5.1數(shù)字基帶信號傳輸系統(tǒng)的構(gòu)成及應(yīng)用

5.2數(shù)字基帶信號的碼型和波形

5.3數(shù)字基帶信號的頻譜分析

5.4數(shù)字基帶傳輸中的碼間串?dāng)_和噪聲

5.5無碼間串?dāng)_的傳輸特性

5.6無碼間串?dāng)_時噪聲對傳輸性能的影響

5.7多進制數(shù)字基帶信號的傳輸

5.8眼圖

5.9改善數(shù)字信號基帶傳輸性能的措施

思考題

習(xí)題

第5章數(shù)字信號的基帶傳輸5.1數(shù)字基帶信號傳輸系統(tǒng)的構(gòu)成及應(yīng)用由于數(shù)字通信系統(tǒng)具有抗噪聲性能好，傳輸質(zhì)量高，便于保密等一系列優(yōu)點，因而得到迅速發(fā)展。本書以數(shù)字通信系統(tǒng)為重點，將數(shù)字通信系統(tǒng)的兩種傳輸方式——基帶傳輸和頻帶傳輸(數(shù)字載波調(diào)制)分兩章進行討論。本節(jié)先介紹數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)的構(gòu)成及各部分的功能。5.1.1數(shù)字基帶信號傳輸系統(tǒng)的構(gòu)成圖5.1是一個典型的數(shù)字基帶信號傳輸系統(tǒng)的原理框圖。圖5.1數(shù)字基帶信號傳輸系統(tǒng)方框圖

1．脈沖形成器數(shù)字基帶信號傳輸系統(tǒng)的輸入端通常是碼元速率為RB、碼元寬度為TB的二進制或多進制脈沖序列，用符號{dk}表示。由于在二進制傳輸中滿足RB=Rb，因此習(xí)慣用Rb或fb表示碼元速率，用Tb表示碼元寬度。諸如計算機、電傳機等一般終端設(shè)備送來的“1”、“0”代碼序列就是這種二進制數(shù)據(jù)序列。圖5.2給出了基帶傳輸系統(tǒng)各點的波形。如果用“1”碼代表正電平A，“0”碼代表0電平，則這種代碼序列稱為單極性碼，如圖5.2(a)所示。圖5.2基帶傳輸系統(tǒng)各點波形脈沖形成器的可能變換作用之一是把單極性碼變換為圖5.2(c)所示的雙極性半占空碼，半占空是指脈沖寬度只有碼元間隔Tb的一半。此時脈沖形成器輸出x(t)可以表示為

(5.1)其中Pg(t)是圖5.2(b)所示的矩形脈沖，其寬度為Tb/2，高度為1，而

(5.2)脈沖形成器還可以形成其他各種不同的碼型，因此脈沖形成器也可以稱為碼型變換器。

2．發(fā)送濾波器脈沖形成器輸出的各種碼型是以矩形脈沖為基礎(chǔ)的。這種以矩形脈沖為基礎(chǔ)的碼型，一般情況下低頻分量比較大，占用頻帶比較寬，高頻成分豐富。為了更適合于信道傳輸?shù)囊?，可以通過發(fā)送濾波器把它變換為變化比較平滑的波形，如圖5.2(d)所示的波形就是一種可能采用的波形。發(fā)送濾波器的傳輸函數(shù)假設(shè)為GT(ω)，其輸出為xT(t)。

3．信道基帶傳輸系統(tǒng)的信道通常是電纜、架空明線等有線信道。假設(shè)傳輸函數(shù)為C(ω)，由于C(ω)一般不滿足不失真?zhèn)鬏敆l件，因此會引起傳輸波形的失真。另外，信道中會引入噪聲n(t)，通常假設(shè)噪聲n(t)是均值為0的高斯白噪聲，但是由于信道的頻帶有限，因此可以認為n(t)是均值為零的窄帶高斯噪聲。

4．接收濾波器

xT(t)經(jīng)過信道時，由于信道特性不理想而將引起波形失真，再加上混入了噪聲，因此送到接收濾波器輸入端的波形與xT(t)差別比較大。這個時候如果馬上進行抽樣判決，則很可能產(chǎn)生比較多的錯碼，因此，在抽樣判決前需先經(jīng)過一個接收濾波器。接收濾波器一方面可濾除大量的帶外噪聲，另一方面可對失真了的波形進行均衡，以得到有利于抽樣判決器判決的波形。圖5.2(e)畫出了接收濾波器輸出y(t)的可能波形，y(t)波形和發(fā)送濾波器輸出波形相比較，既有失真又有噪聲，時間上也有延遲。

5．抽樣判決和碼元再生

y(t)的波形一般不可能也沒有必要與x(t)或xT(t)的波形完全一樣，在接收數(shù)字信號時，接收端只要在由定時脈沖控制的規(guī)定時刻判別出它是“1”碼還是“0”碼即可。也就是說，在規(guī)定時刻對y(t)進行抽樣，并對抽樣值進行判決，確定是“1”還是“0”，然后由碼元再生電路實現(xiàn)碼型反變換，還原出輸出單極性全占空矩形脈沖序列。接收端的定時脈沖(cp，clockpulse)由同步提取電路產(chǎn)生，它是一個周期與發(fā)送脈沖序列的定時脈沖相同的窄脈沖序列，應(yīng)該對準(zhǔn)y(t)波形出現(xiàn)正或負最大值的時刻，如圖5.2(f)所示。

圖5.2中的傳輸波形是雙極性的，應(yīng)規(guī)定判決電平為0。當(dāng)抽樣值大于0時，判為“1”碼;反之，當(dāng)抽樣值小于0時，判為“0”碼。造成判決錯誤的主要原因是噪聲和傳輸特性(包括收、發(fā)濾波器和信道的特性)不好而引起的碼間串?dāng)_，這一方面的內(nèi)容在后面要詳細討論。

