第5節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）通過具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律；

（2）掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值等）.目錄CONTENTS知識點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)01.知識點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式02.知識點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)03.課時(shí)跟蹤檢測04.PART01知識點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.

定義：一般地，函數(shù)y＝

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是

常數(shù).2.

常見的五種冪函數(shù)的圖象xα

3.

冪函數(shù)的性質(zhì)（1）冪函數(shù)在（0，＋∞）上都有定義；（2）當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

和

，且

在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；（3）當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

，且在（0，＋∞）

上單調(diào)遞減；（4）當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，y＝xα為

；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，y＝xα為

?

?.（1，1）

（0，0）

（1，1）

奇函數(shù)

偶

函數(shù)

結(jié)論冪函數(shù)y＝xα在第一象限的兩個(gè)重要結(jié)論（1）恒過點(diǎn)（1，1）；（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，α越大，函數(shù)值越??；當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，α

越大，函數(shù)值越大.

（1）（蘇教必修一P140思考改編）若冪函數(shù)y＝x－1，y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為（

D

）A.

－1＜m＜0＜n＜1B.－1＜n＜0＜m＜

C.

－1＜m＜0＜n＜

D.－1＜n＜0＜m＜1D解析：冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α＞0時(shí)，y＝xα在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，且0＜α＜1時(shí)，圖象上凸，所以0＜m＜1.當(dāng)α＜0時(shí)，y＝xα在（0，＋∞）上單調(diào)遞減.不妨令x＝2，由圖象得2－1＜2n，則－1＜n＜0.綜上可知，－1＜n＜0＜m＜1.

A.

a＞b＞cB.

a＞c＞bC.

c＞a＞bD.

b＞c＞aB規(guī)律方法1.

對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)

區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域.根據(jù)α＜0，0＜α＜1，α＝1，α

＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.2.

在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其

單調(diào)性進(jìn)行比較.

A.

m＝3B.

函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增C.

函數(shù)f（x）是偶函數(shù)D.

函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

ABD（2）（2025·廣州模擬預(yù)測）若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍為

?.

PART02知識點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：f（x）＝

?；（2）頂點(diǎn)式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)

為

?；（3）零點(diǎn)式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2為f

（x）的

?.ax2＋bx＋c（a≠0）

（m，n）

零點(diǎn)

A.

x2－2x＋1B.

x2＋2x＋1C.

2x2－2x＋1D.2x2＋2x－1

（1）已知f（x）為二次函數(shù)，且f（x）＝x2＋f'（x）－1，則f

（x）＝（

B

）B（2）已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2）＝－1，f（1－x）＝f（x），且f

（x）的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式f（x）＝（

A

）A.

－4x2＋4x＋7B.4x2＋4x＋7C.

－4x2－4x＋7D.－4x2＋4x－7

A規(guī)律方法求二次函數(shù)解析式的方法練2（2025·六安一模）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（－3，0），（1，

0），且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，則二次函數(shù)的表達(dá)式為

?

?.

PART03知識點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞

0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）圖象

定義域RR值域

?（

－∞，

］

解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞

0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）單調(diào)性在x∈（

－∞，－

］上單調(diào)

遞減；在x∈

?上

單調(diào)遞增在x∈（

－∞，－

］上單調(diào)

遞增；在x∈

?上

單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝

?對稱

提醒

注意二次項(xiàng)系數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響，經(jīng)常分二次項(xiàng)系數(shù)大于零與小于

零兩種情況討論.角度1

二次函數(shù)的圖象

（1）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，則

（

C

）A.

f（m＋1）≥0B.

f（m＋1）≤0C.

f（m＋1）＞0D.

f（m＋1）＜0

C（2）〔多選〕二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，則下

面結(jié)論中正確的是（

ABC

）ABCA.

2a＋b＝0B.

4a－2b＋c＜0C.

b2－4ac＞0D.

