的直線是異面直線且互相垂直.（注：填上你認(rèn)為正確的一條棱即可，不必考慮所有可能的情況）解析：如圖，結(jié)合平面圖形還原出正方體，結(jié)合正方體性質(zhì)易知，棱CG，DH，EH，F(xiàn)G所在的直線與棱AB所在的直線是異面直線且互相垂直.12.（2025·威海模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分別是線段BS，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)R在線段SD上.若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，則AR＝455解析：如圖，取SA的中點(diǎn)E，連接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA?平面SAD，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR?平面SAD，∴PE⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，PE，PQ?平面PEQ，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ?平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分別為SA，AD的中點(diǎn)，∴EQ∥SD，則AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得SD＝25，由等面積法可得AR＝455四、解答題13.在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AD⊥PC.（1）求證：AD⊥平面PDC；（2）若M是棱PA的中點(diǎn)，求證：對(duì)于棱BC上任意一點(diǎn)F，MF與PC都不平行.證明：（1）在平面PCD中過點(diǎn)D作DH⊥DC，交PC于H，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PCD，DH?平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，所以DH⊥平面ABCD，因?yàn)锳D?平面ABCD，所以DH⊥AD，又AD⊥PC，且PC∩DH＝H，PC，DH?平面PCD，所以AD⊥平面PCD.（2）法一假設(shè)棱BC上存在點(diǎn)F，使得MF∥PC，顯然F與點(diǎn)C不重合，所以P，M，F(xiàn)，C四點(diǎn)共面于α，所以FC?α，PM?α，所以B∈FC?α，A∈PM?α，所以α就是點(diǎn)A，B，C確定的平面，所以P∈α，這與P-ABCD為四棱錐矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即問題得證.法二假設(shè)棱BC上存在點(diǎn)F，使得MF∥PC，連接AC，取其中點(diǎn)N，在△PAC中，因?yàn)镸，N分別為PA，CA的中點(diǎn)，所以MN∥PC，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)只有一條直線和已知直線平行，所以MF與MN重合，所以點(diǎn)F在線段AC上，所以F是AC，BC的交點(diǎn)C，即MF就是MC，而MC與PC相交，矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，問題得證.14.在四棱錐P-ABCD中，△PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.（1）在AD上是否存在一點(diǎn)M，使得平面PCM⊥平面ABCD？若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）若△PCD的面積為87，求四棱錐P-ABCD的體積.解：（1）存在，當(dāng)M為AD的中點(diǎn)時(shí)，平面PCM⊥平面ABCD.證明：取AD的中點(diǎn)M，連接CM，PM，由△PAD是等邊三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM?平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.（2）設(shè)AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，由（1）可得MC＝AB＝MD＝a，則CD＝2a，PD＝2a，PM＝3a，由PM⊥MC，可得PC＝PM2＋MC2由S△PCD＝12·2a·4a2－12a2＝72a2所以四棱錐P-ABCD的體積V＝13S四邊形ABCD·PM＝13×12×（4＋8）×4×43＝15.劉徽注《九章算術(shù)·商功》“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，