**一、教學(xué)背景**“一筆畫”是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題，涉及圖論的基礎(chǔ)概念（如頂點(diǎn)、邊、連通性），同時(shí)與生活場(chǎng)景（如路徑規(guī)劃、圖案設(shè)計(jì)）密切相關(guān)。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“核心素養(yǎng)導(dǎo)向”，要求學(xué)生通過“做中學(xué)”發(fā)展邏輯推理（歸納規(guī)律）、直觀想象（圖形感知）和應(yīng)用意識(shí)（解決實(shí)際問題）。傳統(tǒng)教學(xué)多以“講授定理+練習(xí)鞏固”為主，學(xué)生易陷入“機(jī)械記憶”。本設(shè)計(jì)采用探究式教學(xué)與跨學(xué)科融合（數(shù)學(xué)+美術(shù)），讓學(xué)生在“嘗試—記錄—分析—總結(jié)”中自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并通過“圖案創(chuàng)作”實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣與創(chuàng)新思維。**二、教學(xué)目標(biāo)**1.知識(shí)與技能理解“一筆畫”的定義（連續(xù)不重復(fù)畫完所有邊，頂點(diǎn)可重復(fù)經(jīng)過）；掌握“奇點(diǎn)”（連接奇數(shù)條邊的頂點(diǎn)）、“偶點(diǎn)”（連接偶數(shù)條邊的頂點(diǎn)）的概念；能運(yùn)用歐拉定理（連通圖的一筆畫條件：奇點(diǎn)數(shù)量為0或2）判斷圖形是否可一筆畫，并確定起點(diǎn)/終點(diǎn)。2.過程與方法通過“嘗試畫圖形”“統(tǒng)計(jì)奇點(diǎn)偶點(diǎn)”等活動(dòng)，培養(yǎng)歸納推理能力；通過“生活問題轉(zhuǎn)化”（如路徑規(guī)劃），提升數(shù)學(xué)建模能力；通過“一筆畫圖案創(chuàng)作”，發(fā)展跨學(xué)科應(yīng)用（數(shù)學(xué)+美術(shù)）能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀在探究中體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的樂趣，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心；在解決實(shí)際問題中感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心；在圖案創(chuàng)作中培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，體會(huì)“數(shù)學(xué)之美”。**三、教學(xué)重難點(diǎn)**重點(diǎn)：掌握一筆畫的判斷方法（歐拉定理）；難點(diǎn)：理解“奇點(diǎn)”“偶點(diǎn)”與一筆畫的關(guān)系；創(chuàng)新點(diǎn)：將“數(shù)學(xué)規(guī)律”與“美術(shù)創(chuàng)作”結(jié)合，實(shí)現(xiàn)“知識(shí)—應(yīng)用—?jiǎng)?chuàng)新”的閉環(huán)。**四、教學(xué)方法與工具**1.教學(xué)方法探究式教學(xué)：讓學(xué)生通過“嘗試畫圖形”自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律；項(xiàng)目式學(xué)習(xí)：以“設(shè)計(jì)一筆畫圖案”為項(xiàng)目，驅(qū)動(dòng)知識(shí)應(yīng)用；跨學(xué)科融合：結(jié)合美術(shù)中的“構(gòu)圖設(shè)計(jì)”，讓數(shù)學(xué)知識(shí)具象化。2.教學(xué)工具多媒體（PPT展示生活場(chǎng)景、圖形示例）；實(shí)物教具（圖釘、棉線，用于模擬“一筆畫”過程）；探究記錄表（用于記錄圖形的奇點(diǎn)/偶點(diǎn)數(shù)量與一筆畫結(jié)果）；繪畫工具（彩筆、畫紙，用于圖案創(chuàng)作）。**五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)**本設(shè)計(jì)適用于小學(xué)高段（4-6年級(jí)）或初中低年級(jí)，課時(shí)為1課時(shí)（40分鐘）。