當(dāng)y＜0時(shí)，x＜－1或x＞4

規(guī)律方法識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”角度2

二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

（1）（人A必修一P100復(fù)習(xí)參考題4題改編）已知二次函數(shù)f（x）

＝ax2－x＋2a－1.若f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍

為

?；

（2）已知函數(shù)f（x）＝x2－tx－1，若x∈[－1，2]，求f（x）的最小值

g（t）.

規(guī)律方法

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間

定、軸定區(qū)間動.無論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是圖象的對稱軸與區(qū)間的

位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分

類討論.練3（1）若－1＜a＜0，b＞4，則函數(shù)f（x）＝ax2＋bx－b的圖象不經(jīng)

過（

B

）A.

第一象限B.第二象限C.

第三象限D(zhuǎn).第四象限

B（2）（2025·鎮(zhèn)江模擬）函數(shù)f（x）＝x2－4x＋2在區(qū)間[a，b]上的值

域?yàn)閇－2，2]，則b－a的取值范圍是（

B

）A.

[0，2]B.[2，4]C.

[0，4]D.[4，＋∞）B解析：解方程x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇－2，2].若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此時(shí)b－a取得最小值2；若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上不單調(diào)，且當(dāng)b－

a取最大值時(shí)，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值為4，所以b－a的

取值范圍是[2，4].（2）一元二次函數(shù)對應(yīng)方程的根的判別式；（3）一元二次函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系；（4）一元二次函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號.提能點(diǎn)一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布一般要考慮以下幾點(diǎn)：（1）一元二次函數(shù)圖象的

開口方向；角度1

已知兩根與實(shí)數(shù)k的大小關(guān)系

（1）若關(guān)于x的方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一個(gè)根比1大，另

一個(gè)根比1小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

C

）A.

（－1，1）B.

（－∞，－1）∪（1，＋∞）C.

（－2，1）D.

（－∞，－2）∪（1，＋∞）解析：設(shè)f（x）＝x2＋（a2－1）x＋a－2，依題意有f（1）＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1，故選C.

C（2）已知方程2x2－（m＋1）x＋m＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是

?.

規(guī)律方法已知兩根與實(shí)數(shù)k的大小關(guān)系根的分布情況

（以a＞0為例）兩根都小于k兩根都大于k一個(gè)根小于k，

一個(gè)根大于k圖象的大致形狀

滿足的不等式（組）

f（k）＜0角度2

已知兩根所在的區(qū)間

已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有兩根，其

中一根在區(qū)間（－1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)

m的取值

范圍為

?.

規(guī)律方法已知兩根所在的區(qū)間根的分布情

況（以a＞0

為例）兩根都在（m，n）內(nèi)有且僅有一根

在（m，n）

內(nèi)一根在（m，n）內(nèi)，另一

根在（p，q）內(nèi)，且m＜

n＜p＜q圖象的大致

形狀

滿足的不等

式（組）

f（m）·f

（n）≤0（當(dāng)根在m或

n處取得時(shí)，

取“＝”）

或

PART04課時(shí)跟蹤檢測

A.2B.3C.

D.－1解析：

由題意可得α＞0且α為奇數(shù)，所以α＝3，故選B.

12345678910111213141516√

A.

b＜a＜cB.

a＜b＜cC.

b＜c＜aD.

c＜a＜b

√123456789101112131415163.

已知二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a≠0），x∈R，若

函數(shù)f（x）的最小值為f（－1）＝0，則f（x）＝（

）A.

x2－2x＋1B.

x2＋2x－1C.

x2＋2x＋1D.2x2＋x－1解析：

設(shè)函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝a（x＋1）2＝ax2＋2ax＋a

（a≠0），又f（x）＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f（x）＝x2＋2x＋1.√123456789101112131415164.

（2025·淮安模擬）若函數(shù)f（x）＝4x2－kx－8在[4，5]上是單調(diào)函

數(shù)，則k的取值范圍是（

）A.

