第7節(jié)拋物線【課標(biāo)要求】（1）掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率）；（3）了解拋物線的簡單應(yīng)用.知識點(diǎn)一拋物線的定義把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.提醒定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且與定直線垂直的直線.（1）已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x－2）2＋y2＝1相外切，又與定直線l：x＝－1相切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是（C）A.y2＝4x B.y2＝－4xC.y2＝8x D.y2＝－8x解析：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），C（2，0），動(dòng)圓的半徑為r，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，｜PC｜＝1＋r，P在直線的右側(cè)，故P到定直線的距離d＝x＋1＝r，所以｜PC｜－d＝1，即（x－2）2＋y2－（x＋1）＝1，化簡得y（2）（2025·湖北十一校聯(lián)考）已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，過拋物線C上一點(diǎn)M作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若∠NFM＝π3，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為6解析：（2）如圖，由拋物線的定義知，｜MN｜＝｜MF｜，所以∠MNF＝∠MFN＝∠NFO＝π3，△MFN為正三角形.因?yàn)?p＝8，所以p＝4，所以｜NF｜＝pcosπ3＝2p＝8，所以｜MF｜＝｜NF｜＝8，又｜MF｜＝xM＋p2＝xM＋2，所以x規(guī)律方法“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡捷、直觀的求解.“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑.練1（1）已知拋物線y＝mx2（m＞0）上的點(diǎn)（x0，2）到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為114，則m＝（DA.4 B.3C.14 D.解析：（1）由題意知，拋物線y＝mx2（m＞0）的準(zhǔn)線方程為y＝－14m，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)（x0，2）到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線y＝－14m的距離，可得2＋14m＝11（2）（人A選一P135例4改編）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝42x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若｜PF｜＝42，則△POF的面積為23.解析：（2）由｜PF｜＝xP＋2＝42，可得xP＝32，∴yP＝±26.∴S△POF＝12｜OF｜·｜yP｜＝23知識點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）圖形開口方向向右向左向上向下（1）拋物線過點(diǎn)（3，－4），則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝163x或x2＝－94y解析：（1）∵點(diǎn)（3，－4）在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px（p＞0）或x2＝－2p1y（p1＞0）.把點(diǎn)（3，－4）的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得（－4）2＝2p·3，32＝－2p1·（－4），則2p＝163，2p1＝94.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝163x或x2＝－（2）如圖，過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，則拋物線的方程為y2＝3x.解析：（2）如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)｜BF｜＝a，則｜BC｜＝2a，由拋物線的定義得｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2｜AE｜＝｜AC｜，∵｜AE｜＝｜AF｜＝3，｜AC｜＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，∴1p＝23，∴p＝32，因此拋物線的方程為y2＝3規(guī)律方法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）定義法：若題目已給出拋物線的方程（含有未知數(shù)p），那么只需求出p即可；（2）待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax（a≠0）；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay（a≠0），a的正負(fù)由題設(shè)來定，這樣就減少了不必要的討論.練2（1）拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離為2，則p＝（B）A.1 B.2C.22 D.4（2）設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，點(diǎn)P在拋物線C上，｜PF｜＝52，若以線段PF為直徑的圓過坐標(biāo)軸上距離原點(diǎn)為1的點(diǎn)，則該拋物線C的方程為x2＝2y或x2＝8y解析：（1）拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p2，0），它到直線y＝x＋1的距離為d＝｜p2+1｜2＝2，解得p＝2或p＝－6（2）由題意設(shè)拋物線方程為x2＝2py（p＞0），P（x0，y0），F(xiàn)（0，p2），圓的半徑為54，由y0＋p2＝52，得y0＝5－p2，并且線段PF中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y0＋p22＝54，所以以線段PF為直徑的圓與x軸相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0）或（1，0），所以x0＝±2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（±2，5－p2），代入拋物線方程x2＝2py（p＞0），得4＝2p·5－p2，解得p＝1或p＝4，知識點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)（p2，0（－p2，0（0，p2（0，－p2準(zhǔn)線方程x＝－px＝py＝－py＝p對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)（0，0）離心率e＝1（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，則C的準(zhǔn)線方程為（A）A.x＝－32 