**環(huán)節(jié)1：情境導(dǎo)入——問題引發(fā)興趣（5分鐘）**教師活動(dòng)：展示兩張圖片（圖1：公園路徑圖，圖2：快遞員派件路線圖），提出問題：“公園有5條路徑，能否從入口出發(fā)，不重復(fù)走任何一條路，逛完整個(gè)公園？”“快遞員要送3個(gè)小區(qū)，能否從快遞站出發(fā)，不重復(fù)走任何一條街道，送完所有快遞？”學(xué)生活動(dòng)：分組討論（2人一組），嘗試用筆畫出路徑，分享想法。設(shè)計(jì)意圖：用生活中的真實(shí)問題引發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受到“一筆畫”的實(shí)用性，激發(fā)探究欲望。**環(huán)節(jié)2：探究新知——從具體到抽象（20分鐘）**（1）定義感知：什么是“一筆畫”？（3分鐘）教師活動(dòng)：展示三個(gè)圖形（圖A：三角形，圖B：正方形，圖C：“田”字），讓學(xué)生嘗試用一筆畫完，總結(jié)“一筆畫”的特點(diǎn)：連續(xù)不斷，不抬筆；每條邊只畫一次；頂點(diǎn)可以重復(fù)經(jīng)過。學(xué)生活動(dòng)：動(dòng)手嘗試，分享成功/失敗的經(jīng)驗(yàn)。結(jié)論：圖A、圖B能一筆畫，圖C不能。（2）關(guān)鍵概念：奇點(diǎn)與偶點(diǎn)（7分鐘）教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察“頂點(diǎn)”的特征——每個(gè)頂點(diǎn)連接的邊數(shù)不同：定義：連接奇數(shù)條邊的頂點(diǎn)為“奇點(diǎn)”（如“日”字的兩個(gè)端點(diǎn)）；定義：連接偶數(shù)條邊的頂點(diǎn)為“偶點(diǎn)”（如三角形的頂點(diǎn)，連接2條邊）。學(xué)生活動(dòng)：用“探究記錄表”（見表1）統(tǒng)計(jì)圖A、圖B、圖C的奇點(diǎn)/偶點(diǎn)數(shù)量：圖形頂點(diǎn)總數(shù)奇點(diǎn)數(shù)量偶點(diǎn)數(shù)量能否一筆畫三角形303能正方形404能“田”字440不能設(shè)計(jì)意圖：通過“統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)”讓學(xué)生直觀感知“奇點(diǎn)數(shù)量”與“一筆畫”的關(guān)系，為后續(xù)歸納定理做鋪墊。（3）規(guī)律總結(jié)：歐拉定理（10分鐘）教師活動(dòng)：展示更多圖形（圖D：“日”字，圖E：五角星，圖F：“回”字），讓學(xué)生繼續(xù)統(tǒng)計(jì)奇點(diǎn)/偶點(diǎn)數(shù)量，并嘗試一筆畫，引導(dǎo)學(xué)生歸納規(guī)律：?jiǎn)栴}：“能一筆畫的圖形，奇點(diǎn)數(shù)量有什么共同點(diǎn)？”結(jié)論：歐拉定理（連通圖）：①若奇點(diǎn)數(shù)量為0：能一筆畫，起點(diǎn)=終點(diǎn)（閉合圖形，如三角形、正方形）；②若奇點(diǎn)數(shù)量為2：能一筆畫，起點(diǎn)/終點(diǎn)為這兩個(gè)奇點(diǎn)（開放圖形，如“日”字、五角星）；③若奇點(diǎn)數(shù)量≥4：不能一筆畫（如“田”字、“回”字）。學(xué)生活動(dòng)：驗(yàn)證“日”字（奇點(diǎn)數(shù)量2，能一筆畫）、“回”字（奇點(diǎn)數(shù)量4，不能一筆畫），鞏固規(guī)律。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過“大量實(shí)例”自主歸納定理，避免“死記硬背”，發(fā)展邏輯推理能力。**環(huán)節(jié)3：應(yīng)用拓展——從理論到實(shí)踐（8分鐘）**（1）解決生活問題（5分鐘）教師活動(dòng)：回到導(dǎo)入環(huán)節(jié)的“公園路徑圖”（圖1），將其轉(zhuǎn)化為“圖論模型”（頂點(diǎn)=景點(diǎn)，邊=路徑），讓學(xué)生統(tǒng)計(jì)奇點(diǎn)數(shù)量：若奇點(diǎn)數(shù)量為0或2，則能設(shè)計(jì)出“不重復(fù)路徑”；若奇點(diǎn)數(shù)量≥4，則需要調(diào)整路徑（如重復(fù)走某條路）。