一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題1.一般地,若函數(shù)
的定義域為
,值域為
,則稱為的"
倍跟隨區(qū)間";若函數(shù)的定義域為
,值域也為
,則稱
為
的"跟隨區(qū)間".下列結論正確的是()A．若
為
的跟隨區(qū)間,則
B.函數(shù)
存在跟隨區(qū)間C．若函數(shù)
存在跟隨區(qū)間,則
D.二次函數(shù)
存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】ABCD【分析】根據(jù)"
倍跟隨區(qū)間"的定義,分析函數(shù)在區(qū)間內的最值與取值范圍逐個判斷即可.【詳解】對A,若
為
的跟隨區(qū)間,因為
在區(qū)間
為增函數(shù),故其值域為
,根據(jù)題意有
,解得
或
,因為
故
.故A正確;對B,因為函數(shù)
在區(qū)間
與
上均為減函數(shù),故若
存在跟隨區(qū)間
則有
,解得:
.故存在,B正確.對C,若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,因為為減函數(shù),故由跟隨區(qū)間的定義可知,即,因為,所以.易得.所以,令代入化簡可得,同理也滿足,即在區(qū)間上有兩根不相等的實數(shù)根.故,解得,故C正確.對D,若
存在"3倍跟隨區(qū)間",則可設定義域為
,值域為
.當
時,易得
在區(qū)間上單調遞增,此時易得
為方程
的兩根,求解得
或
.故存在定義域
,使得值域為
.故D正確.故選:ABCD.【點睛】本題主要考查了函數(shù)新定義的問題,需要根據(jù)題意結合函數(shù)的性質分析函數(shù)的單調性與取最大值時的自變量值,并根據(jù)函數(shù)的解析式列式求解.屬于難題.2.已知函數(shù)
滿足
,且
在
上有最小值,無最大值.則()A．
B．若
,則
C.
的最小正周期為3 D.
在
上的零點個數(shù)最少為1346個【答案】AC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性可判斷
;根據(jù)已知三角函數(shù)值求角的方法,可得
,
,兩式相減可求出
,進而求得周期,從而可判斷
和
選項;因為
,所以函數(shù)
在區(qū)間
上的長度恰好為673個周期,為了算出零點"至少"有多少個,可取
,進而可判斷
.【詳解】解:由題意得,
在
的區(qū)間中點處取得最小值,即
,所以A正確；因為，且
在
上有最小值,無最大值,所以不妨令
,，兩式相減得,
,所以
,即B錯誤,C正確；因為，所以函數(shù)
在區(qū)間
上的長度恰好為673個周期,當
,即
時,
在區(qū)間
上的零點個數(shù)至少為
個,即D錯誤.故選:AC.【點睛】本題考查與三角函數(shù)有關的命題的真假關系,結合三角函數(shù)的圖象與性質,利用特殊值法以及三角函數(shù)的性質是解題的關鍵,綜合性較強.3.已知函數(shù)
滿足
,且
在
上有最小值,無最大值.則下列說法正確的是()A．
B．若
,則
C.
的最小正周期為3 D.
在
上的零點個數(shù)最少為202個【答案】AC【分析】由題意知
在一個波谷的位置且有對稱性,有
且
,進而可判斷A.B.C的正誤,又
上共有101個周期,最多有203個零點,最少有202個零點,進而可知
零點個數(shù)最少個數(shù),即知D的正誤.【詳解】由
,且
在
上有最小值,無最大值,∴
在一個波谷的位置且有對稱性,即
,
,∴
的最小正周期為
,故A.C正確,B錯誤;在
上共有101個周期,若每個周期有兩個零點時,共有202個零點,此時區(qū)間端點不為零點;若每個周期有三個零點時,共有203個零點,此時區(qū)間端點為零點;∴
上零點個數(shù)最少為201個,即每個周期有三個零點時,去掉區(qū)間的兩個端點,故D錯誤.故選:AC.【點睛】關鍵點點睛:由條件推出
在一個波谷的位置且有對稱性,可確定
及最小正周期,再由正弦函數(shù)的性質判斷
上零點個數(shù),進而確定最少有多少個零點.4.已知函數(shù)
(
為自然對數(shù)的底數(shù))有唯一零點,則
的值可以為()A.1 B.
C.2 D.
【答案】BC【分析】由已知,換元令
,可得
,從而
為偶函數(shù),
圖象關于
對稱,結合函數(shù)圖象的對稱性分析可得結論.【詳解】∵，令
,則
,定義域為
,
,故函數(shù)
為偶函數(shù),所以函數(shù)
的圖象關于
對稱,要使得函數(shù)
有唯一零點,則
,即
,解得
或
①當
時,
由基本不等式有
,當且僅當
時取得故
,當且僅當
取等號故此時有唯一零點②當
時,
,同理滿足題意.故選：BC.【點睛】方法點睛:①函數(shù)軸對稱:如果一個函數(shù)的圖像沿一條直線對折,直線兩側的圖像能夠完全重合,則稱該函數(shù)具備對稱性中的軸對稱,該直線稱為該函數(shù)的對稱軸.②的圖象關于直線對稱5.設
,若滿足關于x的方程
恰有三個不同的實數(shù)解
則下列選項中,一定正確的是()A.
B.
C.
D.
【答案】CD【分析】設
,得出函數(shù)
為偶函數(shù),從而有
,因此方程
必有一解為0,代入得
,分
和
兩種情況得出函數(shù)
的單調性和最值,從而求得
,可得選項.【詳解】設
,則函數(shù)
為偶函數(shù),所以
,所以
,其中必有一解為0,則
,①當
時,
當且僅當
時取等號;②當
時,
在
上遞增,，，又
在
上遞增,
,即
,.故選:CD.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合知識,關鍵構造合適的函數(shù),判斷函數(shù)的奇偶性,單調性,最值,屬于較難題.6.已知函數(shù)
,則方程
的實根個數(shù)可能為()A.8 B.7 C.6 D.5【答案】ABC【分析】以
的特殊情形為突破口,解出
或
或
或
,將
看作整體,利用換元的思想進一步討論即可.【詳解】由基本不等式可得或，作出函數(shù)
的圖像,如下:①當
時,
或
,故方程
的實數(shù)根個數(shù)為
;②當
時,
或
或
,故方程
的實數(shù)根個數(shù)為
;③當
時,
或
或
或，故方程
的實數(shù)根個數(shù)為
;④當
時,
或
或
或
,故方程
的實數(shù)根個數(shù)為
;⑤當
時,
或
,故方程
的實數(shù)根個數(shù)為
;⑥當
時,
或
,故方程
的實數(shù)根個數(shù)為
;⑦當
時,
,故方程
的實數(shù)根個數(shù)為
;故選:ABC【點睛】本題考查了求零點的個數(shù),考查了數(shù)形結合的思想以及分類討論的思想,屬于難題.7.函數(shù)
,則下列結論正確的是()A.
是偶函數(shù) B.
的值域是
C.方程
的解為
D.方程
的解為
【答案】ABC【分析】逐項分析判斷即可.【詳解】
當
為有理數(shù)時,
也為有理數(shù)
當
為無理數(shù)時,
也為無理數(shù)
是偶函數(shù),A對;易知B對;