B.x＝C.y＝－32 D.y＝解析：（1）法一由題易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以｜OF｜｜PF｜＝｜PF｜｜FQ｜，即p2p＝p法二由題易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝p2×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－（2）（2022·全國乙卷文6題）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，則｜AB｜＝（B）A.2 B.22C.3 D.32解析：（2）法一由題意可知F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)A（y024，y0），由拋物線的定義可知｜AF｜＝y(tǒng)024＋1，又｜BF｜＝3－1＝2，由｜AF｜＝｜BF｜，可得y024＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2），不妨取A（1，2），故｜AB法二由題意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2，拋物線通徑為4，所以｜AF｜＝2為通徑的一半，所以AF⊥x軸，所以｜AB｜＝22＋22＝22規(guī)律方法拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧（1）利用拋物線方程確定其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算.練3（1）〔多選〕（2025·八省聯(lián)考）已知F（2，0）是拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)，M是C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).則（ABC）A.p＝4B.｜MF｜≥｜OF｜C.以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切D.當(dāng)∠OFM＝120°時(shí)，△OFM的面積為23（2）（2025·天津和平一模）圓x2＋y2＋6y－16＝0與拋物線x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線相交于A，B兩點(diǎn).若｜AB｜＝6，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，7）.解析：（1）因?yàn)镕（2，0）是拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)，所以p2＝2，即得p＝4，A選項(xiàng)正確；設(shè)M（x0，y0）在y2＝8x上，所以x0≥0，所以｜MF｜＝x0＋p2≥p2＝｜OF｜，B選項(xiàng)正確；因?yàn)橐訫為圓心且過F的圓半徑為｜MF｜＝x0＋2，等于M與C的準(zhǔn)線的距離，所以以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切，C選項(xiàng)正確；不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，當(dāng)∠OFM＝120°時(shí)，x0＞2，y0x0－2＝tan60°＝3，且y02＝8x0，y0＞0，所以3y02－8y0－163＝0，解得y0＝43或y0＝－433（舍），所以△OFM的面積為S△OFM＝12｜OF｜×｜y（2）如圖，拋物線x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線方程為y＝－p2，圓x2＋y2＋6y－16＝0即x2＋（y＋3）2＝25，圓心坐標(biāo)為（0，－3），半徑為5，［－3－（－p2）］2＋（｜AB｜2）2＝52，即（p2－3）2＝16，得p＝14或p＝－2（舍去），故拋物線的方程為x2＝28y，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（提能點(diǎn)拋物線中的最值（范圍）問題（1）已知點(diǎn)P為拋物線y2＝－4x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值為（B）A.52 B.C.2 D.2（2）設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若B（3，2），則｜PB｜＋｜PF｜的最小值為4.解析：（1）直線l：x＝1為拋物線y2＝－4x的準(zhǔn)線，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)F作直線x＋y－4＝0的垂線，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P為所作直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，d1＋d2的值最小，為點(diǎn)F到直線x＋y－4＝0的距離.∵F（－1，0），∴（d1＋d2）min＝|?1+0－4｜2＝（2）如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，連接P1F，則｜P1Q｜＝｜P1F｜.又F（1，0），則有｜PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜P1Q｜＝｜BQ｜＝4，即｜PB｜＋｜PF｜的最小值為4.變式若將本例（2）中的“B（3，2）”改為“B（3，4）”，則｜PB｜＋｜PF｜的最小值為25.解析：由題意可知點(diǎn)B（3，4）在拋物線的外部，因?yàn)椋黀B｜＋｜PF｜的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，所以｜PB｜＋｜PF｜≥｜BF｜＝22＋42＝25，即｜PB｜＋｜PF｜規(guī)律方法與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略（1）將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決；（2）將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”解決.練4（1）（2025·滄州一模）已知點(diǎn)P為拋物線x2＝8y上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：x2＋（y－5）2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則cos∠MPN的最小值為（D）A.32 B.23 C.910（2）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P（2，1）為拋物線C內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，M為C上的一動(dòng)點(diǎn)，｜MP｜＋｜MF｜的最小值為72，則p＝3解析：（1）因?yàn)椤螹PN＝2∠MPC，sin∠MPC＝｜MC｜｜PC｜＝1｜PC｜，設(shè)P（t，t28），則｜PC｜2＝t2＋（t＝164（t2－8）2＋24，當(dāng)t2＝8時(shí)，｜PC｜min＝26，此時(shí)∠MPN最大，cos∠MPN最小，且（cos∠MPN）min＝1－2sin2∠MPC＝1－2×（126）2＝1112.