6．定時脈沖和同步提取電路

在數(shù)字信號傳輸過程中，收、發(fā)兩端有一個時間上同步的問題。在圖5.2中，發(fā)端某一時刻發(fā)出一個碼元，收端在相應(yīng)某一時刻(一般滯后一個固定時間)抽樣判決后再生這個碼元，這樣,收、發(fā)兩端的碼元一一對應(yīng)而不會搞錯。這個任務(wù)由收發(fā)定時脈沖完成，而收端的定時脈沖cp往往由同步提取電路提取。如果傳輸?shù)娜^程中噪聲比較小，傳輸特性也比較好，因而碼間串?dāng)_足夠小，則{dk}經(jīng)過傳輸以后變?yōu)椋c{dk}的波形完全一樣。但實際上不可能做到一點錯誤判決也沒有，例如圖5.2中的輸出波形，就有一個碼元發(fā)生了錯誤判決，即第4個碼元發(fā)的是“1”碼，而錯判為“0”碼。5.1.2基帶數(shù)字信號傳輸?shù)膽?yīng)用基帶數(shù)字信號的傳輸在有線通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，在無線通信系統(tǒng)中也有一定的用途。當(dāng)數(shù)字終端和無線收發(fā)信機之間有一定距離時，終端送出來的基帶數(shù)字信號首先要經(jīng)過一定距離的電纜傳輸?shù)桨l(fā)信機，然后進行載波調(diào)制，調(diào)制后的數(shù)字頻帶信號經(jīng)過無線信道傳輸?shù)绞招艡C。收信機把數(shù)字頻帶信號解調(diào)后，再把解調(diào)后的數(shù)字基帶信號經(jīng)過一定距離的電纜送到數(shù)字終端。一般在無線通信系統(tǒng)中，數(shù)字信號的基帶傳輸是近距離的，通常不超過10千米，不需要再生中繼站。但是在有線通信系統(tǒng)中，基帶數(shù)字信號的傳輸有可能是長距離的，通常為幾十以至幾百千米，此時要加再生中繼站。圖5.3是基帶數(shù)字信號傳輸?shù)脑硎疽鈭D，其中,圖5.3(a)畫出了基帶數(shù)字信號傳輸在無線通信系統(tǒng)中的應(yīng)用示意圖，終端到收發(fā)信機通過電纜傳輸?shù)牟糠志褪腔鶐鬏敚粓D5.3(b)畫出了基帶數(shù)字信號傳輸在有線通信系統(tǒng)中的應(yīng)用示例。圖5.3基帶數(shù)字信號傳輸再生中繼站的作用是將輸入的已失真小信號加以放大和均衡，并從中提取同步定時脈沖，再生出與發(fā)端一樣的脈沖波形。只要再生中繼站的距離選得比較合適，就可以使每站的誤碼率控制在比較低的量級。當(dāng)采用m個再生中繼段時，每段的誤碼率為Pe，顯然總的誤碼率是要增加的，當(dāng)Pe較小時，經(jīng)過計算，m段的總誤碼率近似為mPe。5.2數(shù)字基帶信號的碼型和波形在圖5.1所示的方框圖中直接把二進制代碼作為輸入信號。但是,實際需要傳輸?shù)男畔⑹歉鞣N各樣的，有文字、數(shù)字、語言、圖像等，它們有的是模擬信號，有的雖然本身就是數(shù)字信號，但并不是二進制數(shù)字信號，因此，這些信號都需要通過一定的方法轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)字信號。5.2.1常用碼型數(shù)字基帶信號的碼型很多(有的書上列出了30多種)，這里主要介紹以矩形脈沖為基礎(chǔ)的最常用的幾種碼型，并簡要描述它們的優(yōu)缺點和用途。由于各種碼型的優(yōu)缺點與后面各節(jié)的內(nèi)容以及第8章的內(nèi)容有關(guān)，因此在這里只要一般了解即可。

1．單極性碼圖5.4給出了幾種數(shù)字基帶信號碼型圖，其中圖5.4(a)所示的代碼是單極性碼，這是一種最簡單、最常用的碼型。實際上,像從電傳機等一般終端設(shè)備送來的都是單極性碼，這是因為一般終端設(shè)備都是要接地的，因此輸出單極性碼最為方便。但是從基帶數(shù)字信號傳輸?shù)倪^程看，單極性碼由于以下一些缺點而很少采用：

(1)單極性碼有直流成分，而一般有線信道低頻傳輸特性比較差，很難傳送零頻率附近的分量，例如有變壓器時直流就無法通過。

(2)接收端對單極性碼的判決電平一般應(yīng)取接收到“1”碼電平的一半，但是由于信道衰減會隨各種因素變化，因此判決電平不能穩(wěn)定在最佳的電平，導(dǎo)致抗噪聲性能不好。

(3)單極性碼不能直接提取同步信號。

(4)單極性碼傳輸時要求信道的一端接地，因此不能使用兩根芯線均不接地的電纜等傳輸線。圖5.4各種基帶信號的碼型圖

2．雙極性碼單極性碼不適合信道傳輸，因此一般由終端送來的單極性碼要通過圖5.1中所示的脈沖形成器(碼型變換器)變成適合于信道傳輸?shù)拇a型。其中最簡單的一種變換是雙極性碼，如圖5.4(b)所示，其特點是數(shù)字消息用兩個極性相反而幅度相等的脈沖來表示。與單極性碼比較，雙極性碼由于有以下優(yōu)點而得到較多的應(yīng)用：

