重難專攻（十三）圓錐曲線中的創(chuàng)新類問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點(diǎn)解讀隨著高考改革的不斷深入，高考對(duì)學(xué)生知識(shí)遷移能力、數(shù)學(xué)思維能力、探究能力的考查不斷加強(qiáng)，圓錐曲線中的創(chuàng)新類問題成為了高考命題的熱點(diǎn)，圓錐曲線中的創(chuàng)新類問題一般可分為兩類：一是“新定義曲線”（如2024·新高考Ⅰ卷11題），二是“新定義交匯題”（如2024·新高考Ⅱ卷19題）.對(duì)于“新定義曲線”類問題，要研透“新曲線”的定義和性質(zhì)，從特殊到一般，結(jié)合已學(xué)過(guò)的知識(shí)、方法去解決問題.對(duì)于“新定義交匯題”，圓錐曲線可與函數(shù)、數(shù)列、向量等結(jié)合，解這類問題要在深刻理解對(duì)應(yīng)知識(shí)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)并挖掘題目中蘊(yùn)含的信息，靈活變換角度，轉(zhuǎn)化為“熟悉”的問題去解決.目錄CONTENTS提能點(diǎn)1新定義曲線01.提能點(diǎn)2新定義交匯問題02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01提能點(diǎn)1新定義曲線

〔多選〕（2024·新高考Ⅰ卷11題）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶，其造型

可

以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足：橫

坐標(biāo)大于－2；到點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線x＝a（a＜0）的距離之

積為4.則（

）A.

a＝－2B.

點(diǎn)（2

，0）在C上C.

C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.

當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在C上時(shí)，y0≤

√√√

規(guī)律方法

對(duì)于“新定義曲線”類問題，理解“新曲線”的定義（方程）是關(guān)

鍵，通過(guò)“新曲線”的定義（方程）結(jié)合圖形，與學(xué)過(guò)的研究圓錐曲線的

思路及方法進(jìn)行合理聯(lián)想，利用曲線與方程思想即可解決問題.練1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l：ax＋by＋c＝0和點(diǎn)P1（x1，

y1），P2（x2，y2），記η＝（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c），若η＜0，

則稱點(diǎn)P1，P2被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點(diǎn)，且曲線C上存

在點(diǎn)P1，P2被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線.（1）求證：點(diǎn)A（1，2），B（－1，0）被直線x＋y－1＝0分隔；解：證明：由題得η＝（1＋2－1）×（－1＋0－1）＝－4＜0，∴點(diǎn)

A，B被直線x＋y－1＝0分隔.（2）若直線y＝kx是曲線x2－4y2＝1的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q（0，2）的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌

跡為曲線E，求證：通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線.

PART02提能點(diǎn)2新定義交匯問題

〔多選〕箕舌線因意大利著名的女?dāng)?shù)學(xué)家瑪麗亞·阿涅西的深入研究

而聞名于世.如圖所示，過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線交定圓x2＋y2－ay＝0（a＞0）于

點(diǎn)P，交直線y＝a于點(diǎn)Q，過(guò)P和Q分別作x軸和y軸的平行線交于點(diǎn)

M，則點(diǎn)M的軌跡叫做箕舌線.記箕舌線函數(shù)為f（x），設(shè)∠AOQ＝θ，

下列說(shuō)法正確的是（

）A.

f（x）是偶函數(shù)B.

點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM＝

C.

點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM＝a

cos2θD.

f（x）的值域是（－∞，1]√√

規(guī)律方法

①求證：A'O⊥B'F2；②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值；

PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)

A.

E關(guān)于y軸對(duì)稱B.

E上的點(diǎn)到x軸、y軸的距離之積不超過(guò)

C.

E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為

D.

曲線E所圍成圖形的面積小于21234567√√√

12345672.

〔多選〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)F1（－a，0），F(xiàn)2（a，

0）距離之積等于a2（a＞0）的點(diǎn)的軌跡是雙紐線C.

若雙紐線C對(duì)應(yīng)的a

＝2，點(diǎn)P（x0，y0）為雙紐線C上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

（

）A.

C不關(guān)于x軸對(duì)稱B.

C關(guān)于y軸對(duì)稱C.

直線y＝x與C只有一個(gè)交點(diǎn)D.

C上存在點(diǎn)P，使得｜PF1｜＝｜PF2｜√√√1234567

12345673.

〔多選〕如圖，曲線C：x3＋y3－3axy＝0（a＞0）過(guò)原點(diǎn)，其漸近線

方程為l：x＋y＋a＝0，則（

）A.

C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱B.

點(diǎn)（a，a）位于曲線C圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）外C.

若（x0，y0）在C上，則－a＜x0＋y0≤3aD.

曲線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值

為

√√√1234567

1234567

12345674.

Cas

sin

i卵形線是由法國(guó)天文家Jean-DominiqueCas

sin

i（1625—1712）

引入的.卵形線的定義是：線上的任何點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)S1，S2的距離的乘積

等于常數(shù)b2.b是正常數(shù)，設(shè)S1，S2的距離為2a，如果a＜b，就得到一個(gè)

沒有自交點(diǎn)的卵形線；如果a＝b，就得到一個(gè)雙紐線；如果a＞b，就得

到兩個(gè)卵形線.若S1（－1，0），S2（1，0）.動(dòng)點(diǎn)P滿足｜PS1｜·｜

PS2｜＝1.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

?；若A‘和A是軌跡C與x軸交點(diǎn)中距離最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，則△APA'面積的最大值為

?.（x2＋y2）2－2（x2－y2）＝0

1234567解析：設(shè)P（x，y），∵｜PS1｜·｜PS2｜＝1，∴[（x－1）2＋

y2][（x＋1）2＋y2]＝1，即（x2＋y2）2－2（x2－y2）＝0，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌

跡C的方程為：（x2＋y2）2－2（x2－y2）＝0；

12345675.

直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如k'（x－2）－（y－

1）＝0表示過(guò)點(diǎn)（2，1）且斜率存在的直線族，y＝x＋t'表示斜率為1的直

線族.直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某

點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.（1）若直線族mx＋ny＋1＝0（m，n∈R）的包絡(luò)曲線是圓O：x2＋y2＝

16，求m，n滿足的關(guān)系式；

1234567（2）若點(diǎn)M（x0，y0）不在直線族Φ：2λx－8y－λ2＝0（λ∈R）的任

意一條直線上，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)x0，求y0的取值范圍和直線族Φ的包絡(luò)曲

線E.

1234567

1234567

（1）指出xOy平面截曲面C所得交線是什么曲線，并說(shuō)明理由；1234