學(xué)生活動(dòng)：分組計(jì)算，分享解決方案（如“公園路徑圖有2個(gè)奇點(diǎn)，能從入口（奇點(diǎn)）出發(fā)，不重復(fù)走任何路徑，到達(dá)出口（另一個(gè)奇點(diǎn)）”）。（2）跨學(xué)科創(chuàng)作：一筆畫圖案設(shè)計(jì)（3分鐘）教師活動(dòng)：展示美術(shù)中的“一筆畫圖案”（如纏枝紋、抽象畫），提出任務(wù)：“用一筆畫設(shè)計(jì)一個(gè)圖案，可以是動(dòng)物、植物或抽象圖形，要求符合一筆畫規(guī)則。”學(xué)生活動(dòng)：構(gòu)思圖案，嘗試用彩筆繪制（如“小魚”：用三角形做身體，曲線做尾巴，奇點(diǎn)數(shù)量2，能一筆畫）。**環(huán)節(jié)4：總結(jié)與評(píng)價(jià)（5分鐘）**（1）知識(shí)總結(jié)（2分鐘）教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧“一筆畫”的核心內(nèi)容：定義：連續(xù)不重復(fù)畫完所有邊；關(guān)鍵概念：奇點(diǎn)（奇數(shù)條邊）、偶點(diǎn)（偶數(shù)條邊）；規(guī)律：連通圖的奇點(diǎn)數(shù)量為0或2時(shí)，能一筆畫。（2）多元評(píng)價(jià)（3分鐘）評(píng)價(jià)方式：自評(píng)：填寫“學(xué)習(xí)反思表”（如“我掌握了奇點(diǎn)的判斷方法嗎？”“我設(shè)計(jì)的圖案有創(chuàng)意嗎？”）；互評(píng)：小組內(nèi)分享圖案，投票選出“最具創(chuàng)意獎(jiǎng)”；教師評(píng)：針對(duì)探究過程（如“是否主動(dòng)嘗試”“是否參與討論”）和結(jié)果（如“規(guī)律總結(jié)是否正確”“圖案是否符合規(guī)則”）給予反饋。設(shè)計(jì)意圖：通過多元評(píng)價(jià)，關(guān)注學(xué)生的“過程性發(fā)展”（如探究能力、合作能力）和“結(jié)果性達(dá)成”（如知識(shí)掌握、創(chuàng)新成果）。**六、教學(xué)反思與改進(jìn)建議**1.成功之處情境導(dǎo)入貼近生活，激發(fā)了學(xué)生的興趣；探究過程讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，避免了“填鴨式”教學(xué)；跨學(xué)科創(chuàng)作讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的“美”與“用”，提升了學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。2.改進(jìn)方向?qū)τ趯W(xué)困生，可增加“奇點(diǎn)/偶點(diǎn)”的直觀練習(xí)（如用實(shí)物圖釘和線模擬頂點(diǎn)與邊，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)邊數(shù)）；可拓展“多筆畫”問題（如“田”字需要2筆，因?yàn)槠纥c(diǎn)數(shù)量4，4÷2=2），滿足優(yōu)生的需求；可將“圖案創(chuàng)作”延伸到課后，讓學(xué)生用電腦軟件（如Photoshop）設(shè)計(jì)更復(fù)雜的一筆畫圖案，提升技術(shù)應(yīng)用能力。**七、結(jié)語**“一筆畫”教學(xué)的核心不是“記住定理”，而是“學(xué)會(huì)思考”——從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，通過探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再將規(guī)律應(yīng)用到生活與藝術(shù)中。本設(shè)計(jì)通過“情境—探究—應(yīng)用—?jiǎng)?chuàng)新”的閉環(huán)，實(shí)現(xiàn)了“核心素養(yǎng)”的落地，讓學(xué)生在“玩”中學(xué)習(xí)，在“做”中成長(zhǎng)。未來，可進(jìn)一步拓展“一筆畫”的應(yīng)用場(chǎng)景（如城市交通規(guī)劃、機(jī)器人路徑設(shè)計(jì)），讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)代科技的聯(lián)系，激發(fā)更深遠(yuǎn)的學(xué)習(xí)興趣。附錄：探究記錄表（示例）圖形名稱