第10節(jié)函數(shù)模型的應(yīng)用【課標(biāo)要求】（1）了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異；（2）理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義；（3）能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.知識點一用函數(shù)圖象刻畫變化過程三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax（a＞1）y＝logax（a＞1）y＝xα（α＞0）在（0，＋∞）上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨α值的變化而各有不同（1）（人A必修一P139練習(xí)4題改編）在一次實驗中，某小組測得一組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，11），并由實驗數(shù)據(jù)得到散點圖.由此散點圖，在區(qū)間[－2，3]上，下列四個函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是（B）A.y＝a＋bx B.y＝a＋bxC.y＝a＋logbx D.y＝a＋b解析：（1）由散點圖的定義域可排除C、D選項，由散點圖的增長方式可知函數(shù)模型為指數(shù)型.（2）（2025·西安模擬）高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數(shù)v＝f（h）的大致圖象是（B）解析：（2）由圖可知水深h越大，水的體積v就越大，故函數(shù)v＝f（h）是個增函數(shù)，故排除A、C項，由魚缸形狀可知，下面細(xì)中間粗上面細(xì)，所以隨著水深的增加，體積的變化的速度是先慢后快再慢，所以B正確.規(guī)律方法用函數(shù)圖象刻畫變化過程的2種方法（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象；（2）驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.練1（1）已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動.設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f（x）的圖象是（D）解析：（1）依據(jù)題意，有S＝f（x）＝2x，0<x≤4，8，4<x≤8，24－2x，8<x（2）〔多選〕血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人服用該藥物的說法中，正確的是（ABC）A.首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用B.每次服用1單位該藥物，兩次服藥間隔小于2小時時，一定會產(chǎn)生藥物中毒C.首次服用1單位該藥物，約5.5小時后第二次服用1單位該藥物，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D.首次服用1單位該藥物，3小時后再次服用1單位該藥物，不會發(fā)生藥物中毒解析：（2）從圖象可以看出，首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用1單位該藥物，約1小時后血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時時，一定會產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時時，血藥濃度等于最低有效濃度，此時再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；首次服用1單位該藥物4小時后與再次服用1單位該藥物1小時后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會發(fā)生藥物中毒，D錯誤.知識點二已知函數(shù)模型解決實際問題幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f（x）＝ax＋b（a，b為常數(shù)，a≠0）二次函數(shù)模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）反比例函數(shù)模型f（x）＝kx＋b（k，b為常數(shù)，k≠0指數(shù)函數(shù)模型f（x）＝bax＋c（a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0）對數(shù)函數(shù)模型f（x）＝blogax＋c（a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0）冪函數(shù)模型f（x）＝axα＋b（a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0）（1）（2024·北京高考7題）生物豐富度指數(shù)d＝S－1lnN是河流水質(zhì)的一個評價指標(biāo)，其中S，N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由N1變?yōu)镹2，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則（A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1C.N22＝N13 解析：（1）由題意，得S－1lnN1＝2.1，S－1lnN2＝3.15.若S不變，則2.1lnN1＝3.15lnN2，即2lnN（2）（蘇教必修一P241例4改編）根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標(biāo)準(zhǔn)》，文化娛樂場所室內(nèi)甲醛濃度≤0.1mg/m3為安全范圍.