立方根基礎(chǔ)知識講義及練習(xí)題一、引言立方根是初中數(shù)學(xué)實數(shù)體系的核心概念之一，是立方運算的逆運算，與平方根共同構(gòu)成了“開方”這一重要運算。本文將系統(tǒng)講解立方根的定義、性質(zhì)、計算方法及實際應(yīng)用，并配套針對性練習(xí)題，幫助讀者建立扎實的基礎(chǔ)，提升解題能力。二、立方根的定義1.定義引入從立方運算出發(fā)：\(2^3=8\)，則2是8的立方根；\((-2)^3=-8\)，則-2是-8的立方根；\(0^3=0\)，則0是0的立方根。一般定義：若一個數(shù)\(x\)的立方等于\(a\)（即\(x^3=a\)），則\(x\)稱為\(a\)的立方根（或三次方根）。2.符號表示\(a\)的立方根記作\(\sqrt[3]{a}\)，其中：“\(\sqrt[3]{}\)”：立方根符號（根指數(shù)為3）；\(a\)：被開方數(shù)（可為任意實數(shù)）；注意：根指數(shù)3不能省略（與平方根\(\sqrt{a}\)的根指數(shù)2可省略不同）。示例：\(8\)的立方根：\(\sqrt[3]{8}=2\)；\(-27\)的立方根：\(\sqrt[3]{-27}=-3\)；\(0\)的立方根：\(\sqrt[3]{0}=0\)。三、立方根的性質(zhì)立方根的性質(zhì)是其核心特征，需重點掌握：1.符號規(guī)則正數(shù)的立方根是正數(shù)（如\(\sqrt[3]{8}=2\)）；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)（如\(\sqrt[3]{-8}=-2\)）；0的立方根是0（\(\sqrt[3]{0}=0\)）。推論：\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)（\(a\)為任意實數(shù)），即負(fù)數(shù)的立方根等于其絕對值立方根的相反數(shù)。2.唯一性每個實數(shù)都有且僅有一個立方根（無論正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0）。對比平方根：平方根僅非負(fù)數(shù)有，且正數(shù)有兩個平方根（互為相反數(shù)），0只有一個平方根。3.逆運算恒等式立方根與立方運算互為逆運算，滿足：對任意實數(shù)\(a\)，\(\sqrt[3]{a^3}=a\)（先立方后開立方，結(jié)果不變）；對任意實數(shù)\(a\)，\((\sqrt[3]{a})^3=a\)（先開立方后立方，結(jié)果不變）。示例：\(\sqrt[3]{5^3}=\sqrt[3]{125}=5\)；\((\sqrt[3]{-3})^3=-3\)；\(\sqrt[3]{0^3}=0\)。4.與平方根的區(qū)別為避免混淆，將立方根與平方根的核心區(qū)別總結(jié)如下：**特征****平方根（\(\sqrt{a}\)）****立方根（\(\sqrt[3]{a}\)）**被開方數(shù)范圍\(a\geq0\)（負(fù)數(shù)無平方根）\(a\)為任意實數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)、0均有）根的個數(shù)0（\(a<0\)）或1（\(a=0\)）或2（\(a>0\)）1個（任意\(a\)）根的符號正數(shù)有正負(fù)兩個，0為0與被開方數(shù)符號一致（正→正，負(fù)→負(fù)，0→0）根指數(shù)省略根指數(shù)2可省略（如\(\sqrt{4}=2\)）根指數(shù)3不可省略（如\(\sqrt[3]{8}\neq\sqrt{8}\)）四、立方根的計算方法1.整數(shù)的立方根記住常用整數(shù)的立方，可快速求立方根：\(1^3=1\)→\(\sqrt[3]{1}=1\)；\(2^3=8\)→\(\sqrt[3]{8}=2\)；\(3^3=27\)→\(\sqrt[3]{27}=3\)；\(4^3=64\)→\(\sqrt[3]{64}=4\)；\(5^3=125\)→\(\sqrt[3]{125}=5\)；負(fù)數(shù)同理：\((-1)^3=-1\)→\(\sqrt[3]{-1}=-1\)，依此類推。2.分?jǐn)?shù)的立方根分?jǐn)?shù)的立方根等于分子的立方根除以分母的立方根（分母不為0），即：\[\sqrt[3]{\frac{a}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]}\quad(b\neq0)\]示例：\(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}\)；\(\sqrt[3]{-\frac{8}{125}}=-\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}}=-\frac{2}{5}\)；\(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{2}\)。3.小數(shù)的立方根小數(shù)可轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)計算，再求立方根：\(0.008=\frac{8}{1000}\)→\(\sqrt[3]{0.008}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{1000}}=\frac{2}{10}=0.2\)；\(0.125=\frac{125}{1000}\)→\(\sqrt[3]{0.125}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{1000}}=\frac{5}{10}=0.5\)；\(-0.064=-\frac{64}{1000}\)→\(\sqrt[3]{-0.064}=-\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{1000}}=-\frac{4}{10}=-0.4\)。