數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)進(jìn)階篇不等式恒(能)成立問題匯報人：第三章進(jìn)階4端點失效利用必要性探路，充分性護(hù)航解決恒成立問題時，利用端點處需滿足的必要條件縮小參數(shù)的取值范圍，而往往得到的范圍即為所求，再去做充分性論證即可.一般情況下單調(diào)函數(shù)是可以用端點效應(yīng)的.但有時候難以避免會遇到端點失效的情況，即通過必要條件得到的參數(shù)范圍并不是最終的解.當(dāng)函數(shù)不單調(diào)時，端點效應(yīng)就會失效了，如圖.遇到這樣的情況，我們又該怎么辦呢？

導(dǎo)函數(shù)含參數(shù)單調(diào)的可以使用端點效應(yīng)，導(dǎo)函數(shù)含參不單調(diào)的不能使用端點效應(yīng)，如ex-ax2-x-1≥0在[0，+∞)上恒成立可以使用端點效應(yīng)，因為它的導(dǎo)函數(shù)ex-2ax-1在a<0時為單調(diào)函數(shù)，而ex-x2-ax-1≥0在[0，+∞)上恒成立就不能使用端點效應(yīng).思維升華跟蹤訓(xùn)練

已知函數(shù)H(x)=aex-1-lnx+lna-1，若H(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

下面證明當(dāng)a≥1時，H(x)≥0恒成立，將H(x)=aex-1-lnx+lna-1視為關(guān)于a的函數(shù)m(a)=ex-1·a+lna-lnx-1，易知m(a)單調(diào)遞增，∴m(a)≥m(1)=ex-1-lnx-1，又ex-1≥x，lnx≤x-1，∴ex-1-lnx-1≥0，即m(a)≥0，所以H(x)≥0，綜上，a的取值范圍是[1，+∞).

課時精練01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案12

1.答案12所以當(dāng)x∈(0，+∞)時，φ(x)單調(diào)遞增，φ(x)>φ(0)=0，則當(dāng)x∈(0，1)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，+∞)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(1)=e-1，所以a的取值范圍為(-∞，e-1].1.答案12

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2.1.已知函數(shù)f(x)=excosx，當(dāng)x>0時，f(x)≥ex(cosx-1)+x2+(a-1)x+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.12答案12答案

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12答案2.已知函數(shù)f(x)=sinx-x+ax2(a∈R)，若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

12答案[錯解2]容易得f(0)=0，f'(x)=cosx-1+2ax，f'(0)=0，求得f″(x)=-sinx+2a.結(jié)合端點效應(yīng)，必有f″(0)=2a≥0，即a≥0.[錯解分析]該方法的思路是完全按照“端點效應(yīng)”的情況處理的，所以f″(0)≥0，即2a≥0，a≥0.此時，求得的范圍是問題的必要條件，如何證明其充分性呢？如果順著學(xué)生思路走下去，接下來應(yīng)考慮，當(dāng)a≥0時，f(x)≥0恒成立.以上兩種思路都是處理該類不等式恒成立問題的常規(guī)解題思路，只是針對本題失效了而已.那么端點效應(yīng)解題為何會失效呢？關(guān)鍵還在于端點效應(yīng)解題本身有一種“湊巧”的成分在里面，此時不湊巧了而已！因此，利用端點效應(yīng)解題要