時,
C對的解為全體有理數(shù)D錯故選:ABC.【點睛】本題綜合考查分段函數(shù)的奇偶性判斷、值域、解方程等,要求學生能靈活應用知識解題,難度較大.8.太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案,俗稱陰陽魚,太極圖展現(xiàn)了一種互相轉化,相對統(tǒng)一的和諧美.定義:能夠將圓
的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓
的一個"太極函數(shù)".則下列有關說法中,正確的是()A.對于圓
:
的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中,一定不能為偶函數(shù)B.函數(shù)
是圓
:
的一個太極函數(shù)C．存在圓
,使得
是圓
的一個太極函數(shù)D.直線
所對應的函數(shù)一定是圓
：
的太極函數(shù)【答案】BCD【分析】利用"太極函數(shù)"的定義逐個判斷函數(shù)是否滿足新定義即可.【詳解】對于A,如下圖所示,若太極函數(shù)為偶函數(shù),且
,所以該函數(shù)平分圓
的周長和面積,故A錯誤;對于B,
也關于圓心
對稱,平分圓
的周長和面積,所以函數(shù)
是圓
的一個太極函數(shù);故B正確;對于C,
,.
,該函數(shù)為奇函數(shù),圖象關于原點對稱.所以存在圓
：
使得
是圓
的一個太極函數(shù),如下圖所示,故C正確；對于D,對于直線
的方程,變形為
,令
,得
,直線
經過圓
的圓心,可以平分圓
周長和面積,故D正確.故選:BCD.【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的判定與應用,將新定義理解為函數(shù)的對稱性為解題的關鍵,考查推理能力,屬于較難題.9.設函數(shù)g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移
個單位長度得到函數(shù)f(x),已知f(x)在[0,2π]上有且只有5個零點,則下列結論正確的是()A.f(x)的圖象關于直線
對稱B．f(x)在(0,2π)上有且只有3個極大值點,f(x)在(0,2π)上有且只有2個極小值點C.f(x)在
上單調遞增D.ω的取值范圍是[
)【答案】CD【分析】利用正弦函數(shù)的對稱軸可知,
不正確;由圖可知
在
上還可能有3個極小值點,
不正確;由
解得的結果可知,
正確;根據(jù)
在
上遞增,且
,可知
正確.【詳解】依題意得