[32，40]B.（－∞，32]∪[40，＋∞）C.

（－∞，32]D.[40，＋∞）

√123456789101112131415165.

（2025·宣城模擬）已知y＝（x－m）（x－n）＋2

025（m＜n），

且α，β（α＜β）是方程y＝0的兩根，則α，β，m，n的大小關(guān)系是

（

）A.

α＜m＜n＜βB.

m＜α＜n＜βC.

m＜α＜β＜nD.α＜m＜β＜n√解析：

y＝（x－m）（x－n）＋2

025（m＜n）

為二次函數(shù)，圖象開口向上，因?yàn)棣粒拢é粒鸡拢┦?/p>

方程y＝0的兩根，故α，β（α＜β）為二次函數(shù)的圖

象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中f（m）＝f（n）

＝2

025，畫出大致圖象如圖所示，顯然m＜α＜β＜n.

12345678910111213141516

A.0B.1C.

D.2√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

（2025·宿遷調(diào)研）已知函數(shù)f（x）＝x2＋ax＋b的值域?yàn)閇2，＋

∞），且滿足f（1－x）＝f（1＋x），若f（x）在[m，n]上的值域?yàn)?/p>

[2，6]，則n－m的最大值為（

）A.2B.4C.6D.8√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

下列說法正確的是（

）A.

若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

，2），則解析式為y＝

B.

若函數(shù)f（x）＝

，則f（x）在區(qū)間（－∞，0）上單調(diào)遞減C.

冪函數(shù)y＝xα（α＞0）始終經(jīng)過點(diǎn)（0，0）和（1，1）D.

若冪函數(shù)f（x）＝（2m2－2m－3）xm圖象關(guān)于y軸對稱，則f（－a2

＋2a－5）＞f（3）√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516對于D項(xiàng)，由已知可得，2m2－2m－3＝1，解得m＝－1或m＝2.又冪函數(shù)

圖象關(guān)于y軸對稱，所以m＝2，f（x）＝x2.所以有f（x）＝f（｜x｜），

又f（x）＝x2在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增，且a2－2a＋5＝（a－1）2

＋4≥4，所以f（－a2＋2a－5）＝f（a2－2a＋5）≥f（4）＞f（3），

故D項(xiàng)正確.故選A、C、D.

123456789101112131415169.

（2025·青島一模）已知函數(shù)f（x）＝x2－2x＋a有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，

以下結(jié)論正確的是（

）A.

a＜1B.

若x1x2≠0，則

＋

＝

C.

f（－1）＝f（3）D.

函數(shù)y＝f（｜x｜）有四個(gè)零點(diǎn)√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題10.

已知函數(shù)f（x）＝（m2－m－1）xm＋1是冪函數(shù)，且在（0，＋∞）上

單調(diào)遞增，則f（2）＝

?.

8

1234567891011121314151611.

（2025·臨沂一模）已知關(guān)于x的方程ax2＋x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)

小于0，另一個(gè)大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

?.解析：關(guān)于x的方程ax2＋x＋2＝0對應(yīng)的二次函數(shù)為f（x）＝ax2＋x＋

2，若a＞0，即圖象開口向上，ax2＋x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0，另一

個(gè)大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a＋3＜0，則a∈?；

若a＜0，即函數(shù)圖象開口向下，ax2＋x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0，另

一個(gè)大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a＋3＞0，則－3＜

a＜0.綜上可得a的取值范圍是（－3，0）.（－3，0）

1234567891011121314151612.

（2025·八省聯(lián)考改編）已知函數(shù)f（x）＝x｜x－a｜－2a2，若當(dāng)x

＞2時(shí)，f（x）＞0，則a的取值范圍為

?.

[－2，1]

12345678910111213141516當(dāng)a＝0，x＞2時(shí)，f（x）＝x2＞0恒成立，符合題意；當(dāng)a＜0，x＞2時(shí)，由f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞0，解得x＞