已知某新建文化娛樂場所竣工時室內(nèi)甲醛濃度為6.05mg/m3，使用了甲醛噴劑并處于良好通風(fēng)環(huán)境下時，室內(nèi)甲醛濃度μ（t）（單位：mg/m3）與竣工后保持良好通風(fēng)的時間t（t∈N）（單位：天）近似滿足函數(shù)關(guān)系式μ（t）＝λe－t7＋0.05（λ∈R），則該文化娛樂場所竣工后的甲醛濃度要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時間為（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（A.32天 B.33天C.34天 D.35天解析：（2）依題意可知當(dāng)t＝0時，μ（t）＝6.05，即6.05＝λe－07＋0.05，解得λ＝6，所以μ（t）＝6e－t7＋0.05，由μ（t）＝6e－t7＋0.05≤0.1，得e－t7≤1120，即－t7≤ln1120，即t7≥ln120＝3ln2＋ln3＋ln5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6規(guī)律方法已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；（2）根據(jù)已知，利用待定系數(shù)法確定模型中的待定系數(shù)；（3）利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進(jìn)行檢驗.練2（1）（2025·龍巖一模）聲音的等級f（x）（單位：dB）與聲音強度x（單位：ω/m2）滿足f（x）＝10×lgx10－12.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB.若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的108倍，A.120dB B.100dBC.80dB D.60dB解析：D設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為x1，x2，由題意可得f（x1）＝10×lgx110－12＝140，解得x1＝102，因為x1x2＝102x2＝108，所以x2＝10－6，所以f（10－6）＝10×lg（2）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）隨時間x（小時）變化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式f（x）＝5x－2，0≤x≤1，35·13x，x>1，《解：當(dāng)0≤x≤1時，由f（x）≤0.02，得5x－2≤0.02，解得x≤2＋log50.02＝log50.5＜0，不符合題意；當(dāng)x＞1時，由f（x）≤0.02，得35·13x≤0.02，即31－x≤0.1，解得x≥1－log30.1＝1＋log因為3＜1＋log310＜4，所以此駕駛員至少要過4小時后才能開車.提能點構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題（1）“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水面上實現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好.小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時的速度為20m/s，然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳.不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的85%，若石片接觸水面時的速度低于6m/s，石片就不再彈跳，沉入水底，則小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg17≈1.23）（C）A.6 B.7C.8 D.9解析：（1）設(shè)石片第n次接觸水面時的速度為vn，則vn＝20×0.85n－1，由題意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤log0.850.3，又log0.850.3＝lg0.3lg0.85＝lg3－1lg85－2＝lg3－1lg17+lg5－2＝lg3－1lg17－lg2－1≈7.4，（2）某養(yǎng)殖場需定期購買飼料，已知該場每天需要飼料200kg，每千克飼料的價格為1.8元，飼料的保管費用與其他費用為平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元.則該場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少.解析：（2）設(shè)該場x（x∈N*）天購買一次飼料平均每天支付的總費用最少，平均每天支付的總費用為y元，因為飼料的保管費用與其他費用每天比前一天少200×0.03＝6（元），所以x天飼料的保管費用與其他費用一共是6（x－1）＋6（x－2）＋…＋6＝3x2－3x（元）.從而有y＝1x（3x2－3x＋300）＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417，當(dāng)且僅當(dāng)300x＝3x，即x＝10時，y有最小值.故該場規(guī)律方法構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟（1）建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；（2）推理、運算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；（3）評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解.