,
,如圖:對于
,令
,
,得
,
,所以
的圖象關于直線



對稱,故
不正確;對于
,根據(jù)圖象可知,
,
在
有3個極大值點,
在
有2個或3個極小值點,故
不正確,對于
,因為
,
,所以
,解得
,所以
正確;對于
,因為
,由圖可知
在
上遞增,因為
,所以
,所以
在
上單調遞增,故
正確;故選:CD.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的相位變換,考查了正弦函數(shù)的對稱軸和單調性和周期性,考查了極值點的概念,考查了函數(shù)的零點,考查了數(shù)形結合思想,屬于中檔題.10.已知
(k為常數(shù)),那么函數(shù)
的圖象不可能是()A.
B.
C.
D.
【答案】AD【分析】根據(jù)選項,四個圖象可知備選函數(shù)都具有奇偶性.當
時,
為偶函數(shù),當
時,
為奇函數(shù),再根據(jù)單調性進行分析得出答案.【詳解】由選項的四個圖象可知,備選函數(shù)都具有奇偶性.當
時,
為偶函數(shù),當
時,
且單調遞增,而
在
上單調遞增,故函數(shù)
在
上單調遞增,故選項C正確,D錯誤;當
時,
為奇函數(shù),當
時,
且單調遞增,而
在
上單調遞減,故函數(shù)
在
上單調遞減,故選項B正確,A錯誤.故選:AD.【點睛】關鍵點點睛:本題考查函數(shù)性質與圖象,本題的關鍵是根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性,可知
或
,再判斷函數(shù)的單調性.二、導數(shù)及其應用多選題11.已知函數(shù)
對于任意
,均滿足
.當
時
,若函數(shù)
,下列結論正確的為()A.若
,則
恰有兩個零點B.若
,則
有三個零點C．若
,則
恰有四個零點D.不存在
使得
恰有四個零點【答案】ABC【分析】設
,作出函數(shù)
的圖象,求出直線
與曲線
相切以及直線
過點
時對應的實數(shù)
的值,數(shù)形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】由可知函數(shù)的圖象關于直線對稱.令
,即
,作出函數(shù)
的圖象如下圖所示:令
,則函數(shù)
的零點個數(shù)為函數(shù)
、
的圖象的交點個數(shù),
的定義域為
,且
,則函數(shù)
為偶函數(shù),且函數(shù)
的圖象恒過定點
,當函數(shù)
的圖象過點
時,有
,解得
.過點
作函數(shù)
的圖象的切線,設切點為
,對函數(shù)
求導得
,所以,函數(shù)
的圖象在點
處的切線方程為
,切線過點
,所以,
,解得
,則切線斜率為
,即當
時,函數(shù)
的圖象與函數(shù)
的圖象相切.若函數(shù)
恰有兩個零點,由圖可得
或
,A選項正確;若函數(shù)
恰有三個零點,由圖可得
,B選項正確;若函數(shù)
恰有四個零點,由圖可得
,C選項正確,D選項錯誤.故選:ABC.【點睛】方法點睛:利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法:(1)直接法：先對函數(shù)求導,根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間與極值,根據(jù)函數(shù)的基本性質作出圖象,然后將問題轉化為函數(shù)圖象與
軸的交點問題,突出導數(shù)的工具作用,體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用;（2）構造新函數(shù)法:將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題;（3）參變量分離法：由
分離變量得出
,將問題等價轉化為直線
與函數(shù)
的圖象的交點問題.12.已知函數(shù)
,則下列結論正確的是()A.
是奇函數(shù) B.當
時,函數(shù)
恰有兩個零點C．若
為增函數(shù),則
D．當
時,函數(shù)
恰有兩個極值點【答案】ACD【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項的正誤;利用導數(shù)分析函數(shù)
的單調性,可判斷B選項的正誤;利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系可判斷C選項的正誤;利用導數(shù)以及零點存在定理可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項,函數(shù)
的定義域為
,
,函數(shù)
為奇函數(shù),A選項正確;對于B選項,當
時,
,則
,所以,函數(shù)
在
上為增函數(shù),又
,所以,函數(shù)
有且只有一個零點,B選項錯誤;對于C選項,
,由于函數(shù)
為增函數(shù),則
對任意的
恒成立,即
.令
,則
,則
,所以,函數(shù)
在
上為增函數(shù),當
時,
,此時,函數(shù)
為減函數(shù);當
時,
,此時,函數(shù)
為增函數(shù).所以,
,
,C選項正確;對于D選項,當
時,
,則
.由B選項可知,函數(shù)
在
上單調遞減,在
上單調遞增,，，由零點存在定理可知,函數(shù)
在
和
上都存在一個零點,因此,當
時,函數(shù)
有兩個極值點,D選項正確.故選:ACD.【點睛】結論點睛:利用函數(shù)的單調性求參數(shù),可按照以下原則進行:(1)函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞增
在區(qū)間
上恒成立;(2)函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞減
在區(qū)間
上恒成立;(3)函數(shù)
在區(qū)間
上不單調
在區(qū)間
上存在極值點;（4）函數(shù)
在區(qū)間
上存在單調遞增區(qū)間
,使得
成立;（5）函數(shù)
在區(qū)間
上存在單調遞減區(qū)間
,使得
成立.13.若直線
與曲線
滿足下列兩個條件:(i)直線
在點
處與曲線
相切;（ii)曲線
在
附近位于直線
的兩側,則稱直線
在點
處“切過”曲線
.下列命題正確的是()A.直線
在點
處"切過"曲線
B.直線
在點
處"切過"曲線
C.直線
在點
處“切過"曲線
D.直線
在點
處“切過”曲線
【答案】ACD【分析】分別求出每個選項中命題中曲線
對應函數(shù)的導數(shù),求出曲線
在點
處的切線方程,再由曲線
在點
處兩側的函數(shù)值對應直線上的點的值的大小關系是否滿足(ii),由此可得出合適的選項.【詳解】對于A選項,由
,可得
,則
,所以,曲線
在點
處的切線方程為
,當
時,
；當
時,
,滿足曲線
在點
附近位于直線
兩側,A選項正確;對于B選項,由
,可得
,則
,而直線
的斜率不存在,所以,直線
在點
處不與曲線
相切,B選項錯誤;對于C選項,由
,可得
,則
,所以,曲線
在點
處的切線方程為
,設
,則
,所以,函數(shù)
為
上的增函數(shù),當
時,
,即
;當
時,
,即
.滿足曲線
在點
附近位于直線
兩側,C選項正確;對于D選項,由
,可得
,
,所以,曲線
在點
處的切線方程為
,當
時,設
,則
,所以,函數(shù)
在
上單調遞減.當
時,
,即
;當
時,
,即
.滿足曲線
在點
附近位于直線
兩側,D選項正確.故選:ACD.【點睛】關鍵點點睛:本題考查導數(shù)新定義,解題的關鍵就是理解新定義,并把新定義進行轉化,一是求切線方程,二是判斷在切點兩側函數(shù)值與切線對應的函數(shù)值的大小關系,從而得出結論.14.定義在R上的函數(shù)
,若存在函數(shù)
(a,b為常數(shù)),使得
對一切實數(shù)x都成立,則稱
為函數(shù)
的一個承托函數(shù),下列命題中正確的是()A.函數(shù)
是函數(shù)
的一個承托函數(shù)B.函數(shù)
是函數(shù)
的一個承托函數(shù)C．若函數(shù)
是函數(shù)
的一個承托函數(shù),則a的取值范圍是
D.值域是R的函數(shù)
不存在承托函數(shù)【答案】BC【分析】由承托函數(shù)的定義依次判斷即可.【詳解】解:對A,∵當
時,
,∴
對一切實數(shù)x不一定都成立,故A錯誤;對B,令
,則
恒成立,∴函數(shù)
是函數(shù)
的一個承托函數(shù),故B正確;對C,令
,則
,若
,由題意知,結論成立,若
,令
,得
,∴函數(shù)
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù),∴當
時,函數(shù)
取得極小值,也是最小值,為
,∵
是函數(shù)
的一個承托函數(shù),∴，即，∴，若
,當
時,
,故不成立,綜上,當
時,函數(shù)
是函數(shù)
的一個承托函數(shù),故C正確;對D,不妨令
,則
恒成立,故
是
的一個承托函數(shù),故D錯誤.故選:BC.【點睛】方法點睛:以函數(shù)為載體的新定義問題,是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點,常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等,這類試題中函數(shù)只是基本的依托,考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力.15.在單位圓O:
上任取一點
,圓O與x軸正向的交點是A,將OA繞原點O旋轉到OP所成的角記為
,若x,y關于
的表達式分別為
,
,則下列說法正確的是()A.
是偶函數(shù),
是奇函數(shù);B．
在
上為減函數(shù),
在
上為增函數(shù);C.
在
上恒成立;D.函數(shù)
的最大值為
.【答案】ACD【分析】依據(jù)三角函數(shù)的基本概念可知
,
,根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和單調性可判斷A.B;根據(jù)輔助角公式知
,再利用三角函數(shù)求值域可判斷C;對于D,
,先對函數(shù)
求導,從而可知函數(shù)
的單調性,進而可得當
,
時,函數(shù)
取得最大值,結合正弦的二倍角公式,代入進行運算即可得解.【詳解】由題意,根據(jù)三角函數(shù)的定義可知,
,
,對于A,函數(shù)
是偶函數(shù),
是奇函數(shù),故A正確;對于B,由正弦,余弦函數(shù)的基本性質可知,函數(shù)
在
上為減函數(shù),函數(shù)
在
為增函數(shù),在
為減函數(shù),故B錯誤;對于C,當
時,