(1)從統(tǒng)計平均觀點來看，消息“0”和“1”的數(shù)目各占一半，所以無直流成分。

(2)接收雙極性碼時判決電平為0，穩(wěn)定不變，抗噪聲性能好。

(3)可以在電纜等無接地的傳輸線上傳輸。雙極性碼存在的主要缺點是：

(1)不能直接從雙極性碼中提取同步信號。

(2)“1”、“0”碼不等概出現(xiàn)時，仍然有直流成分。

3．單極性歸零碼單極性歸零碼是在傳送“1”碼時發(fā)送一個寬度小于碼元持續(xù)時間的歸零脈沖，在傳送“0”碼時不發(fā)送脈沖，其波形如圖5.4(c)所示。與圖5.4(a)所示的波形相比，脈沖寬度變窄，即還沒有到一個碼元的終止時刻就回到零值，因此稱為單極性歸零碼。與此對應(yīng)，單極性碼的脈沖占據(jù)整個碼元寬度Tb，因此也稱不歸零碼或全占空碼。顯然,歸零碼不是全占空的。如果歸零碼寬度為τ，則稱τ/Tb為占空比；如果τ=Tb/2或τ/Tb=0.5，則稱為半占空碼。單極性歸零碼與單極性碼比較，除了仍然具有單極性碼的一般缺點以外，主要優(yōu)點是可以直接提取同步信號。這個優(yōu)點并不意味著單極性碼能廣泛應(yīng)用到信道上傳輸，但它卻是后面要講的其他碼型提取同步信號時需要采用的一個過渡碼型,即其他適合于信道傳輸?shù)荒苤苯犹崛⊥叫盘柕拇a型，可以先變換為單極性歸零碼后再提取同步信號。

4．雙極性歸零碼雙極性歸零碼的構(gòu)成原理與單極性歸零碼相似，如圖5.4(d)所示。這種碼型除了具有雙極性碼的一般優(yōu)點以外，主要優(yōu)點是可以通過簡單的變換電路(即全波整流電路)變換為單極性歸零碼，從而可以提取同步信號。因此,雙極性歸零碼得到比較廣泛的應(yīng)用。

5．差分碼差分碼的特點是把二進制脈沖序列中的“1”或“0”反映在相鄰信號碼元的相對極性變化上，是一種相對碼。例如,相鄰碼元的極性變化表示“1”碼，而極性不變表示“0”碼,由此可以得到如圖5.4(e)所示的波形。也可以作相反的規(guī)定，用相鄰碼元的極性變化表示“0”碼，而極性不變表示“1”碼。

這種碼型的波形與碼元本身的極性無關(guān)，因此即使接收端接收到的碼元極性與發(fā)送端的完全相反，也能正確地進行判決。下一章講數(shù)字信號調(diào)制與解調(diào)時，在差分相移鍵控(DPSK，DifferentalPhaseShiftKeying)系統(tǒng)中要用到并進一步討論這種碼型。經(jīng)過頻譜分析可以知道，以上5種碼型都屬于低頻成分比較豐富的碼型，即使是雙極性碼型，當(dāng)“1”、“0”碼不等概出現(xiàn)時，仍然有直流成分。下面介紹幾種低頻成分比較小，而且即使“1”、“0”碼不等概時也沒有直流成分的碼型。

6．極性交替轉(zhuǎn)換碼極性交替轉(zhuǎn)換(AMI，AlternativeMarkInversion)碼的名稱很多，例如平衡對稱碼，傳號交替反轉(zhuǎn)碼等。其特點是把二進制脈沖序列中的“0”碼與零電平對應(yīng)，而“1”碼發(fā)送極性交替的正、負電平，如圖5.4(f)所示。這種碼型實際上把二進制脈沖序列變?yōu)?電平的符號序列。

AMI碼具有以下優(yōu)點：

(1)在“1”、“0”碼不等概條件下也無直流成分。

(2)零頻率附近的低頻分量較小。

(3)接收端收到的碼元極性與發(fā)送端完全相反時，也能正確判別。

(4)只要把AMI碼經(jīng)過全波整流就可以變?yōu)閱螛O性碼；如果AMI碼是歸零的，則變?yōu)閱螛O性歸零碼后就可以提取同步信號。由于AMI碼具有如上所述的優(yōu)點，因此是目前最常用的碼型之一。

7．成對的二進制碼成對的二進制和多進制碼的碼型如圖5.5所示。成對的二進制碼型的特點是每個碼元用兩個連續(xù)的極性相反的脈沖表示，例如“1”碼用正、負脈沖表示，而“0”碼用負、正脈沖表示，如圖5.5(a)所示。圖中為便于看清楚脈沖波形，不用矩形脈沖，而用升余弦脈沖。這種碼型不會有直流成分，并且有比較尖銳的頻譜特性。但是,由于它的脈沖寬度比不歸零碼窄，因此帶寬比較大。圖5.5成對的二進制碼和多進制碼

8．三階高密度雙極性碼三階高密度雙極性碼(HDB3，HightDensityBipolar3)是由AMI碼改進得來的一系列高密度雙極性碼(HDB1，HDB2，HDB3等)中最重要的一種，主要解決AMI碼在連“0”碼過多時同步提取困難的問題。這是因為，在連“0”碼時,AMI輸出均為零電平，這段時間內(nèi)無法提取位同步信號，而前面非連“0”碼時,提取的位同步信號又不能保持足夠的時間。

1)HDB3碼的編碼原理當(dāng)輸入二進制碼元序列中的連“0”碼不超過3個時，HDB3碼和AMI碼完全一樣。當(dāng)連0碼為4個或4個以上時，應(yīng)將第4個連“0”碼改為“1”碼，這樣就可以將較長的連“0”碼切斷為不超過3個連“0”碼的段。這個由“0”碼改變而來的“1”碼稱為破壞脈沖，在如圖5.6所示的HDB3碼編碼過程中用符號V表示，而原來的二進制碼元序列中所有的“1”碼稱為信碼，在圖5.6中用符號B表示。圖5.6(a)、(b)、(c)分別表示一個二進制碼元序列、相應(yīng)的AMI碼和編HDB3碼時信碼B和破壞脈沖V的位置。圖5.6HDB3碼編碼過程當(dāng)信碼序列中間加破壞脈沖V以后，信碼B和破壞脈沖V的正、負怎樣確定呢？要回答這個問題,首先要確定必須滿足的兩個條件:

