小學(xué)數(shù)學(xué)浸物問題專項(xiàng)訓(xùn)練卷一、前言浸物問題是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，核心是體積置換原理（阿基米德原理的簡化應(yīng)用）。這類問題貼近生活（如往水里放石頭測體積、漂浮的玩具鴨），既能鞏固長方體、正方體、圓柱的體積計(jì)算，又能培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與邏輯推理能力。本訓(xùn)練卷按“基礎(chǔ)—提升—拓展”梯度設(shè)計(jì)，覆蓋浸物問題的常見類型，注重方法引導(dǎo)與實(shí)際應(yīng)用。二、核心知識(shí)點(diǎn)梳理解決浸物問題的關(guān)鍵是抓住“物體浸入體積=排開液體體積”這一本質(zhì)關(guān)系，以下是具體公式與概念辨析：1.基本公式（規(guī)則容器，如長方體、正方體、圓柱）完全浸入（物體全部沒入水中，如鐵塊）：物體體積=排開的水的體積=容器底面積×水位變化高度（上升/下降）公式變形：水位變化高度=物體體積÷容器底面積容器底面積=物體體積÷水位變化高度2.關(guān)鍵概念辨析完全浸入：物體體積=排開水量（如石頭沉入水底）；部分浸入：物體體積>排開水量（如漂浮的木塊），排開水量=物體浸入部分體積；溢出問題：容器滿水時(shí)，溢出水量=物體浸入體積（完全浸入時(shí)=物體體積）。3.注意事項(xiàng)單位統(tǒng)一（如分米→立方分米，厘米→立方厘米）；容器需“規(guī)則”（能計(jì)算底面積），或通過兩次實(shí)驗(yàn)求不規(guī)則容器的底面積；準(zhǔn)確判斷“水位變化方向”（上升、下降、溢出）。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練（完全浸入·直接計(jì)算）目標(biāo)：掌握“物體體積=容器底面積×水位上升高度”的基本應(yīng)用。題目1一個(gè)長方體玻璃缸，底面積是20平方分米，里面裝有5分米深的水。將一塊石頭完全浸入水中后，水位上升到6.5分米（未溢出）。這塊石頭的體積是多少立方分米？解題思路：石頭完全浸入，體積等于排開的水的體積。排開的水是“長方體”，底面積=玻璃缸底面積（20平方分米），高度=水位上升量（6.5-5=1.5分米）。計(jì)算：20×(6.5-5)=30（立方分米）答案：30立方分米題目2一個(gè)正方體容器，棱長為4分米，里面裝有3分米深的水。放入一個(gè)體積為16立方分米的鐵塊（完全浸入，未溢出），水位會(huì)上升多少分米？解題思路：鐵塊體積=排開水量，容器底面積=4×4=16（平方分米）。水位上升高度=鐵塊體積÷容器底面積=16÷16=1（分米）答案：1分米題目3一個(gè)圓柱形水杯，底面直徑是6厘米（半徑3厘米），里面裝有8厘米深的水。將一顆玻璃球完全浸入水中，水位上升到10厘米（未溢出）。玻璃球的體積是多少立方厘米？（π取3.14）解題思路：圓柱底面積=πr2=3.14×32=28.26（平方厘米），水位上升量=10-8=2（厘米）。玻璃球體積=28.26×2=56.52（立方厘米）答案：56.52立方厘米四、提升訓(xùn)練（溢出與綜合計(jì)算）目標(biāo)：解決“滿水溢出”“圓柱底面積計(jì)算”等復(fù)雜問題，提升綜合應(yīng)用能力。題目1一個(gè)長方體水箱，長5分米，寬4分米，高3分米，里面裝滿了水（水位到水箱口）。將一塊體積為18立方分米的石頭完全浸入水中，會(huì)溢出多少升水？（1立方分米=1升）解題思路：水箱滿水時(shí)，排開的水全部溢出。石頭完全浸入，溢出水量=石頭體積=18立方分米=18升。答案：18升題目2一個(gè)長方體魚缸，長10分米，寬6分米，高8分米，里面裝有5分米深的水。放入一塊體積為90立方分米的珊瑚石（完全浸入），此時(shí)水位會(huì)超過魚缸高度嗎？如果會(huì)，溢出多少升水？解題思路：第一步：計(jì)算放入珊瑚石后的水位高度=原有水位+上升高度=5+(90÷(10×6))=5+1.5=6.5（分米）；第二步：比較6.5分米與魚缸高度8分米，6.5<8，因此不會(huì)溢出。