高一數學必修1核心練習題精解：集合與函數基礎一、集合：概念與運算集合是高中數學的“語言基礎”，貫穿整個高中階段的學習。本節(jié)重點梳理集合的表示方法、關系及運算的典型問題，幫你建立嚴謹的集合思維。（一）知識點回顧1.集合的表示：列舉法（適用于有限集或規(guī)律明顯的無限集，如{1,2,3}）、描述法（適用于無限集，格式為{元素|元素滿足的條件}，如{x|x>2且x∈R}）。2.集合間的關系：子集（A?B，A中元素都在B中）、真子集（A?B，A?B且B有A沒有的元素）、相等（A=B，互為子集）。3.集合的運算：交集（A∩B，公共元素組成的集合）、并集（A∪B，所有元素組成的集合）、補集（??A，全集U中不在A中的元素組成的集合）。（二）典型例題精解例1：描述法表示集合與交集運算題目：用描述法表示“所有大于1且小于4的整數”組成的集合，并求它與集合{2,3,5}的交集。思路分析：描述法需明確“元素類型”（整數）和“條件”（1<x<4）；交集是兩個集合的公共元素，需找出同時滿足兩個集合條件的數。解答過程：設集合A為所求，用描述法表示為：\(A=\{x\mid1<x<4,x\in\mathbb{Z}\}\)（化簡后為{2,3}）；集合B={2,3,5}，則\(A\capB=\{2,3\}\)?？偨Y：描述法的關鍵是“條件準確”，交集運算可通過“列舉元素”或“分析條件重疊”求解。例2：集合間的關系與元素互異性題目：已知集合\(A=\{1,a,a^2\}\)，若\(2\inA\)，求實數a的值。思路分析：元素與集合的關系：2要么等于1（不可能），要么等于a，要么等于a2；需驗證是否滿足集合元素的互異性（即所有元素互不相等）。解答過程：若\(a=2\)，則\(a^2=4\)，集合A={1,2,4}，滿足互異性；若\(a^2=2\)，則\(a=\sqrt{2}\)或\(a=-\sqrt{2}\)，此時集合A={1,√2,2}或{1,-√2,2}，均滿足互異性；綜上，a的值為2、√2或-√2。總結：涉及集合元素的問題，務必最后驗證“互異性”，這是高頻易錯點！例3：補集與韋恩圖的應用思路分析：先求交集\(A\capB\)（公共元素），再求其在全集中的補集；韋恩圖可直觀表示集合關系，避免遺漏。解答過程：\(A\capB=\{3\}\)；總結：補集運算需明確“全集范圍”，韋恩圖是解決集合運算的“可視化工具”，建議多畫多練。（三）易錯點警示1.描述法中“變量范圍”遺漏：如“所有正數的平方根”應表示為\(\{x\midx=\sqrt{n},n\in\mathbb{N}^*\}\)，而非\(\{x\midx^2=n,n\in\mathbb{N}^*\}\)（后者未限定x為正）。2.混淆“子集”與“真子集”：如{1,2}?{1,2}是對的，但{1,2}?{1,2}是錯的（真子集需排除相等情況）。3.忽略“全集”的默認值：若題目未明確全集，通常默認是“所有實數”（\(\mathbb{R}\)）或“所有整數”（\(\mathbb{Z}\)）等，需根據context判斷。二、函數：定義與基本性質函數是高中數學的“核心主線”，本節(jié)聚焦函數的定義域、值域、單調性與奇偶性的經典問題，幫你構建函數的“底層邏輯”。（一）知識點回顧1.函數的定義：設A、B為非空數集，若對A中任意x，B中存在唯一y與之對應，則稱f:A→B為函數，記為y=f(x)。其中，A為定義域（x的取值范圍），B為值域（y的取值范圍），f為對應法則。2.函數的表示：解析法（如y=2x+1）、列表法（如表格）、圖像法（如直線）。3.函數的性質：單調性：若x?<x?時，f(x?)<f(x?)（遞增）或f(x?)>f(x?)（遞減），則f(x)在區(qū)間上單調；奇偶性：若f(-x)=f(x)（偶函數，圖像關于y軸對稱）或f(-x)=-f(x)（奇函數，圖像關于原點對稱），則f(x)為奇偶函數。（二）典型例題精解例1：函數定義域的求解題目：求函數\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{2-x}\)的定義域。思路分析：定義域是“使表達式有意義的x的范圍”，需滿足：1.根號內的數≥0（\(x-1\geq0\)）；2.