(a)B碼和V碼各自都應(yīng)始終保持極性交替變化的規(guī)律，以便確保編好的碼中沒有直流成分。

(b)V碼必須與前一個碼(信碼B)同極性，以便和正常的AMI碼區(qū)別開來。如果這個條件得不到滿足，那么應(yīng)該在4個連“0”碼的第一個“0”碼位置上加一個與V碼(4個連“0”碼的第4個“0”碼位置上)同極性的補信碼，用符號B′表示。此時，B碼與補信碼B′合起來保持條件(a)中信碼極性交替變化的規(guī)律。

根據(jù)上面兩個條件，我們再來看圖5.6中所舉的例子。任意假設(shè)第一個信碼B為正脈沖，用B+表示，它前面的一個破壞脈沖V為負脈沖，用V-表示。這樣可以根據(jù)上面兩個條件的規(guī)定畫出圖5.6(d)所示的B碼、B′和V碼的位置以及它們的極性，而圖5.6(e)給出了編好的HDB3碼，圖中+1表示正脈沖，-1表示負脈沖。編好HDB3碼的波形見圖5.4(g)。

從圖5.6(d)中可以看到，V碼前面有的加了補信碼B′，有的沒有加。那么什么時候加補信碼B′，什么時候不加呢？經(jīng)過研究可以得出一個簡單的結(jié)論：當(dāng)圖5.6(c)中兩個V碼之間的信碼B的數(shù)目是偶數(shù)時，應(yīng)該在后面這個V碼的前3個碼位上加一個補信碼B′；反之，當(dāng)兩個V碼之間的信碼B的數(shù)目是奇數(shù)時，就不要加補信碼B′了。

2)HDB3碼譯碼原理由相鄰兩個同極性碼找出V碼，同極性碼中后面的那個碼是V碼。由V碼向前數(shù)的第3個碼如果不是零碼，則表明它是補信碼B′；把V碼和B′去掉以后留下來的全是信碼(但它不一定正、負極性交替)，把它全波整流以后得到的是單極性碼。

HDB3碼編譯碼的具體實現(xiàn)電路是很復(fù)雜的，這里不作進一步討論。

3)HDB3碼的優(yōu)缺點

HDB3碼的優(yōu)點是無直流成分，低頻成分少，頻帶也比較窄，另外即使有長連“0”碼時也能提取位同步信號；缺點是編譯碼電路比較復(fù)雜。

HDB3碼是應(yīng)用得最多的碼型之一。

9．多進制(多電平)碼上面講的都是常用的二進制代碼，有時也會用到多進制代碼。圖5.5(b)、(c)分別畫出了兩種四進制代碼的波形。其中,圖5.5(b)只有正電平，即0、1、2、3四個電平，而圖5.5(c)正、負電平均有，即+3、+1、-1、-3四個電平。采用多進制代碼的目的是在碼元速率一定時提高信息速率。

上面介紹的幾種常用碼型，在本章后面各章的學(xué)習(xí)中將會經(jīng)常遇到。至于各種碼型之間的變換，有的很簡單，例如單極性碼變?yōu)殡p極性碼時，只要去掉直流成分即可(可以用隔直流電容等)，雙極性碼變?yōu)閱螛O性碼時，只要用一個半波整流電路即可；另一方面，有的碼型變換卻很復(fù)雜，例如單極性碼與HDB3碼之間的互相轉(zhuǎn)換。通常情況下，以矩形脈沖為基礎(chǔ)的各種碼型之間的變換，都可以通過數(shù)字電路及邏輯設(shè)計來實現(xiàn)。5.2.2基帶波形的形成上面介紹的各種常用碼型都是以矩形脈沖為基礎(chǔ)的，這些碼型可以直接通過基帶信道進行傳輸，也可以直接對載波進行調(diào)制后在頻帶信道進行傳輸。但是，由于矩形脈沖的上升沿和下降沿是突變的，高頻成分比較豐富，占用的頻帶比較寬。如果信道帶寬有限或者信道帶寬足夠但是分給該數(shù)字信號傳輸?shù)膸捰邢?，則采用以矩形脈沖為基礎(chǔ)的碼型就不合適。此時需要采用更適合于信道傳輸?shù)牟ㄐ?，例如采用變化比較平滑的以升余弦脈沖為基礎(chǔ)的數(shù)字信號。這就存在一個如何由矩形脈沖形成需要的傳輸波形的問題。

波形形成的方法過去都是由濾波器完成的，隨著數(shù)字電路的發(fā)展，也可以通過數(shù)字電路來形成需要的波形。由于波形形成的具體方法涉及濾波器設(shè)計和數(shù)字電路的設(shè)計等很多復(fù)雜的問題，這里不再進一步討論。5.3數(shù)字基帶信號的頻譜分析研究數(shù)字基帶信號的頻譜，可以搞清楚信號傳輸中一些很重要的問題，例如信號中有沒有直流成分、有沒有可供提取同步信號的離散分量及信號的帶寬等。數(shù)字基帶信號通常都是隨機脈沖序列，只有測試信號等特殊信號才是確知信號。確知信號的頻譜分析在第2章已經(jīng)討論過，這里將研究隨機脈沖序列的頻譜分析。由于這種分析在數(shù)學(xué)運算上比較復(fù)雜，因此一些復(fù)雜的推導(dǎo)過程不要求讀者掌握，只要搞清分析的思路和方法即可。但是,對于推導(dǎo)得到的結(jié)果要求能夠應(yīng)用。5.3.1隨機脈沖序列的波形和一般表示式

1．波形為了使分析具有普遍性，任意假設(shè)二進制隨機脈沖序列“1”碼的基本波形為g1(t)，“0”碼的基本波形為g2(t)。為了便于在圖形上區(qū)分，在作圖時假設(shè)g1(t)是寬度為Tb的矩形脈沖，g2(t)是寬度為Tb的三角形波，如圖5.7(a)所示。信號x(t)是由g1(t)和g2(t)這樣的基本波形組成的隨機脈沖序列，每個碼元間隔內(nèi)的波形都是隨機出現(xiàn)的，因此不可能畫出它確切的波形，而只能畫出其中某一個實現(xiàn)，如圖5.7(b)所示。