,故C正確;對于D,函數(shù)
,求導，令
,則
;令
,則
,
函數(shù)
在
和
上單調遞增,在
上單調遞減,當
即
,
時,函數(shù)取得極大值
,又當
即
,
時,
,所以函數(shù)
取得最大值
,故D正確.故選:ACD.【點睛】方法點睛:考查三角函數(shù)的值域時,常用的方法:(1)將函數(shù)化簡整理為
,再利用三角函數(shù)性質求值域;（2）利用導數(shù)研究三角函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出函數(shù)的最值.16.已知函數(shù)
,則下列說法正確的是()A.當
時,
在
單調遞增B.當
時,
在
處的切線為
軸C.當
時,
在
存在唯一極小值點
,且
D．對任意
,
在
一定存在零點【答案】AC【分析】結合函數(shù)的單調性、極值、最值及零點,分別對四個選項逐個分析,可選出答案.【詳解】對于A,當
時,
,
,因為
時,
,即
,所以
在
上單調遞增,故A正確;對于B,當
時,
,
,則
,
,即切點為
,切線斜率為
,故切線方程為
,故B錯誤;對于C,當
時,
,
,
,當
時,
,
,則
恒成立,即
在
上單調遞增,又，
,因為
,所以
,所以存在唯一
,使得
成立,所以
在
上單調遞減,在
上單調遞增,即
在
存在唯一極小值點
,由
,可得
,因為
,所以
,則