（2）根據(jù)題意畫圖，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，過P點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A1，由拋物線的定義可知，｜MP｜＋｜MF｜＝｜MP｜＋｜MA｜，由于M為C上的一動(dòng)點(diǎn)，則｜MP｜＋｜MF｜＝｜MP｜＋｜MA｜≥｜PA1｜＝xP＋p2＝72，當(dāng)且僅當(dāng)P，M，A三點(diǎn)共線時(shí)，取等號，此時(shí)2＋p2＝72，解得p一、單項(xiàng)選擇題1.拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，若｜PF｜＝5，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為（）A.4 B.3C.2 D.1解析：A根據(jù)題意，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），故｜PF｜＝xP＋1＝5，即xP＝4，即點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4.故選A.2.若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是（）A.x＋4＝0 B.x－4＝0C.y2＝8x D.y2＝16x解析：D依題意可知，點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到直線x＝－4的距離，因此其軌跡是拋物線，且p＝8，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，所以其方程為y2＝16x.故選D.3.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)P（－2，3）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.y2＝92B.x2＝43C.y2＝－92x或x2＝4D.y2＝92x或x2＝－4解析：C設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P（－2，3），解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝4.已知面積為3的等邊△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2＝2px（p＞0）上，則p＝（）A.36 B.C.23 D.2解析：A因?yàn)榈冗叀鱋AB的面積為3，所以｜OA｜＝2，不妨設(shè)點(diǎn)A是第一象限的點(diǎn)，則結(jié)合拋物線的對稱性可知A（3，1），所以1＝23p，解得p＝36.故選A5.躍鯉橋，為單孔石拱橋，該石拱橋內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖.當(dāng)水面寬度為24米時(shí)，該石拱橋的拱頂離水面的高度為12米，若以該石拱橋的拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋面為x軸（不考慮拱部頂端的厚度），豎直向上為y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（0，－3） B.（0，－6）C.（0，－12） D.（0，－24）解析：A如圖，AB為水面寬，BC為拱頂離水面的高度，故｜AB｜＝24，｜BC｜＝12，故B（12，－12）.設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py（p＞0），則144＝－2p×（－12），即p＝6，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－3）.故選A.6.已知A（3，2），拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上任意一點(diǎn)，則△PAF周長的最小值為（）A.32 B.5＋22C.5＋5 D.3＋22解析：C由題意，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－2，過點(diǎn)P作PH垂直于準(zhǔn)線且交準(zhǔn)線于H，則｜PF｜＝｜PH｜，由題可知，△PAF的周長為｜AF｜＋｜PA｜＋｜PF｜＝｜AF｜＋｜PA｜＋｜PH｜，又｜AF｜＝5，如圖，｜AF｜＋｜PA｜＋｜PH｜≥｜AF｜＋｜AH｜，當(dāng)A，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，△PAF的周長最小，且最小值為5＋5.故選C.7.（2025·哈爾濱模擬）過拋物線y2＝2x上的一點(diǎn)P作圓C：（x－4）2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)為A，B，則｜AB｜·｜PC｜的最小值是（）A.4 B.26C.6 D.42解析：B設(shè)P（x0，y0），則y02＝2x0，圓C的圓心C（4，0），半徑r＝1，由PA，PB切圓C于點(diǎn)A，B，得PC⊥AB，PA⊥AC，則｜AB｜·｜PC｜＝2S四邊形PACB＝4S△PAC＝2｜PA｜·｜AC｜＝2｜PC｜2－1＝2（x0－4）2＋y02－1＝2x02－6x0+15＝2（x二、多項(xiàng)選擇題8.（2025·南京模擬）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)F是拋物線C：y2＝ax（a＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（a2，1），B（a，b）（b＞0）在拋物線C上，則下列結(jié)論正確的是（A.C的準(zhǔn)線方程為x＝2B.b＝2C.OA·OB＝2D.1｜AF｜＋解析：BD點(diǎn)A（a2，1）（a＞0），B（a，b）（b＞0）在拋物線C上，則12＝a22，b2＝a2，解得a＝2，b＝2，則拋物線C：y2＝2x，A（22，1），B（2，2），拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－24，故A錯(cuò)誤，B正確；OA·OB＝22×2＋1×2＝1＋2，故C錯(cuò)誤；拋物線C的焦點(diǎn)F（24，0），則｜AF｜＝（24－229.（2024·新高考Ⅱ卷10題）拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線為l，P為C上動(dòng)點(diǎn).過P作☉A：x2＋（y－4）2＝1的一條切線，Q為切點(diǎn).過P作l的垂線，垂足為B.則（）A.l與☉A相切B.當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，｜PQ｜＝15C.當(dāng)｜PB｜＝2時(shí)，PA⊥ABD.