圖5.7隨機脈沖序列的波形圖

2．?dāng)?shù)學(xué)表示式

x(t)是一個二進制隨機脈沖序列，雖然每個碼元間隔內(nèi)出現(xiàn)哪種波形是隨機的，但是兩種波形出現(xiàn)的概率經(jīng)過統(tǒng)計是可以得到的。假設(shè)“1”碼出現(xiàn)的概率為p，則“0”碼出現(xiàn)的概率為1-p。此時x(t)可以表示為

(5.3)其中

(5.4)如果把隨機脈沖序列x(t)分解為穩(wěn)態(tài)項v(t)和交變項u(t)，則將使頻譜分析的物理概念更清楚、推導(dǎo)過程更簡化。

1)穩(wěn)態(tài)項v(t)

v(t)可以看做隨機脈沖序列中的平均分量，由于“1”、“0”碼出現(xiàn)的概率分別為p和1-p，因此在每一個碼元間隔內(nèi)“1”碼平均出現(xiàn)p，“0”碼平均出現(xiàn)1-p。例如在-Tb/2到+Tb/2這個碼元間隔內(nèi)，平均起來將出現(xiàn)pg1(t)和(1-p)g2(t)，因此這個間隔的穩(wěn)態(tài)項為pg1(t)+(1-p)g2(t)。以此類推，可以寫出v(t)的表示式為

(5.5)其波形如圖5.7(c)所示。顯然，v(t)是一個以碼元寬度Tb為周期的周期函數(shù)，它是一個確知信號，由v(t)可以經(jīng)過傅氏級數(shù)求出離散頻譜。這一特點很有實用價值，因為只要通過穩(wěn)態(tài)項就可以搞清x(t)中有沒有直流成分和可供提取同步信號的離散分量，特別是有沒有基波成分fb=1/Tb。

2)交變項u(t)

u(t)是x(t)中減去v(t)后留下來的部分，即u(t)=x(t)-v(t)

(5.6)在某一碼元間隔內(nèi)u(t)可能出現(xiàn)兩種波形。一種是當(dāng)x(t)在此碼元間隔內(nèi)出現(xiàn)的是g1(t)，出現(xiàn)概率為p。以-Tb/2~Tb/2這個碼元間隔為例，此時有u(t)=g1(t)–v(t)=g1(t)–[pg1(t)+(1–p)g2(t)]

=(1–p)[g1(t)–g2(t)]，以概率p出現(xiàn)

(5.7)另一種是當(dāng)x(t)在此碼元間隔內(nèi)出現(xiàn)的是g2(t)，出現(xiàn)的概率為1-p。此時也以-Tb/2~Tb/2這個碼元間隔為例，有u(t)=g2(t)–v(t)=g2(t)–[pg1(t)+(1–p)g2(t)]

=–p[g1(t)–g2(t)]，以概率(1–p)出現(xiàn)

(5.8)寫成普遍形式，有

(5.9)其中,

(5.10)或者寫成

un(t)=an［g1(t-nTb)-g2(t-nTb)］(5.11)其中,

(5.12)

u(t)是非周期的隨機脈沖序列，因此交變項u(t)中沒有離散分量，只有連續(xù)頻譜。圖5.7(d)畫出了u(t)的一個實現(xiàn)。5.3.2數(shù)字基帶信號功率譜密度的推導(dǎo)由于數(shù)字基帶信號是隨機信號，因此只能用功率譜密度來表示其頻譜特性，求功率譜密度時應(yīng)分別求出v(t)和u(t)。v(t)是穩(wěn)態(tài)項，是周期為Tb的周期函數(shù)，可以用傅氏級數(shù)展開后再求出功率譜密度Pv(ω)；u(t)是交變項，是隨機信號，要用統(tǒng)計平均的方法來求。

1．v(t)的功率譜密度Pv(ω)由于v(t)是周期信號，因此可以展開為傅里葉級數(shù)，再根據(jù)周期信號功率譜密度與傅里葉級數(shù)的關(guān)系，得到穩(wěn)態(tài)項v(t)的雙邊功率譜密度為

(5.13)以及穩(wěn)態(tài)項v(t)的單邊功率譜密度為

(5.14)

2．u(t)的功率譜密度Pu(ω)由于u(t)是功率受限的隨機信號，因此求它的功率譜密度Pu(ω)時要采用截短函數(shù)和統(tǒng)計平均的方法，可以得到交變項u(t)的雙邊功率譜密度為

(5.15)同樣，交變項的單邊功率譜密度為

(5.16)

注意：Pu(0)=fbp(1-p)|G1(0)-G2(0)|2

。

3．x(t)=v(t)+u(t)的功率譜密度PX(ω)由于u(t)產(chǎn)生的是連續(xù)譜，v(t)產(chǎn)生的是離散譜，在這種特殊條件下，兩者的功率譜密度相加就是總的功率譜密度，由此得x(t)的單邊功率譜密度為

(5.17)5.3.3對功率譜密度PX(ω)的討論

1．PX(ω)公式中各符號的意義式(5.17)中fb=1/Tb，在數(shù)值上等于碼元速率，但是在這里fb是頻率，這個頻率是單極性歸零碼有離散頻譜時的基頻，也可以稱它為碼元重復(fù)頻率。

p是“1”碼出現(xiàn)的概率，1-p是“0”碼出現(xiàn)的概率，通常在二進制碼元序列中有p=1-p=0.5，即“1”、“0”碼等概出現(xiàn)。

G1(f)和G2(f)分別為“1”碼和“0”碼的基本波形g1(t)和g2(t)的頻譜函數(shù)，而G1(mfb)和G2(mfb)是當(dāng)f=mfb時g1(t)和g2(t)的頻譜函數(shù)，m為正整數(shù)，mfb為fb的各次諧波。