答案：不會(huì)溢出，水位上升到6.5分米。題目3一個(gè)圓柱形水桶，底面周長是12.56分米（半徑2分米），高是6分米，里面裝有4分米深的水。將一個(gè)體積為25.12立方分米的鐵塊完全浸入水中，水位會(huì)上升到多少分米？（π取3.14，未溢出）解題思路：第一步：計(jì)算水桶底面積=πr2=3.14×22=12.56（平方分米）；第二步：水位上升高度=25.12÷12.56=2（分米）；第三步：最終水位=4+2=6（分米）（剛好等于水桶高度，未溢出）。答案：6分米五、拓展訓(xùn)練（部分浸入與不規(guī)則容器）目標(biāo)：解決“部分浸入”“不規(guī)則容器”等實(shí)際問題，培養(yǎng)靈活解題思維。題目1一個(gè)長方體玻璃缸，長8分米，寬6分米，里面裝有4分米深的水。將一只玩具鴨放入水中，玩具鴨漂浮在水面上，此時(shí)水位上升了0.2分米。已知玩具鴨的體積是15立方分米，求玩具鴨浸入水中的體積占總體積的幾分之幾？解題思路：玩具鴨漂浮，浸入體積=排開水量=容器底面積×水位上升量=8×6×0.2=9.6（立方分米）；比例=9.6÷15=16/25（或0.64）。答案：16/25題目2一個(gè)不規(guī)則形狀的容器，里面裝有一定量的水。將一個(gè)體積為10立方厘米的鐵塊完全浸入水中，水位上升了2厘米；再將一個(gè)體積為15立方厘米的鋁塊完全浸入水中（未溢出），水位會(huì)再上升多少厘米？解題思路：不規(guī)則容器的底面積可通過第一次實(shí)驗(yàn)求出：底面積=鐵塊體積÷水位上升量=10÷2=5（平方厘米）；鋁塊導(dǎo)致的水位上升量=15÷5=3（厘米）。答案：3厘米題目3一個(gè)長方體容器，長5分米，寬3分米，里面裝有2分米深的水。將一個(gè)棱長為2分米的正方體鐵塊放入水中，鐵塊有一部分露出水面（未完全浸入），此時(shí)水位上升了多少分米？解題思路：設(shè)水位上升了h分米，此時(shí)鐵塊浸入水中的高度=原有水位+h=2+h（分米），但鐵塊棱長為2分米，因此浸入高度不能超過2分米（否則完全浸入）。排開水量=鐵塊浸入體積=2×2×(2+h)？不，等一下——正確邏輯：放入鐵塊后，水的體積+鐵塊浸入體積=容器底面積×新水位高度；原有水體積=5×3×2=30（立方分米）；設(shè)新水位高度為x分米，則鐵塊浸入體積=2×2×x（因?yàn)殍F塊浸入高度等于新水位高度，若x≤2分米）；因此：30+4x=5×3×x→30+4x=15x→11x=30→x≈2.73分米？不對(duì)，因?yàn)殍F塊棱長2分米，若x>2分米，鐵塊會(huì)完全浸入，此時(shí)浸入體積=2×2×2=8立方分米；驗(yàn)證：若完全浸入，新水位=2+8÷(5×3)=2+8/15≈2.53分米<2.73分米，因此之前的假設(shè)錯(cuò)誤，鐵塊會(huì)完全浸入嗎？等一下，原有水位2分米，鐵塊棱長2分米，放入后，若完全浸入，排開水量8立方分米，水位上升8÷15≈0.53分米，新水位≈2.53分米，此時(shí)鐵塊頂部在2.53分米處，而鐵塊高2分米，因此鐵塊底部在0.53分米處，完全浸入（因?yàn)?.53<2.53），所以之前的錯(cuò)誤在于“浸入高度=新水位”是對(duì)的，但當(dāng)新水位>鐵塊棱長時(shí)，浸入高度=鐵塊棱長，此時(shí)排開水量=鐵塊體積。重新計(jì)算：原有水體積=5×3×2=30（立方分米）；若鐵塊完全浸入，排開水量=8立方分米，總水量=30+8=38（立方分米）；新水位=38÷(5×3)=38/15≈2.53分米，小于鐵塊棱長2分米嗎？不，2.53>2，所以鐵塊會(huì)完全浸入嗎？不，鐵塊棱長2分米，若新水位2.53分米，鐵塊頂部在2.53分米處，底部在0.53分米處，因此鐵塊完全浸入（因?yàn)檎麄€(gè)鐵塊都在水下），對(duì)，此時(shí)浸入體積=鐵塊體積=8立方分米，水位上升=8÷15≈0.53分米。答案：約0.53分米（或8/15分米）六、總結(jié)與提醒1.優(yōu)先判斷浸入類型：完全浸入（體