練3（1）某地錳礦石原有儲量為a萬噸，計劃每年的開采量為本年年初儲量的m（0＜m＜1，且m為常數(shù)）倍，那么第n（n∈N*）年開采完成后剩余儲量為a（1－m）n萬噸，按該計劃方案使用10年時間開采到原有儲量的一半.若開采到剩余儲量為原有儲量的70%，則需開采約（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4）（B）A.4年 B.5年C.6年 D.8年解析：設(shè)第n（n∈N*）年開采完成后剩余儲量為y萬噸，則y＝a（1－m）n，當(dāng)n＝10時，y＝12a，所以12a＝a（1－m）10，又a＞0，所以12＝（1－m）10，1－m＝12110，進(jìn)而y＝a12n10.當(dāng)y＝70%a時，7a10＝a12n10，710＝12n10，即n10＝log12710＝log（2）近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便.某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬元.由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P（單位：萬元）與投入a（單位：萬元）滿足P＝32a－6，乙城市收益Q（單位：萬元）與投入A（單位：萬元）滿足Q＝14A＋2，解：設(shè)甲城市投資a萬元，則乙城市投資（120－a）萬元，由題意可知40≤a<120，40≤120－a<120設(shè)投資這兩座城市收益為y，則有y＝32a－6＋14（120－a）＋2＝32a－14令a＝t?t∈[210，45]，則有f（t）＝－14t2＋32t＋26，該二次函數(shù)的圖象開口向下，且對稱軸t＝62∈[210，45]所以f（t）max＝f（62）＝－14×（62）2＋32×62＋26＝44故投資這兩座城市收益最大值為44萬元.一、單項選擇題1.（2025·內(nèi)江模擬）現(xiàn)有一組關(guān)于速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的實驗數(shù)據(jù)如表：t2.03.04.05.16.18v1.54.027.51218.3用下列函數(shù)中的一個近似地表示這組數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）A.v＝log2t B.v＝log1C.v＝t2－12 D.v＝解析：C從表中數(shù)據(jù)的變化趨勢看，函數(shù)遞增的速度不斷加快，A項，是對數(shù)函數(shù)模型，其遞增速度越來越慢，不符合題意；B項，隨著t的增大，速度變小，不符合題意，C項，是二次函數(shù)模型，對比數(shù)據(jù)，其最接近實驗數(shù)據(jù)的變化趨勢，符合題意；D項，是一次函數(shù)模型，增長速度不變，不符合題意.2.（2025·衡陽一模）有一貨船從石塘沿水路順?biāo)叫?，前往河口，途中因故障停留一段時間，到達(dá)河口后逆水航行返回石塘.假設(shè)貨船在靜水中的速度不變，水流速度不變，若該貨船從石塘出發(fā)后所用的時間為x（小時），貨船距石塘的距離為y（千米），則下列各圖中，能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）解析：A分析圖象可知選項A正確.故選A.3.我們處在一個有聲世界里，不同場合，人們對聲音的音量會有不同要求.音量大小的單位是分貝（dB），對于一個強度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計算：η＝10lgII0（其中I0是人耳能聽到聲音的最低聲波強度），則70dB的聲音的聲波強度I1是60dB的聲音的聲波強度I2的（A.76倍 B.107C.10倍 D.ln76解析：C由η＝10lgII0得I＝I010η10，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以I1I2＝10，所以70dB的聲音的聲波強度I1是60dB4.（2025·赤峰模擬）某城市對一種每件售價為160元的商品征收附加稅，稅率為R%（即每銷售100元征稅R元），若年銷售量為（30－52R）萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是（A.[4，8] B.[6，10]C.[4%，8%] D.[6%，10%]解析：A根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，則（30－52R）×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8.所以R的取值范圍是[4，8]，故選A5.（2025·福州模擬）當(dāng)藥品A注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會以每小時25%的速度減少，另一種藥物B注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會以每小時10%的速度減少.現(xiàn)同時給兩位患者分別注射800mg藥品A和500mg藥品B，當(dāng)兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等時，所經(jīng)過的時間約為（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）A.0.57h B.1.36hC.2.58h D.3.26h解析：C設(shè)經(jīng)過t小時后兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等，由題意得800×（1－25%）t＝500×（1－10%）t，整理得（56）t＝58，兩邊取常用對數(shù)得tlg56＝lg58，即t（lg5－lg6）＝lg5－lg8，即t（1－2lg2－lg3）＝1－4lg2，所以t＝1－4lg21－2lg2－lg3，即t≈1－4×0.3011－2×0二、多項選擇題6.