2．PX(ω)中各項的物理意義式(5.17)中第一項2fbp(1-p)|G1(f)-G2(f)|2是由交變項u(t)產(chǎn)生的連續(xù)頻譜，實際應(yīng)用中由于通常p≠0，p≠1，g1(t)≠g2(t)，G1(f)≠G2(f)，因此這一項總是存在的。連續(xù)頻譜中包含無窮多頻率成分，但就其幅度來說，每個頻率成分的幅度都是無窮小的，因此在連續(xù)頻譜中不可能直接提取某一頻率成分作為同步信號。對于連續(xù)頻譜主要關(guān)心的是它的分布規(guī)律，看它的能量主要集中在哪一個頻率范圍，以及由此確定信號的帶寬。式(5.17)中第二項

是由穩(wěn)態(tài)項v(t)產(chǎn)生的直流成分的功率譜密度，這一項不一定都存在。因為當(dāng)pG1(0)+(1-p)G2(0)=0時，直流成分就不存在。而這種情況是很容易出現(xiàn)的，例如一般的雙極性碼，g1(t)=-g2(t),G1(0)=-G2(0),只要p=0.5，pG1(0)+(1-p)G2(0)=0就沒有直流成分。式(5.17)中第三項是由穩(wěn)態(tài)項v(t)產(chǎn)生的離散頻譜，這一項對位同步信號的提取很重要，特別是fb這個成分是否存在對位同步提取尤其重要。這一項也不一定都存在，例如雙極性碼由于G1(f)=-G2(f)，當(dāng)p=0.5時，這一項就不存在了。因此,在介紹各種碼型時就提到過雙極性碼不能直接提取同步信號。5.3.4常用數(shù)字基帶信號的功率譜密度為了加深對數(shù)字基帶信號功率譜密度的理解和熟悉常用數(shù)字基帶信號的功率譜密度，我們先舉幾個例子，然后給出常用數(shù)字基帶信號功率譜密度的曲線。

1.以矩形脈沖為基礎(chǔ)的二進制碼

1)單極性碼單極性碼的交變項、穩(wěn)態(tài)項如圖5.8所示。設(shè)表示“1”碼的g1(t)是高度為1、寬度為Tb的矩形脈沖；g2(t)=0,即

(5.18)圖5.8單極性碼的v(t)和u(t)

如果從穩(wěn)態(tài)項和交變項的波形定性分析一下，

v(t)就是一個高度為p的直流成分，如圖5.8(b)所示；假設(shè)圖5.8(c)是x(t)的一個實現(xiàn)，那么u(t)將如圖5.8(d)所示，是一個雙極性碼。用公式計算:

(5.19)(5.20)

當(dāng)p=０.5時,(5.21)(5.22)此時只有直流成分這個離散分量和連續(xù)頻譜，而沒有mfb這些離散頻譜。

2)單極性歸零碼假設(shè)占空系數(shù)γ=τ/Tb，g1(t)是寬度為τ、高度為1的矩形脈沖，，此時穩(wěn)態(tài)的波形如圖5.9所示，是一個周期為Tb、高度為p、寬度為τ的周期矩形脈沖，它不但有直流成分，而且有mfb的成分。當(dāng)p=0.5時，經(jīng)計算得

(5.23)(5.24)

圖5.9單極性歸零碼的穩(wěn)態(tài)項

3)雙極性碼和雙極性歸零碼一般應(yīng)用時都滿足g1(t)=-g2(t)，p=0.5，此時不論歸零碼還是不歸零碼，穩(wěn)態(tài)項v(t)都是0，因此都沒有直流成分和離散頻譜。當(dāng)g1(t)為矩形脈沖，高度為1時，經(jīng)計算得雙極性碼的功率譜密度為

(5.25)

雙極性歸零碼的功率譜密度為

(5.26)以上四種最常見的以矩形脈沖為基礎(chǔ)的二進制碼的功率譜密度曲線,如圖5.10所示。圖中橫坐標(biāo)為f/fb，對連續(xù)譜和離散譜其縱坐標(biāo)是不同的，連續(xù)譜的縱坐標(biāo)表示Tb，例如0.05表示0.05Tb，而離散譜的縱坐標(biāo)表示沖激強度，例如0.05表示0.05δ(f-mfb)，其中沖激函數(shù)都用箭頭表示。圖5.10幾種常用碼型的單邊功率譜圖5.10(a)表示單極性矩形脈沖碼的PX(ω)~f曲線，有直流成分，無mfb離散分量，連續(xù)譜在f=fb出現(xiàn)第一個零點，在f=2fb出現(xiàn)第二個零點；Pu(ω)總的趨勢隨(f/fb)上升而下降，功率主要集中在低頻區(qū)域，越靠近零頻率的功率譜密度越大。圖5.10(b)表示占空系數(shù)為0.5的單極性歸零矩形脈沖碼的PX(ω)~f曲線，它與全占空碼的區(qū)別在于有了mfb(m=1,3,5,…)的離散頻譜；另外，連續(xù)功率譜密度展寬了，第一個零點出現(xiàn)在f=2fb處，Pu(ω)~f的形狀與全占空情況是相似的。圖5.10(d)、(e)分別畫出了雙極性矩形脈沖和雙極性半占空矩形脈沖碼的PX(ω)~f曲線，從連續(xù)譜來看，分布規(guī)律與圖5.10(a)、(b)相同，只是離散譜沒有了。

2．以升余弦脈沖為基礎(chǔ)的二進制碼上面舉的例子都是以矩形脈沖為基礎(chǔ)的，從圖5.10可以看到，PX(ω)~f在第一個零點以后還有一部分功率，如果信道帶寬限制在0到第一個零點范圍，則勢必引起波形傳輸?shù)妮^大失真，如果采用以升余弦脈沖為基礎(chǔ)的二進制碼，把寬度為2Tb的矩形脈沖用寬度為2Tb的升余弦脈沖代替，如圖5.11所示。此時經(jīng)分析計算，可以作出以升余弦脈沖為基礎(chǔ)的單極性二進制碼的功率譜密度曲線，如圖5.10(c)所示，以升余弦脈沖為基礎(chǔ)的雙極性二進制碼的功率譜密度曲線如圖5.10(f)所示。顯然,與矩形脈沖相比，它們的功率譜密度分布更集中在連續(xù)功率譜密度的第一個零點以內(nèi)。這樣，如果將圖5.11所示的信道帶寬限制在第一個零點范圍以內(nèi)，則傳輸波形就不會引起很大的失真。

