內(nèi)蒙古一模文科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|0<x<3},B={x|-1<x<2},則集合A∩B等于（）

A.{x|-1<x<2}

B.{x|0<x<2}

C.{x|0<x<3}

D.{x|-1<x<3}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像大致為（）

A.

B.

C.

D.

3.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),則向量a+b的模長(zhǎng)為（）

A.√2

B.√5

C.3

D.√10

4.若等差數(shù)列{a?}中,a?=1,公差d=2,則a?的值為（）

A.9

B.11

C.13

D.15

5.拋擲兩個(gè)均勻的骰子,則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

6.已知圓O的半徑為1,圓心在原點(diǎn),則圓O上點(diǎn)到直線x+y=0的距離的最大值為（）

A.√2/2

B.1

C.√2

D.2

7.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于哪個(gè)點(diǎn)對(duì)稱？（）

A.(π/4,0)

B.(π/2,0)

C.(π,0)

D.(3π/4,0)

8.已知直線l?:y=2x+1與直線l?:ax-y+3=0互相平行,則a的值為（）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

9.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,邊AC=2,則邊BC的長(zhǎng)度為（）

A.√2

B.2√2

C.2

D.√3

10.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),且f(0)=0,f(1)=1,則對(duì)于任意0≤x?<x?≤1,下列不等式一定成立的是（）

A.f(x?)+f(x?)>2

B.f(x?)f(x?)>x?x?

C.f(x?)-f(x?)>x?-x?

D.f(x?)/f(x?)>x?/x?

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x3

B.y=1/x

C.y=√x

D.y=sin(x)

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=4，a?=32，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?等于（）

A.2^(n-1)

B.2^(n+1)

C.4^n

D.2^(5-n)

3.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0垂直，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

A.{-2}

B.{1}

C.{-1}

D.{2}

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)在圓x2+y2-4x+6y-3=0上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線x-y+5=0的距離d的取值范圍是（）

A.[0,2√2]

B.[2√2,4√2]

C.[2,4]

D.[4,6]

5.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+∞)上是單調(diào)遞減的，下列關(guān)于f(x)的說(shuō)法中，正確的有（）

A.f(-1)>f(1)

B.f(0)≥f(x)對(duì)于所有x∈R成立

C.f(2)>f(-3)

D.f(a)=f(-a)對(duì)于所有a∈R成立

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復(fù)數(shù)z滿足z2=1，則z的實(shí)部為_(kāi)_______。

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=2，C=60°，則cosB的值為_(kāi)_______。

3.函數(shù)f(x)=e^(kx)（k≠0）在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________。

4.拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的六面骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是________。

5.已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)，且與直線y=3x-1垂直，則直線l的斜率k=________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2。

(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.解方程：log?(x+4)-log?(x-2)=1。

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=√3，b=1，cosC=1/2，求邊c的長(zhǎng)度。

4.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足關(guān)系式Sn=2a?-3n+5。

(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式a?；

(2)求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和公式Sn。

5.計(jì)算：lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.B

2.D

3.B

4.C

5.A

6.C

7.A

8.D

9.A

10.B

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.ABD

2.AD

3.AD

4.B

5.BCD

三、填空題答案

1.0

2.√(3/11)

3.(-∞,0)

4.1/6

5.-1/3

四、計(jì)算題答案及過(guò)程

1.解：

(1)f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。

(2)令f'(x)=0，得x?=-1,x?=1。計(jì)算端點(diǎn)和駐點(diǎn)的函數(shù)值：

f(-2)=(-2)3-3(-2)+2=-8+6+2=0，

f(-1)=(-1)3-3(-1)+2=-1+3+2=4，

f(1)=(1)3-3(1)+2=1-3+2=0，

f(3)=(3)3-3(3)+2=27-9+2=20。

比較可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值為20，最小值為0。

2.解：原方程可化為log?((x+4)/(x-2))=1。

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得(x+4)/(x-2)=3。

解得x+4=3(x-2)，即x+4=3x-6。

移項(xiàng)整理，得2x=10，即x=5。

檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，x+4=9≠0，x-2=3≠0，原方程成立。

所以，方程的解為x=5。

3.解：由cosC=1/2，且C∈(0,π)，得角C=π/3。

根據(jù)余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC。

代入已知數(shù)據(jù)，得c2=(√3)2+12-2*√3*1*(1/2)=3+1-√3=4-√3。

所以，邊c的長(zhǎng)度為c=√(4-√3)。

4.解：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，S?=2a?-3*1+5=2a?+2。所以a?=(S?-2)/2。