分母≠0（\(2-x\neq0\)）。解答過程：解不等式組：\(\begin{cases}x-1\geq0\\2-x\neq0\end{cases}\)，得\(x\geq1\)且\(x\neq2\)；故定義域為\([1,2)\cup(2,+\infty)\)（區(qū)間表示法）?？偨Y：定義域求解的關鍵是“列出所有限制條件”，常見限制有：根號、分母、對數（后續(xù)學習）等。例2：函數單調性的判斷（定義法）題目：證明函數\(f(x)=x^2-2x+3\)在區(qū)間\((1,+\infty)\)上單調遞增。思路分析：定義法步驟：取值→作差→變形→判斷符號→結論。解答過程：1.取值：設\(1<x_1<x_2\)；2.作差：\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2-2x_2+3)-(x_1^2-2x_1+3)=x_2^2-x_1^2-2(x_2-x_1)\)；3.變形：因式分解得\((x_2-x_1)(x_2+x_1-2)\)；4.判斷符號：\(x_2-x_1>0\)（因x?>x?）；\(x_2+x_1-2>1+1-2=0\)（因x?>1，x?>1）；故\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，即\(f(x_2)>f(x_1)\)；5.結論：f(x)在\((1,+\infty)\)上單調遞增?？偨Y：變形是關鍵，常用方法有因式分解、配方、通分等，目的是將差式轉化為易判斷符號的形式。例3：函數奇偶性的判斷題目：判斷函數\(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\)的奇偶性。思路分析：奇偶性判斷步驟：先看定義域是否對稱→再驗證f(-x)與f(x)的關系。解答過程：1.定義域：x2+1≠0，對所有實數x成立，故定義域為\(\mathbb{R}\)（關于原點對稱）；2.驗證f(-x)：\(f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+1}=\frac{-x}{x^2+1}=-f(x)\)；3.結論：f(x)是奇函數?？偨Y：定義域對稱是奇偶性的“前提條件”，若定義域不對稱（如x∈[-1,2]），直接判定“非奇非偶”。例4：函數值域的求解（二次函數）題目：求函數\(f(x)=-x^2+4x-1\)，x∈[0,3]的值域。思路分析：二次函數值域可通過“配方”結合“圖像”求解，先找頂點，再看端點。解答過程：1.配方：\(f(x)=-(x^2-4x)-1=-(x-2)^2+3\)；2.分析圖像：拋物線開口向下，頂點坐標為(2,3)（最大值點）；3.計算端點值：x=0時，f(0)=-1；x=3時，f(3)=-(1)^2+3=2；4.值域：最小值為-1（x=0時），最大值為3（x=2時），故值域為\([-1,3]\)。總結：二次函數在閉區(qū)間上的值域必包含“頂點值”和“端點值”中的極值，需逐一計算。（三）易錯點警示1.定義域“忘寫”或“寫錯”：如求\(f(x)=\sqrt{x+2}\)的定義域，應寫成\([-2,+\infty)\)，而非x≥-2（區(qū)間表示更規(guī)范）；2.單調性“區(qū)間寫法”錯誤：如f(x)=1/x的單調遞減區(qū)間是\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，而非\((-\infty,0)\cap(0,+\infty)\)（不能用“∩”連接不連續(xù)區(qū)間）；3.奇偶性“忽略定義域對稱”：如f(x)=x2，x∈[-1,2]，雖f(-x)=f(x)，但定義域不對稱，故非偶函數；4.值域“漏看區(qū)間”：如f(x)=x2的定義域為R時值域為[0,+∞)，但定義域為[1,2]時值域為[1,4]，需注意區(qū)間限制。三、學習建議1.集合部分：重點掌握“描述法”和“運算規(guī)則”，多做“元素互異性”和“韋恩圖”的題目，培養(yǎng)嚴謹的邏輯思維；2.函數部分：定義域是“前提”，單調性和奇偶性是“核心”，值域是“難點”。建議用“定義法”反復練習單調性和奇偶性，用“配方、