圖5.11矩形脈沖與升余弦脈沖

3．其他碼型的功率譜密度單、雙極性碼以及它們的歸零碼與差分碼都屬于二進制碼，它們的功率譜密度都有低頻分量較大的特點。但是,由二進制碼變換來的AMI碼和HDB3碼是一種偽三進制碼，除了正電平和負電平以外，還有零電平，這種碼型的功率譜密度公式的推導(dǎo)比前面介紹的二進制隨機脈沖序列更復(fù)雜。例如對于AMI碼，經(jīng)過比較復(fù)雜的推導(dǎo)可以得到

(5.27)當(dāng)p=0.5時,

(5.28)

如果g(t)為矩形脈沖，高度為1，寬度為Tb，

，則

(5.29)它是將Tb(1-cosωTb)/2與Sa2(ωTb/2)兩曲線相乘，由此得到PX(ω)與(f/fb)的關(guān)系曲線如圖5.12所示，它只有連續(xù)譜密度，無直流和離散頻譜。HDB3碼是由AMI碼改進得來的，它的功率譜密度推導(dǎo)起來更為復(fù)雜，結(jié)果大體上與AMI碼的功率譜密度的形狀相似。

圖5.12AMI碼的功率譜密度

AMI和HDB3碼以及成對的二進制碼等，具有靠近零頻率的低頻功率譜密度很小的特點，功率比較集中在中間頻率區(qū)域，例如圖5.12中集中在(0.4~0.5)fb附近。這種碼型適宜于在低頻特性不好的信道上傳輸。有了功率譜密度的表示式和曲線，就可以回答信號中有無直流成分，有沒有可供位同步信號提取的離散頻譜分量、信號頻譜分布規(guī)律(功率主要集中在什么頻率范圍)、信號帶寬等問題。5.3.5數(shù)字基帶信號功率的計算數(shù)字基帶信號的功率可以直接由x(t)計算，也可以通過PX(ω)計算。下面通過一個具體例子，用兩種不同的方法來計算總的平均功率和某一離散分量的功率，從中掌握一般的計算方法。

例圖5.13是一個半占空碼的基本波形及其穩(wěn)態(tài)項，求半占空單極性碼的平均功率、直流功率和基波功率，其中半占空碼的基本波形g1(t)是高度為A、寬度τ=Tb/2的矩形脈沖。

圖5.13半占空碼的基本波形及其穩(wěn)態(tài)項

解設(shè)“1”碼出現(xiàn)的概率為p。

(1)直接由x(t)求解。x(t)是一個隨機二進制脈沖序列，“1”碼時的波形為g1(t)，g1(t)的能量為

由于“1”碼出現(xiàn)的概率為p，因此每個碼元內(nèi)的平均能量為(pA2Tb)/2，平均功率為

其穩(wěn)態(tài)項v(t)的波形如圖5.13(b)，是一個周期函數(shù)，可以利用傅里葉級數(shù)展開，得到

由于直流成分為pA/2，因此直流成分功率為

基波fb成分的振幅為

因此基波功率為

(2)由PX(ω)的表示式求解。把已知條件代入PX(ω)的計算公式中，可以得到相應(yīng)的所有結(jié)果，計算從略。結(jié)果與第(1)種方法相同。5.4數(shù)字基帶傳輸中的碼間串?dāng)_和噪聲數(shù)字信號傳輸?shù)闹饕|(zhì)量指標(biāo)是傳輸速率和誤碼率，而傳輸速率與誤碼率又是密切相關(guān)和互相矛盾的。當(dāng)信道條件一定時，傳輸速率高，誤碼率也高；反之,傳輸速率降低，誤碼率也將降低。如果傳輸速率一定，那么誤碼率就成為數(shù)字信號傳輸?shù)淖钪饕闹笜?biāo)了。從數(shù)字基帶信號傳輸?shù)奈锢磉^程來看，誤碼是接收端抽樣判決器的錯誤判決造成的。而造成錯誤判決的原因主要有兩個，一個是碼間串?dāng)_，另一個是噪聲的影響。5.4.1碼間串?dāng)_和噪聲對誤碼的影響發(fā)送端數(shù)字信號經(jīng)過信道傳輸以后，由于信道特性不好，不能使信號不失真地通過，加上噪聲的影響將引起波形的畸變，因此，接收到的波形和發(fā)送的波形比較，有很大的畸變。即使經(jīng)過接收濾波器濾除帶外噪聲和對波形進行補償以后，送到抽樣判決器的波形y(t)與發(fā)送濾波器送出來的波形xT(t)仍有很大差別。這種波形的差別不一定引起錯誤判決(即誤碼)，例如在圖5.2中，第1、2、3、5、6碼元就沒有判錯，只有第4個碼元判錯了，這種錯誤判決往往是碼間串?dāng)_和噪聲綜合作用的結(jié)果。圖5.14信道對發(fā)送碼元的影響