滿足｜PA｜＝｜PB｜的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)解析：ABD對于A，易知l：x＝－1，故l與☉A相切，A正確；對于B，A（0，4），☉A的半徑r＝1，當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，P（4，4），所以｜PA｜＝4，｜PQ｜＝｜PA｜2－r2＝42－12＝15，故B正確；對于C，當(dāng)｜PB｜＝2時(shí)，P（1，2），B（－1，2）或P（1，－2），B（－1，－2），對于D，法一（直接法）設(shè)P（t24，t），由PB⊥l可得B（－1，t），又A（0，4），｜PA｜＝｜PB｜，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，t416＋（t－4）2＝t24＋1，整理得t2－16t＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136＞0，則關(guān)于t的方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)這樣的P法二（利用拋物線定義轉(zhuǎn)化）根據(jù)拋物線的定義，｜PB｜＝｜PF｜，這里F（1，0），于是｜PA｜＝｜PB｜時(shí)P點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成｜PA｜＝｜PF｜時(shí)P點(diǎn)的存在性問題，A（0，4），F(xiàn)（1，0），AF中點(diǎn)（12，2），AF中垂線的斜率為－1kAF＝14，于是AF的中垂線方程為：y＝14x＋158，與拋物線y2＝4x聯(lián)立可得y2－16y＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136＞0，即AF的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在兩個(gè)P點(diǎn)，使得｜PA三、填空題10.若在拋物線y2＝－4x上存在一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到點(diǎn)A（－2，1）的距離之和最小，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為（－14，1）解析：如圖，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0）.依題意可知當(dāng)A，P及P到準(zhǔn)線的垂足Q三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)F與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離之和最小，故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1.將y＝1代入拋物線方程求得x＝－14，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－14，1）11.已知拋物線Γ：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M在Γ上，MN⊥l，∠NFM＝30°，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為13解析：如圖所示，過點(diǎn)F作FH⊥NM于點(diǎn)H，顯然拋物線Γ：y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l：x＝－1，由拋物線定義有｜MF｜＝｜MN｜，結(jié)合∠NFM＝30°得∠NMF＝180°－2×30°＝120°，而｜MF｜＝｜MN｜＝xM＋1，｜MH｜＝｜MF｜c(diǎn)os60°＝12（xM＋1），所以｜MN｜＋｜MH｜＝xM＋1＋12（xM＋1）＝1－（－1）＝2?xM＝112.（2024·上海閔行模擬）已知曲線C由拋物線x2＝4y及拋物線x2＝－4y組成，若A（4，3），B（4，－3），D，E是曲線C上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，A，B，D，E四點(diǎn)不共線，其中點(diǎn)D在第一象限，則四邊形ABED周長的最小值為4＋45.解析：設(shè)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，則p＝2，∴F（0，1），根據(jù)對稱可知四邊形ABED為等腰梯形，∴四邊形ABED的周長CABED＝｜AB｜＋｜DE｜＋2｜AD｜＝6＋2yD＋2｜AD｜＝6＋2（｜DF｜－p2）＋2｜AD｜＝4＋2（｜DF｜＋｜AD｜）≥4＋2｜AF｜，當(dāng)且僅當(dāng)A，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，又｜AF｜＝42＋22＝25，∴四邊形ABED周長的最小值為4四、解答題13.已知焦點(diǎn)在y軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線C1經(jīng)過點(diǎn)P（2，2），以C1上一點(diǎn)C2為圓心的圓過定點(diǎn)A（0，1），記M，N為圓C2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).（1）求拋物線C1的方程；（2）當(dāng)圓心C2在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷｜MN｜是否為一定值？請證明你的結(jié)論.解：（1）由題意，設(shè)拋物線方程為x2＝2py（p＞0），代入P（2，2），得p＝1，∴拋物線C1的方程為x2＝2y.（2）設(shè)圓的圓心C2（a，b），則a2＝2b，且圓的半徑r＝a2∴圓被x軸截得的弦長為｜MN｜＝2r2－b2＝2a2＋b2－2b+1－b2＝∴｜MN｜是一定值.14.已知橢圓C1和拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，從C1，C2上分別取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：x2122y32022（1）求C1和C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若C1和C2交于不同的兩點(diǎn)A，B，求OA·OB的值.解：（1）設(shè)拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px（p＞0），則2p＝y(tǒng)2結(jié)合表格數(shù)據(jù)，因?yàn)?21＝（2所以點(diǎn)（1，2），（2，22）在拋物線C2上，且2p＝4，解得p＝2，所以拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.將點(diǎn)（22，32），（2，0）代入橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2＋y2b2＝1（得12a2＋34b2=1，2所以橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22＋y2＝（2）根據(jù)對稱性，可設(shè)A（x0，y0），則B（x0，－y0），聯(lián)立方程組y2=4x，x2+2y2=2，消y解得x1＝－4－32，x2＝－4＋32，因?yàn)閤＝y(tǒng)24≥0，所以x0＝32－所以O(shè)A·OB＝x02－y02＝x02－4x0＝（32－4）2