應(yīng)用微積分 課件3.3 高階導(dǎo)數(shù)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二、乘積的高階導(dǎo)數(shù)第3.3節(jié)、

高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動(dòng)s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)定義記作類(lèi)似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù)

,階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為n

階導(dǎo)數(shù),或依次類(lèi)推,分別記作二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).或例1

y=ax

b

求y

解

y

a

y

0

例2

求函數(shù)y

ex

的n

階導(dǎo)數(shù)

解

y

ex

y

ex

y

ex

y(4)

ex.一般地

可得y(n)

ex

即

例3

求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)

解

y

sinx

一般地

可得即用類(lèi)似方法

可得

例4

求對(duì)函數(shù)lnx的n

階導(dǎo)數(shù).解

y

lnx

y

x-1

y

=-x-2

y

=(-1)(-2)x-3

y(4)=(-1)(-2)(-3)x-4

一般地

可得y(n)=(-1)(-2)

(-n+1)x-n即例5求冪函數(shù)y

xμ

(μ是任意常數(shù))的n

階導(dǎo)數(shù)公式

解

y

μxμ

1

y

μ(μ

1)xμ

2

y

μ(μ

1)(μ

2)xμ

3

y(4)

μ(μ

1)(μ

2)(μ

3)xμ

4.一般地

可得

y(n)

μ(μ

1)(μ

2)

(μ

n

1)xμ

n

即(x

μ

)(n)

μ(μ

1)(μ

2)

(μ

n

1)xμ

n

當(dāng)μ

n時(shí)

得到

(xn)(n)

n(n

1)(n

2)

3

2

1

n！當(dāng)m>n時(shí),有二、乘積的高階導(dǎo)數(shù)下面考察乘積的高階導(dǎo)數(shù).都有n

階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))及設(shè)函數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茨(Leibniz)公式二項(xiàng)式定理即求解:

設(shè)則代入萊布尼茨公式

,得例6.

例7

求解

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