,故C正確;對于選項D,
,
,令
,得
,
,
,則
,令
,得
,則

,令
,得
,則

,此時函數(shù)
單調遞減,令
,得
,則

,此時函數(shù)
單調遞增,所以

時,
取得極小值,極小值為

,在
的極小值中,
最小,當
時,
單調遞減,所以函數(shù)
的最小值為
,當
時,即
時,函數(shù)
與
無交點,即
在
不存在零點,故D錯誤.故選:AC.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、零點、最值,及切線方程的求法,考查學生的推理能力與計算求解能力,屬于難題.17.已知函數(shù)
有兩個零點,則
的可能取值是()A.
B.0 C.1 D.2【答案】CD【分析】求出
的導數(shù),討論
的范圍,結合函數(shù)的單調性和零點存在性定理可判斷求出.【詳解】解:∵函數(shù)
,∴，①若
,那么
,函數(shù)
只有唯一的零點2,不合題意;②若
,那么
恒成立,當
時,
,此時函數(shù)為減函數(shù);當
時,
,此時函數(shù)為增函數(shù);此時當
時,函數(shù)
取極小值
,由
,可得:函數(shù)
在
存在一個零點;當
時,
,
,∴，令
的兩根為
,
,且
,則當
,或
時,
,故函數(shù)
在
存在一個零點;即函數(shù)
在
上存在兩個零點,滿足題意;③若
,則
,當
時,
,，即
恒成立,故
單調遞增,當
時,
,
,即
恒成立,故
單調遞減,當
時,
,
,即
恒成立,故
單調遞增,故當
時,函數(shù)取極大值,由得:函數(shù)
在
上至多存在一個零點,不合題意;④若
,則
,當
時,
,
,即
恒成立,故
單調遞增,當
時,
,
,即
恒成立,故
單調遞增,故函數(shù)
在
上單調遞增,函數(shù)
在
上至多存在一個零點,不合題意;⑤若
,則
,當
時,
,
,即
恒成立,故
單調遞增,當
時,
,
,即
恒成立,故
單調遞減,當
時,
,
,即
恒成立,故
單調遞增,故當
時,函數(shù)取極大值,由
得:函數(shù)
在
上至多存在一個零點,不合題意;綜上所述,
的取值范圍為
,故選:CD.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題,屬于較難題.18.已知
.()A.
的零點個數(shù)為4 B.
的極值點個數(shù)為3C．x軸為曲線
的切線 D．若
,則
【答案】BC【分析】首先根據(jù)
得到
,分別畫出
和
的圖像,從而得到函數(shù)的單調性和極值,再依次判斷選項即可得到答案.【詳解】
,令
,得到
.分別畫出
和
的圖像,如圖所示：由圖知:
有三個解,即
有三個解,分別為
,
,
.所以
,
,
為增函數(shù),
,
,
為減函數(shù),
,
,
為增函數(shù),
,
,
為減函數(shù).所以當
時,
取得極大值為
,當
時,
取得極小值為
,當
時,
取得極大值為
,所以函數(shù)
有兩個零點,三個極值點,A錯誤,B正確.因為函數(shù)
的極大值為
,所以
軸為曲線
的切線,故C正確.因為
在
為增函數(shù),
為減函數(shù),所以存在
,
滿足
,且
,顯然
,故D錯誤.故選:BC【點睛】本題主要考查導數(shù)的綜合應用,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點,極值點和切線,屬于難題.19.當
時,
恒成立,則整數(shù)
的取值可以是().A.
B.
C.0 D.1【答案】ABC【分析】將
,當
時,恒成立,轉化為
,.當
時,恒成立,令
,利用導數(shù)法研究其最小值即可.【詳解】因為當
時,
恒成立,所以
,當
時,恒成立,令，則.令，因為
,所以
在
上單調遞增.因為
,所以
在
上有且僅有一個實數(shù)根
,于是
在
上單調遞減,在
上單調遞增,所以
.(*)因為
,
,所以
,且
,將
代入(*)式,得
,
.因為
在
上為增函數(shù),所以
,即
.因為
為整數(shù),所以
.故選:ABC【點睛】本題主要考查函數(shù)與不等式恒成立問題,還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力,屬于較難題.20.已知實數(shù)a,b,c,d滿足
,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),則
的值可能是()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】BCD【分析】由題中所給的等式,分別構造函數(shù)
和
,則
的表示
上一點
與
上一點
的距離的平方,利用導數(shù)的幾何意義可知當
時,切點到直線的距離最小,再比較選項.【詳解】由
,令
,
由
,令
則
的表示
上一點
與
上一點
的距離的平方,設
上與
平行的切線的切點為
由
,
切點為
所以切點為到的距離的平方為的距離為與的距離的平方的最小值.故選:BCD.【點睛】本題考查構造函數(shù),利用導數(shù)的幾何意義求兩點間距離的最小值,重點考查轉化思想,構造函數(shù),利用幾何意義求最值,屬于偏難題型.三、三角函數(shù)與解三角形多選題21.已知函數(shù)
滿足
,且
在
上有最小值,無最大值.則()A．
B．若
,則
C.
的最小正周期為3 D.
在
上的零點個數(shù)最少為1346個【答案】AC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性可判斷
;根據(jù)已知三角函數(shù)值求角的方法,可得
,
,兩式相減可求出
,進而求得周期,從而可判斷
和
選項;因為
,所以函數(shù)
在區(qū)間
上的長度恰好為673個周期,為了算出零點"至少"有多少個,可取
,進而可判斷
.【詳解】解:由題意得,
在
的區(qū)間中點處取得最小值,即
,所以A正確；因為，且
在
上有最小值,無最大值,所以不妨令
,，兩式相減得,
,所以
,即B錯誤,C正確；因為，所以函數(shù)
在區(qū)間
上的長度恰好為673個周期,當
,即
時,
在區(qū)間
上的零點個數(shù)至少為
個,即D錯誤.故選:AC.【點睛】本題考查與三角函數(shù)有關的命題的真假關系,結合三角函數(shù)的圖象與性質,利用特殊值法以及三角函數(shù)的性質是解題的關鍵,綜合性較強.22.知函數(shù)
,則下述結論中正確的是()A.若
在
有且僅有
個零點,則
在
有且僅有
個極小值點B.若
在
有且僅有
個零點,則
在
上單調遞增C.若
在
有且僅有
個零點,則
的范是
D．若
的圖象關于
對稱,且在
單調,則
的最大值為
【答案】ACD【分析】令
,由
,可得出
,作出函數(shù)
在區(qū)間
上的圖象,可判斷A選項正誤;根據(jù)已知條件求出
的取值范圍,可判斷C選項正誤;利用正弦型函數(shù)的單調性可判斷B選項的正誤;利用正弦型函數(shù)的對稱性與單調性可判斷D選項的正誤.【詳解】令
,由
,可得出
,作出函數(shù)
在區(qū)間
上的圖象,如下圖所示：對于A選項,若
在
有且僅有
個零點,則
在
有且僅有
個極小值點,A選項正確;對于C選項,若
在
有且僅有
個零點,則
,解得
,C選項正確;對于B選項,若
,則
,所以,函數(shù)
在區(qū)間
上不單調,B選項錯誤;對于D選項,若
的圖象關于
對稱,則
,
.
,
,
,
.當
時,
,當
時,
,此時,函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞減,合乎題意,D選項正確.故選:ACD.【點睛】方法點睛:求較為復雜的三角函數(shù)的單調區(qū)間時,首先化簡成