當(dāng)n≥2時(shí)，a?=S?-S???=[2a?-3n+5]-[2a???-3(n-1)+5]=2a?-2a???-3n+3(n-1)。

整理得a?=2a???+3。

所以，數(shù)列{a?}滿足a?=2a???+3(n≥2)且a?=(S?-2)/2。

這是一個(gè)非齊次等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)d+(n-1)*3/2=a?+(n-1)(3/2)+3(n-1)/2=a?+3(n-1)。

代入a?=(S?-2)/2，得a?=[(S?-2)/2]+3(n-1)。

需要找到S?，令n=1代入Sn=2a?-3n+5，得S?=2a?-3*1+5=2a?+2。

所以a?=(S?-2)/2。因此通項(xiàng)公式簡(jiǎn)化為a?=3n-1。

(2)Sn=a?+a?+...+a?=3(1+2+...+n)-n=3n(n+1)/2-n=3n2/2+3n/2-n=3n2/2+n/2=n(3n/2+1/2)=n(3n+1)/2。

所以，數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和公式Sn=n(3n+1)/2。

5.解：lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=lim(x→0)[(e^x-1-x)/x2]。

分子e^x-1-x可以使用泰勒展開(kāi)式e^x=1+x+x2/2!+x3/3!+...，得到e^x-1-x=x2/2!+x3/3!+...。

代入極限表達(dá)式，得lim(x→0)[(x2/2+x3/6+...)/x2]=lim(x→0)[1/2+x/6+...]=1/2。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

選擇題：

考察知識(shí)點(diǎn)：集合運(yùn)算、函數(shù)圖像與性質(zhì)、向量模長(zhǎng)、等差數(shù)列通項(xiàng)、古典概型、點(diǎn)到直線距離、函數(shù)對(duì)稱性、直線平行條件、解三角形（正弦/余弦定理）、函數(shù)單調(diào)性與值域。

示例：

1.集合運(yùn)算考察集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算。

2.函數(shù)圖像與性質(zhì)考察常見(jiàn)函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)）的圖像特征和單調(diào)性。

3.向量模長(zhǎng)考察向量坐標(biāo)運(yùn)算及模長(zhǎng)公式。

4.等差數(shù)列通項(xiàng)考察等差數(shù)列基本公式a?=a?+(n-1)d。

5.古典概型考察基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)。

6.點(diǎn)到直線距離考察點(diǎn)到直線距離公式。

7.函數(shù)對(duì)稱性考察奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義和圖像特征。

8.直線平行條件考察直線斜率關(guān)系。

9.解三角形考察正弦定理或余弦定理的應(yīng)用。

10.函數(shù)單調(diào)性與值域考察利用導(dǎo)數(shù)或函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性和求最值。

多項(xiàng)選擇題：

考察知識(shí)點(diǎn)：奇偶函數(shù)定義與判斷、等比數(shù)列通項(xiàng)、直線垂直條件、圓與直線位置關(guān)系、函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、值域）。

示例：

1.奇偶函數(shù)定義考察f(-x)=f(x)(偶函數(shù))或f(-x)=-f(x)(奇函數(shù))。

2.等比數(shù)列通項(xiàng)考察等比數(shù)列基本公式a?=a?*q^(n-1)。

3.直線垂直條件考察兩條直線斜率乘積為-1。

4.圓與直線位置關(guān)系考察圓心到直線距離與半徑比較。

5.函數(shù)性質(zhì)考察函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、值域范圍。

填空題：

考察知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)基本概念、解三角形（余弦定理）、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、古典概型、直線斜率。

示例：

1.復(fù)數(shù)基本概念考察復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算。

2.解三角形（余弦定理）考察利用余弦定理解邊或角。

3.指數(shù)函數(shù)單調(diào)性考察底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響。

4.古典概型考察概率計(jì)算。

5.直線斜率考察兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系。

計(jì)算題：

考察知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)計(jì)算與性質(zhì)應(yīng)用（求極值/最值）、對(duì)數(shù)方程求解、余弦定理應(yīng)用、數(shù)列通