（2025·寶雞一模）某大型商場開業(yè)期間為吸引顧客，推出“單次消費滿100元可參加抽獎”的活動，獎品為本商場現(xiàn)金購物卡，可用于以后在該商場消費.抽獎結(jié)果共分5個等級，等級x與購物卡的面值y（元）的關(guān)系式為y＝eax＋b＋k，3等獎比4等獎的面值多100元，比5等獎的面值多120元，且4等獎的面值是5等獎的面值的3倍，則（）A.a＝－ln5B.k＝15C.1等獎的面值為3130元D.3等獎的面值為130元解析：ACD由題意可知，4等獎比5等獎的面值多20元，因為100÷20＝5，所以（e3a＋b＋k)?(e4a＋b＋k）（e4a＋b＋k)?(e5a＋b＋k）＝e－a＝5，則a＝－ln5，A正確；由（e3a＋b＋k）－（e4a＋b＋k）＝e3a＋b（1－ea）＝100，可知e3a＋b＝125.因為4等獎的面值是5等獎的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3（e5a＋b＋k），解得k＝5，B錯誤；則3等獎的面值為e3a＋b＋k＝125＋5＝130元，D正確；由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－7.（2023·新高考Ⅰ卷10題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p2解析：ACD由Lp＝20×lgpp0，得p＝p0×10Lp20.由題表中的數(shù)據(jù)可知p0×103≤p1≤p0×1092，p0×1052≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝100p0，故A、C正確；因為10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B錯誤；因為p0×1092≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，三、填空題8.某地要建造一批外形為長方體的簡易工作房，如圖所示.房子的高度為3m，占地面積為6m2，墻體ABFE和DCGH的造價均為80元/m2，墻體ADHE和BCGF的造價均為120元/m2，地面和房頂?shù)脑靸r共2000元.則一個這樣的簡易工作房的總造價最低為4880元.解析：設(shè)AB＝x，x＞0，則BC＝6x，則這個簡易工作房總造價為2×3x×80＋2×6x×3×120＋2000＝480x＋4320x＋2000，因為480x＋4320x＋2000≥2480x·4320x＋2000＝4880，當(dāng)且僅當(dāng)480x＝9.（2025·葫蘆島一模）某景區(qū)套票原價300元/人，如果多名游客組團(tuán)購買套票，現(xiàn)有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價打9折，若人數(shù)不低于50，則票價打8折；若人數(shù)不低于100，則票價打7折.不重復(fù)打折.方案二：按原價計算，總金額每滿5000元減1000元.已知一個旅游團(tuán)有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則這個旅游團(tuán)購票總費用的最小值為11710元.解析：方案一：滿10人可打9折，則單人票價為270元，方案二：滿5000元減1000元，按原價計算5000300≈16.7，則滿5000元至少需湊齊17人，17×300－1000＝5100－1000＝4100，則單人票價為410017≈241.滿10000元時，10000300≈33.3，則需34人，單人票價為241元，滿15000元時，15000300＝50，人數(shù)不足.因為241＜270，所以用方案二先購買34張票，剩余13人不滿足方案二，但滿足方案一，所以總費用的最小值為34×300－2000＋13×10.（2025·海南模擬）“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸?！?，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會的進(jìn)步，人們的環(huán)保意識日益增強.某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么在排放前需要過濾的次數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.477）8.解析：過濾第1次污染物的含量為1.2×（1－0.2）（mg/cm3）；過濾第2次污染物的含量為1.2×（1－0.2）2（mg/cm3）；過濾第3次污染物的含量為1.2×（1－0.2）3（mg/cm3）；…；過濾第n次污染物的含量為1.2×（1－0.2）n（mg/cm3）.要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg/cm3，則1.2（1－0.2）n≤0.2，即（54）n≥6，兩邊取以10為底的對數(shù)可得lg（54）n≥lg6，即nlg（5×28）≥lg2＋lg3，所以n≥lg2+lg31－3lg2，因為lg2≈0.3，lg3≈0.477，所以lg2+lg31－3lg2≈0.3+0.4771－3×0.3＝7.77，所以n四、解答題11.（2025·蘇州期末）“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點.研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定條件下，每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4≤x≤20時，v是x的一次函數(shù)；當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年.（1）當(dāng)0＜x≤20時，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量（