形式,再求
的單調區(qū)間,只需把
看作一個整體代入
的相應單調區(qū)間內即可,注意要先把
化為正數(shù).23.設函數(shù)g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移
個單位長度得到函數(shù)f(x),已知f(x)在[0,2π]上有且只有5個零點,則下列結論正確的是()A.f(x)的圖象關于直線
對稱B．f(x)在(0,2π)上有且只有3個極大值點,f(x)在(0,2π)上有且只有2個極小值點C.f(x)在
上單調遞增D.ω的取值范圍是[
)【答案】CD【分析】利用正弦函數(shù)的對稱軸可知,
不正確;由圖可知
在
上還可能有3個極小值點,
不正確;由
解得的結果可知,
正確;根據(jù)
在
上遞增,且
,可知
正確.【詳解】依題意得


,
,如圖:對于
,令
,
,得
,
,所以
的圖象關于直線



對稱,故
不正確;對于
,根據(jù)圖象可知,
,
在
有3個極大值點,
在
有2個或3個極小值點,故
不正確,對于
,因為
,
,所以
,解得
,所以
正確;對于
,因為
,由圖可知
在
上遞增,因為
,所以
,所以
在
上單調遞增,故
正確;故選:CD.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的相位變換,考查了正弦函數(shù)的對稱軸和單調性和周期性,考查了極值點的概念,考查了函數(shù)的零點,考查了數(shù)形結合思想,屬于中檔題.24.已知函數(shù)
(
,
)的部分圖像如圖所示,則()A.
B.點
是
圖像的一個對稱中心C.
D.直線
是
圖像的一條對稱軸【答案】ABD【分析】由圖知函數(shù)最大值為,最小值為,且函數(shù)圖像與軸的交點為,進而待定系數(shù)得,再整體換元討論B,D選項即可.【詳解】因為
,所以
,解得
,故A正確;
,則
.又
,所以
,故C錯誤；，令
,
,解得
,
,所以
圖像的對稱軸方程為
,令
,則
,D正確;令
,
,解得
,
,令
,則
且
,故B正確.故選:ABD【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像求解析式,三角函數(shù)的對稱軸,對稱中心等,考查運算求解能力,是中檔題.解題的過程中,需要注意形如
,
,
,
的求解通常采用待定系數(shù)法求解.25.已知函數(shù)
的部分圖像如圖所示,則下列關于函數(shù)
的說法中正確的是()A.函數(shù)
最靠近原點的零點為
B.函數(shù)
的圖像在
軸上的截距為
C.函數(shù)
是偶函數(shù)D.函數(shù)
在
上單調遞增【答案】ABC【分析】首先根據(jù)圖象求函數(shù)的解析式,利用零點,以及函數(shù)的性質,整體代入的方法判斷選項.【詳解】根據(jù)函數(shù)
的部分圖像知,
,設
的最小正周期為
,則
,∴
,
.∵
,且
,∴
,故．令
,得
,
,即
,
,因此函數(shù)
最靠近原點的零點為
,故A正確;由
,因此函數(shù)
的圖像在
軸上的截距為
,故B正確;由
,因此函數(shù)
是偶函數(shù),故C正確;令
,
,得
,
,此時函數(shù)
單調遞增,于是函數(shù)
在
上單調遞增,在
上單調遞減,故D不正確．故選：ABC.【點睛】思路點睛:本題考查
的解析式和性質的判斷,可以整體代入驗證的方法判斷函數(shù)性質:(1)對于函數(shù)
,其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點,因此判斷直線
或點
是否是函數(shù)的對稱軸和對稱中心時,可通過驗證
的值進行判斷;(2)判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調區(qū)間時,也可以求
的范圍,驗證此區(qū)間是否是函數(shù)
的增或減區(qū)間.26.函數(shù)
的部分圖象如圖所示,則下列結論正確的是()A．B.若把
的橫坐標縮短為原來的
倍,縱坐標不變,得到的函數(shù)在
上是增函數(shù)C．若把函數(shù)
的圖像向左平移
個單位,則所得函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)
的圖象關于直線
對稱【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式,得選項A正確;求出
得到函數(shù)在
上不是增函數(shù),得選項B錯誤；求出圖象變換后的解析式得到選項C正確;求出函數(shù)的對稱軸方程,得到選項D正確.【詳解】A,如圖所示:
,，，，

