§1.6一元二次方程、不等式01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式.3.了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型目錄01內(nèi)容索引02課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題方程的判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)的圖象

1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系方程的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)沒(méi)有實(shí)數(shù)根不等式的解集_________________________________{x|x<x1或x>x2}

R

f(x)g(x)>0(<0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－a，a)

××√×

√由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，由(x－2)(x－1)<0，解得1<x<2，所以B＝{x|1<x<2}，所以集合B是集合A的真子集，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件.

√

4.若關(guān)于x的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為

.

－3

避免三種失誤(1)含參不等式的求解，注意分類討論思想的運(yùn)用，對(duì)參數(shù)分類時(shí)要做到不重不漏.(2)當(dāng)未說(shuō)明不等式為一元二次不等式時(shí)應(yīng)分二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況討論.(3)當(dāng)Δ<0時(shí)，注意區(qū)分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R還是?.返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

√√題型一命題點(diǎn)1不含參的不等式求解一元二次不等式

例2解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0.命題點(diǎn)2含參的不等式

對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見(jiàn)的分類有(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.思維升華

不等式x2－ax－2a2>0可化為(x－2a)(x＋a)>0，當(dāng)2a<－a，即a<0時(shí)，解得x<2a或x>－a；當(dāng)2a＝－a，即a＝0時(shí)，解得x≠0，當(dāng)2a>－a，即a>0時(shí)，解得x<－a或x>2a.綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，解集為(－∞，2a)∪(－a，＋∞)；當(dāng)a＝0時(shí)，解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)；當(dāng)a>0時(shí)，解集為(－∞，－a)∪(2a，＋∞).(2)x2－ax－2a2>0.例3

(1)(多選)(2024·龍巖模擬)若關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－3，1)，則下列結(jié)論正確的是A.b<0且c>0B.9a－3b＋c<0C.關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(2，＋∞)D.關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)√題型二√√三個(gè)二次之間的關(guān)系

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已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應(yīng)的一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出相應(yīng)的系數(shù).注意結(jié)合不等式解集的形式判斷二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù).思維升華

√

(2)(2025·連云港模擬)已知方程x2－2ax＋a2－4＝0的一個(gè)實(shí)根小于2，另一個(gè)實(shí)根大于2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

設(shè)f(x)＝x2－2ax＋a2－4，因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋a2－4＝0的一個(gè)實(shí)根小于2，另一個(gè)實(shí)根大于2，則滿足f(2)＝a2－4a<0，解得0<a<4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，4).(0，4)例4

(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，不等式mx2－3mx－2<0恒成立，求m的取值范圍；題型三

一元二次不等式恒成立問(wèn)題(2)當(dāng)x∈(0，4)時(shí)，不等式x2＋mx＋4>0恒成立，求m的取值范圍.

恒成立問(wèn)題求參數(shù)的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.思維升華跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對(duì)于x∈[－1，1]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍；

(2)若對(duì)于m∈[－2，2]，f(x)<－m＋5恒成立，求x的取值范圍.

返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案題號(hào)1234567答案DBBDBCDABD(1，3]題號(hào)81112答案(－2，3)AD123456789101112對(duì)一對(duì)答案123456789101112(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－2x－3，f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，∴不等式的解集為{x|x≤－1或x≥3}.(2)f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，則二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為直線x＝1，∴f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，∵f(3)＝3a－3，f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，轉(zhuǎn)化為f(3)≥0，∴3a－3≥0，解得a≥1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞).9.答案123456789101112

10.答案123456789101112(2)由(1)知原不等式為x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－m)(x－2)<0，當(dāng)m>2時(shí)，不等式解集為{x|2<x<m}；當(dāng)m＝2時(shí)，不等式解集為?；當(dāng)m<2時(shí)，不等式解集為{x|m<x<2}.10.一、單項(xiàng)選擇題1.(2025·威海模擬)設(shè)集合A＝{x||x－1|≥1}，B＝{x|x2－x－2<0}，則A∩B等于A.(－2，0) B.(－1，0)C.(－2，0]

D.(－1，0]123456789101112知識(shí)過(guò)關(guān)答案由題意得A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|－1<x≤0}.√2.若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.{a|－1≤a<2} B.{a|－1<a≤2}C.{a|－1<a<2} D.{a|－1≤a≤2}123456789101112當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式為－12<0，滿足解集為R；當(dāng)a≠2時(shí)，根據(jù)題意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2.綜上，－1<a≤2，故a的取值范圍為{a|－1<a≤2}.答案√3.關(guān)于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一個(gè)根小于－1，另一個(gè)根大于1，則a的取值范圍是A.(－2，1) B.(－2，0)C.(0，1) D.(－2，－1)123456789101112答案√123456789101112答案

√123456789101112答案123456789101112答案

123456789101112答案

二、多項(xiàng)選擇題5.對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能為A.R B.(－1，a)C.(a，－1) D.(－∞，－1)∪(a，＋∞)√123456789101112答案√√123456789101112答案根據(jù)題意，易知a≠0.當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝a(x－a)(x＋1)的圖象開(kāi)口向上，故不等式的解集為(－∞，－1)∪(a，＋∞).當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y＝a(x－a)(x＋1)的圖象開(kāi)口向下，若a＝－1，則不等式的解集為?；若－1<a<0，則不等式的解集為(－1，a)；若a<－1，則不等式的解集為(a，－1).

√123456789101112答案√√123456789101112答案

123456789101112答案作出y＝a(x－1)(x＋3)和y＝－2的圖象，則x1，x2為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可知x1<－3，x2>1，故D正確.

123456789101112答案(1，3]

8.甲、乙兩人解關(guān)于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)b，得到的解集為(－3，2)，乙寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)c，得到的解集為(－3，4).那么原不等式的解集為

.

123456789101112答案(－2，3)依題意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，即x2－x－6<0，解得－2<x<3，所以原不等式的解集為(－2，3).四、解答題9.已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax－3.(1)若a＝1，求不等式f(x)≥0的解集；123456789101112答案當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－2x－3，f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，∴不等式的解集為{x|x≤－1或x≥3}.(2)已知a>0，且f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍.123456789101112答案f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，則二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為直線x＝1，∴f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，∵f(3)＝3a－3，f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，轉(zhuǎn)化為f(3)≥0，∴3a－3≥0，解得a≥1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞).10.已知不等式ax2－3x＋2>0的解集為{x|x<1或x>b}.(1)求a，b的值；123456789101112答案

(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.123456789101112答案由(1)知原不等式為x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－m)(x－2)<0，當(dāng)m>2時(shí)，不等式解集為{x|2<x<m}；當(dāng)m＝2時(shí)，不等式解集為?；當(dāng)m<2時(shí)，不等式解集為{x|m<x<2}.11.(多選)已知k∈Z，若關(guān)于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一個(gè)整數(shù)解，則k的可能取值為A.－1 B.1

C.2

D.31234567891