4.無理數(shù)的立方根對于無法表示為整數(shù)或分?jǐn)?shù)立方的數(shù)（如\(2,3,5,10\)等），其立方根是無理數(shù)，需用近似值表示。計算方法：使用計算器的“\(\sqrt[3]{}\)”鍵（或轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式\(a^{1/3}\)，用冪鍵計算）。示例（保留三位小數(shù)）：\(\sqrt[3]{2}\approx1.260\)；\(\sqrt[3]{3}\approx1.442\)；\(\sqrt[3]{5}\approx1.709\)；\(\sqrt[3]{10}\approx2.154\)。5.立方根的估算若無計算器，可通過相鄰整數(shù)的立方估算立方根的范圍：示例：估算\(\sqrt[3]{10}\)的大?。?.\(2^3=8\)，\(3^3=27\)→\(\sqrt[3]{10}\)在2和3之間；2.\(2.1^3=9.261\)，\(2.2^3=10.648\)→\(\sqrt[3]{10}\)在2.1和2.2之間；3.\(2.15^3=9.938\)，\(2.16^3=10.077\)→\(\sqrt[3]{10}\approx2.16\)（保留兩位小數(shù)）。五、立方根的實際應(yīng)用立方根最常見的應(yīng)用是求正方體的邊長（已知體積）：正方體體積公式：\(V=a^3\)（\(a\)為邊長）；因此，邊長\(a=\sqrt[3]{V}\)。示例：體積為8立方米的正方體，邊長\(a=\sqrt[3]{8}=2\)米；體積為125立方厘米的正方體，邊長\(a=\sqrt[3]{125}=5\)厘米；體積為10立方米的正方體，邊長\(a=\sqrt[3]{10}\approx2.15\)米（保留兩位小數(shù)）。六、練習(xí)題基礎(chǔ)題（鞏固定義與性質(zhì)）1.求下列各數(shù)的立方根：(1)\(8\)；(2)\(-27\)；(3)\(0\)；(4)\(64\)；(5)\(-125\)；(6)\(\frac{8}{27}\)；(7)\(-\frac{8}{125}\)；(8)\(0.008\)；(9)\(0.125\)。2.填空：(1)\(\sqrt[3]{-8}=\_\_\_\)；(2)\(\sqrt[3]{0}=\_\_\_\)；(3)\(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\_\_\_\)；(4)\(\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\_\_\_\)；(5)\(\sqrt[3]{a^3}=\_\_\_\)；(6)\((\sqrt[3]{a})^3=\_\_\_\)。3.判斷對錯（對的打“√”，錯的打“×”）：(1)負(fù)數(shù)沒有立方根；()(2)0的立方根是0；()(3)1的立方根是1；()(4)\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)（\(a\)為任意實數(shù)）；()(5)\(\sqrt[3]{a^3}=a\)（\(a\)為任意實數(shù)）；()(6)正數(shù)有兩個立方根；()4.用計算器求下列各數(shù)的立方根（保留三位小數(shù)）：(1)\(\sqrt[3]{2}\)；(2)\(\sqrt[3]{3}\)；(3)\(\sqrt[3]{5}\)；(4)\(\sqrt[3]{10}\)。提高題（應(yīng)用與拓展）1.正方體的體積是125立方厘米，求其邊長。2.正方體的體積是8立方米，求其表面積（表面積公式：\(6a^2\)，\(a\)為邊長）。3.已知\(\sqrt[3]{x}=2\)，求\(x\)的值。4.計算：(1)\(\sqrt[3]{8\times27}\)；(2)\(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27}\)；并比較兩者的大小。5.已知\(\sqrt[3]{a-1}=2\)，求\(a\)的值。6.計算：\(\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}\)。七、練習(xí)題答案基礎(chǔ)題答案1.(1)\(2\)；(2)\(-3\)；(3)\(0\)；(4)\(4\)；(5)\(-5\)；(6)\(\frac{2}{3}\)；(7)\(-\frac{2}{5}\)；(8)\(0.2\)；(9)\(0.5\)。2.(1)\(-2\)；(2)\(0\)；(3)\(\frac{1}{2}\)；(4)\(\frac{3}{4}\)；(5)\(a\)；(6)\(a\)。3.(1)×；(2)√；(3)√；(4)√；(5)√；(6)×。4.(1)≈1.260；(2)≈1.442；(3)≈1.709；(4)≈2.154。提高題答案1.邊長\(=\sqrt[3]{125}=5\)厘米。2.邊長\(=\sqrt[3]{8}=2\)米，表面積\(=6\times2^2=24\)平方米。3.\(x=2^3=8\)。4.(1)\(\sqrt[3]{8\times27}=\sqrt[3]{216}=6\)；(2)\(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27}=2+3=5\)；因此\(\sqrt[3]{8\times27}>\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27}\)。5.\(a-1=2^3=8\)→\(a=9\)。6.