,即
,，，，，

,故選項A正確;B,把
的橫坐標縮短為原來的
倍,縱坐標不變,得到的函數(shù)
,，，，

在
,
上不單調遞增,故選項B錯誤;C,把
的圖象向左平移
個單位,則所得函數(shù)
,是奇函數(shù),故選項C正確;D,設
當
,所以函數(shù)
的圖象關于直線
對稱,故選項D正確.故選:ACD【點睛】方法點睛:求三角函數(shù)的解析式,一般利用待定系數(shù)法,一般先設出三角函數(shù)的解析式
,再求待定系數(shù)
,最值確定函數(shù)的
,周期確定函數(shù)的
,非平衡位置的點確定函數(shù)的
.27.設
、
是函數(shù)
的圖象與直線
的交點,若
、
兩點距離的最小值為
,
是該函數(shù)圖象上的一個點,則下列說法正確的是()A.該函數(shù)圖象的一個對稱中心是
B．該函數(shù)圖象的對稱軸方程是
,
C.
在
上單調遞增D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)
的基本性質求出函數(shù)
的解析式,可判斷D選項的正誤,利用余弦型函數(shù)的對稱性可判斷AB選項的正誤,利用余弦型函數(shù)的單調性可判斷C選項的正誤.【詳解】因為
、
是函數(shù)
的圖象與直線
的交點,若
、
兩點距離的最小值為
,則函數(shù)
的最小正周期為
,
,所以,
,將點
的坐標代入函數(shù)
的解析式,可得
,則
.
,
,則
,
,
,D選項正確;對于A選項,
,A選項正確;對于B選項,由
,解得
,所以,函數(shù)
的圖象的對稱軸方程是
,
,B選項正確;對于C選項,當
時,
,所以,函數(shù)
在區(qū)間
上不單調,C選項錯誤.故選:ABD.【點睛】方法點睛:求較為復雜的三角函數(shù)的單調區(qū)間時,首先化簡成
或
形式,再求
或
的單調區(qū)間,只需把
看作一個整體代入
或
的相應單調區(qū)間內即可,注意要先把
化為正數(shù).28.下列結論正確的是()A.在三角形
中,若
,則
B.在銳角三角形
中,不等式
恒成立C．若
,則三角形
為等腰三角形D.在銳角三角形
中,
【答案】ABD【分析】由正弦定理及三角形性質判斷A,由余弦定理判斷B,由正弦函數(shù)性質判斷C,利用銳角△ABC這個條件,可得
,結合三角函數(shù)的單調性比較
與
大小即可判斷D.【詳解】
中,
,由
,得
,A正確;在銳角三角形
中,
,B正確;
中,若
,則
或
,即
或
,
為等腰三角形或直角三角形,C錯誤；在銳角三角形中,,,
,即
,同理:

,D正確.故選:ABD.【點睛】關鍵點睛:本題考查正弦定理,余弦定理,正弦函數(shù)的性質,誘導公式等,學會公式的靈活應用是解答本題的關鍵.29.已知函數(shù)
,若不等式
對任意
恒成立,則實數(shù)
的可能取值為()A.
B.
C.
D.
【答案】CD【分析】令
,則
,可判斷
是奇函數(shù)且單調遞增,不等式可變形可得
,所以
,令
,換元法求出
的最大值,
即可.【詳解】令
,則
,
的定義域為
,，所以
,所以
是奇函數(shù),不等式等價于，即，當
時
單調遞增,可得
單調遞增,
單調遞增,
單調遞減,所以
在
單調遞增,又因為
為奇函數(shù),所以
在
上單調遞增,所以
,即
,令
,只需
,令
,則
,
,所以
,對稱軸為
,所以
時,
,所以可得實數(shù)
的可能取值為
或
,故選:CD【點睛】關鍵點點睛:本題解題的關鍵點是構造函數(shù)
奇函數(shù)且是增函數(shù),將原不等式脫掉
轉化為函數(shù)恒成立問題.30.設函數(shù)
,已知
在
有且僅有
個零點,則()A．在
上存在
、
,滿足
B.
在
有且僅有
個最小值點C.
在
上單調遞增D.
的取值范圍是
【答案】AD【分析】化簡函數(shù)
的解析式為
,令
,由
可求得
,作出函數(shù)
的圖象,可判斷AB選項的正誤;由圖象得出
可判斷D選項的正誤;取
,利用正弦型函數(shù)的單調性可判斷C選項的正誤.【詳解】，當
時,
,令
,則
,作出函數(shù)
的圖象如下圖所示:對于A選項,由圖象可知,
,
,所以,在
上存在
、
,滿足
,A選項正確;對于B選項,
在
上有
個或
個最小值點,B選項錯誤;對于D選項,由于函數(shù)
在
有且僅有
個零點,則
,解得
,D選項正確;對于C選項,由于
,取
,當
時,
,此時,函數(shù)
在區(qū)間
上不單調,C選項錯誤.故選:AD.【點睛】關鍵點點睛:本題考查利用正弦型函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)判斷正弦型函數(shù)的基本性質,解本題的關鍵在于換元
,將問題轉化為函數(shù)
在區(qū)間
上的零點個數(shù)問題,數(shù)形結合來求解.四、數(shù)列多選題31.在數(shù)學課堂上,教師引導學生構造新數(shù)列:在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和,形成新的數(shù)列,再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進行構造,第1次得到數(shù)列1,3,2;第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2;…;第
次得到數(shù)列1,
,2;…記
,數(shù)列
的前
項為
,則()A.
B.
C.
D.
【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的構造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結果,尋找規(guī)律,再進行推理運算即可.【詳解】由題意可知,第1次得到數(shù)列1,3,2,此時
第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2,此時
第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此時
第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此時
第
次得到數(shù)列1,
,2此時
所以
,故A項正確;結合A項中列出的數(shù)列可得:
用等比數(shù)列求和可得則又所以
,故B項正確;由B項分析可知即
,故C項錯誤.

,故D項正確.故選:ABD.【點睛】本題需要根據(jù)數(shù)列的構造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結果,尋找規(guī)律,對于復雜問題,著名數(shù)學家華羅庚指出:善于"退",足夠的"退",退到最原始而不失重要的地方,是學好數(shù)學的一個訣竅.所以對于復雜問題我們應該先足夠的退到我們最容易看清楚的地方,認透了,鉆深了,然后再上去,這就是以退為進的思想.32.設數(shù)列
的前
項和為
,若存在實數(shù)
,使得對任意
,都有
,則稱數(shù)列
為"
數(shù)列".則以下結論正確的是()A.若
是等差數(shù)列,且
,公差
,則數(shù)列
是"
數(shù)列"B.若
是等比數(shù)列,且公比
滿足
,則數(shù)列
是"
數(shù)列"C.若
,則數(shù)列
是“
數(shù)列”D．若
,則數(shù)列
是“
數(shù)列【答案】BC【分析】寫出等差數(shù)列的前
項和結合"
數(shù)列"的定義判斷A;寫出等比數(shù)列的前
項和結合"
數(shù)列"的定義判斷B;利用裂項相消法求和判斷C;當
無限增大時,
也無限增大判斷D.【詳解】在A中,若
是等差數(shù)列,且
,公差
,則
,當
無限增大時,
也無限增大,所以數(shù)列
不是"
數(shù)列",故A錯誤.在B中,因為
是等比數(shù)列,且公比
滿足
,所以
,所以數(shù)列
是"
數(shù)列",故B正確.在C中,因為
,所以
.所以數(shù)列
是"
數(shù)列",故C正確.在D中,因為
,所以
,當
無限增大時,
也無限增大,所以數(shù)列
不是“
數(shù)列",故D錯誤.故選:BC.【點睛】方法點睛:裂項相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時很難找到裂項的方向,突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結構特點,常見的裂項技巧:(1)
;(2)

;(3)
;(4)


;此外,需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題,導致計算結果錯誤.33.已知等差數(shù)列
的公差
,前
項和為
,且
,則()A．B．C.數(shù)列
中可以取出無窮多項構成等比數(shù)列D．設
,數(shù)列
的前
項和為
,則
【答案】AC【分析】利用已知條件可得
與已知條件兩式相減,結合
是等差數(shù)列,可求
的值即可判斷選項A,令
即可求
的值,可判斷選項B,分別計算
的通項即可判斷選項C,分別討論兩種情況下
,即可求
可判斷選項D.【詳解】因為
,所以
,兩式相減,得
,因為
,所以
,
,故選項A正確;當
時,
,易解得
或
,故選項B不正確;由選項A.B可知,當
,
時,
,
可取遍所有正整數(shù),所以可取出無窮多項成等比數(shù)列,同理當
時也可以取出無窮多項成等比數(shù)列,故選項C正確;當
時,
,
,因為，所以，當
時,
,
,所以，此時，所以
,故選項D不正確.故選:AC.【點睛】方法點睛:數(shù)列求和的方法(1)倒序相加法:如果一個數(shù)列
的前
項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前
項和即可以用倒序相加法(2)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的,那么這個數(shù)列的前
項和即可以用錯位相減法來求;（3）裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時,中間的一些項可相互抵消,從而求得其和;（4）分組轉化法:一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前
項和可以兩兩結合求解,則稱之為并項求和,形如
類型,可采用兩項合并求解.34.兩個等差數(shù)列
和
,其公差分別為
和
,其前
項和分別為
和
,則下列命題中正確的是()A.若
為等差數(shù)列,則
B.若
為等差數(shù)列,則
C.若
為等差數(shù)列,則
D．若
,則
也為等差數(shù)列,且公差為
【答案】AB【分析】對于A,利用
化簡可得答案;對于B,利用
化簡可得答案;對于C,利用
化簡可得答案;對于D,根據(jù)
可得答案.【詳解】對于A,因為
為等差數(shù)列,所以
,即
,所以
,化簡得
,所以
,故A正確;對于B,因為
為等差數(shù)列,所以
,所以，所以
,故B正確;對于C,因為
為等差數(shù)列,所以
,所以，化簡得
,所以
或
,故C不正確;對于D,因為
,且
,所以

,所以，所以

,所以
也為等差數(shù)列,且公差為
,故D不正確.故選:AB【點睛】關鍵點點睛:利用等差數(shù)列的定義以及等差中項求解是解題關鍵.35.已知數(shù)列
……,其中第一項是
,接下來的兩項是
再接下來的三項是
依次類推…,第
項記為
,數(shù)列
的前
項和為
,則()A.
B.
C.
D.
【答案】AC【分析】對于AC兩項,可將數(shù)列進行分組,計算出前
組一共有
個數(shù),第
組第
個數(shù)即
,可得到選項C由C得到
,
則為第11組第5個數(shù),可得
對于BD項,可先算得
,即前
組數(shù)之和
即為前5組數(shù)之和加上第6組前3個數(shù),由
結論計算即可.【詳解】A.由題可將數(shù)列分組第一組:
第二組:
第三組:
則前組一共有…個數(shù)第
組第
個數(shù)即
,故
,C對又
,故
又，則為第11組第5個數(shù)第11組有數(shù):
故
,A對對于D.每一組的和為…故前組之和為…故D錯.對于B.由D可知,
，故B錯故選:AC【點睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加:用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關聯(lián)的數(shù)列的求和.(2)錯位相減:用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和.(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和.36.記數(shù)列
的前n項和為
,
,下列四個命題中不正確的有()A.若
,且對于
,則數(shù)列
為等比數(shù)列B.若
(非零常數(shù)q,A,B滿足
,
),則數(shù)列
為等比數(shù)列C.若數(shù)列
為等比數(shù)列,則
仍為等比數(shù)列D．設數(shù)列
是等比數(shù)列,若
,則
為遞增數(shù)列【答案】AC【分析】若
,滿足對于
,但數(shù)列
不是等比數(shù)列,可判斷A;利用
與
的關系,可求得數(shù)列
的通項公式,可判斷