1．碼間串?dāng)_圖5.14給出了信道對發(fā)送碼元的影響的示意圖。將圖5.2中的波形單獨抽出一個“1”碼加以分析，如圖5.14(a)、(b)所示。發(fā)端輸入二進制碼元序列中的“1”碼經(jīng)過碼型變換和波形變換后，變成了一個正的升余弦波形xT(t)，如圖5.14(c)所示。這個波形經(jīng)過信道后，如果不產(chǎn)生任何失真和延遲，那么接收端應(yīng)當(dāng)在它的最大值時刻t=Tb/2時判決。下一個碼元應(yīng)在(Tb/2+Tb)=3Tb/2時判決，當(dāng)t=3Tb/2對第二個碼元進行判決時，第一個碼元在第二個碼元取樣時已經(jīng)為0，對第二個碼元判決不會有影響。但是,經(jīng)過實際信道以后，信號存在延遲和失真，例如經(jīng)過信道傳輸和接收濾波器以后，在不考慮噪聲影響下得到的波形y(t)如圖5.14(d)所示，它的最大值出現(xiàn)在t1時刻，而且波形拖得很寬，這個時候?qū)@個碼元的抽樣判決時刻應(yīng)選擇在t=t1時刻，而對下一個(第2個)碼元的判決時刻應(yīng)選在t1+Tb。但從圖中可以看到，t=t1+Tb時刻第一個碼元的y(t)還沒有消失(也不是零點)，這樣勢必影響第二個碼元的判決，即接收端接收到的前一個碼元的波形串到后一個碼元抽樣判決的時刻，影響后一個碼元的抽樣判決。當(dāng)波形失真比較嚴(yán)重時，可能出現(xiàn)前面幾個碼元的波形同時串到后面，對后面某一個碼元的抽樣判決產(chǎn)生影響，這種影響就稱做碼間串?dāng)_。

2．碼間串?dāng)_嚴(yán)重時將引起誤碼圖5.15給出了碼間串?dāng)_和噪聲對碼元判決的影響。舉一個簡單例子，假設(shè)傳輸一組碼元1110，前面3個“1”碼對第4個“0”碼的抽樣判決時刻都有碼間串?dāng)_的影響，如圖5.15(a)所示。由于前3個“1”碼的串?dāng)_都以正電平出現(xiàn)，而第4個碼元本身在抽樣判決時刻的值是負電平，因此，如果前面3個串?dāng)_引起的正電平之和超過第4個碼元本身在抽樣判決時負電平的絕對值，則將引起錯誤判決，即引起誤碼。圖5.15(a)中的a1、a2、a3分別為第1、2、3個“1”碼在t=t1+3Tb時刻產(chǎn)生的碼間串?dāng)_值,a4為第4個碼(“0”碼)在t=t1+3Tb時刻的值。當(dāng)a1+a2+a3+a4<0時，判為“0”；反之,當(dāng)a1+a2+a3+a4>0時，判為“1”。因此,當(dāng)a1+a2+a3>|a4|時產(chǎn)生錯誤判決，造成誤碼。

圖5.15碼間串?dāng)_和噪聲對碼元判決的影響

3．噪聲引起的誤碼噪聲是隨機過程，圖5.15(b)是噪聲的一個實現(xiàn)，在抽樣判決的時刻，噪聲的值是隨機的。在上面的例子中，本來a1+a2+a3+a4<0，判決正確，不產(chǎn)生誤碼，如果此時噪聲n(t1+3Tb)為正電平，使a1+a2+a3+a4+n(t1+3Tb)>0，則造成錯誤判決。當(dāng)然，噪聲也可能使本來a1+a2+a3+a4>0的錯誤判決，變?yōu)閍1+a2+a3+a4+n(t1+3Tb)<0的正確判決。在沒有碼間串?dāng)_時，本來都是正確的判決，由于噪聲的影響而可能引起錯誤判決，這一問題在第5.6節(jié)還要詳細研究。5.4.2數(shù)字基帶信號傳輸系統(tǒng)的模型和數(shù)學(xué)分析

1．?dāng)?shù)字基帶信號傳輸系統(tǒng)的模型

1)輸入信號的表示方法在圖5.1中，輸入信號{dk}一般認為是單極性二進制矩形脈沖序列；{dk}經(jīng)過碼型變換器以后一般變換為雙極性的碼型(歸零的或不歸零的)，也可能變換為AMI碼或HDB3碼。AMI碼和HDB3碼與雙極性碼的區(qū)別在于多了一個零電平，零電平對碼間串?dāng)_等沒有影響。如果不考慮零電平，只從研究傳輸性能的角度分析，則在研究了雙極性碼后，不難得出AIM碼和HDB3碼的結(jié)果。因此,通常認為碼型變換的輸出是雙極性碼{ak}，其中(5.30)

在圖5.16所示的數(shù)字基帶信號的碼型變換及傳輸模型中，以矩形脈沖為基礎(chǔ)的雙極性碼經(jīng)過發(fā)送濾波器，形成適合信道傳輸?shù)牟ㄐ?。在波形形成時，通常先對{ak}進行理想抽樣，變?yōu)槎M制沖激脈沖序列，然后加到發(fā)送濾波器以形成需要的波形，如圖5.16(a)所示。因此,在建立數(shù)字基帶信號傳輸系統(tǒng)模型時，把二進制沖激脈沖序列d(t)作為模型的輸入信號

(5.31)

為后面應(yīng)用方便起見，用n代替k，可以得到

(5.32)

圖5.16數(shù)字基帶信號的碼型變換及傳輸模型

2)數(shù)字基帶信號傳輸模型數(shù)字基帶信號傳輸模型如圖5.16(b)所示，輸入信號是二進制沖激脈沖序列d(t)，GT(ω)是發(fā)送濾波器的傳輸函數(shù)，C(ω)是信道的傳輸函數(shù)，n(t)是信道引入的噪聲，GR(ω)是接收濾波器的傳輸函數(shù)?？偟膫鬏敽瘮?shù)為

H(ω)=GT(ω)C(ω)GR(ω)

(5.33)

2．基帶傳輸系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析不計入噪聲n(t)，d(t)經(jīng)過基帶傳輸系統(tǒng)后的輸出為y′(t)。d(t)是一個沖激脈沖序列，抽出其中n=0的那一個是a0δ(t)，a0δ(t)的頻譜函數(shù)為a0。

a0δ(t)經(jīng)過H(ω)=GT(ω)C(ω)GR(ω)以后的輸出y0′(t)的頻譜函數(shù)為Y0′(ω)=a0H(ω)=a0GT(ω)C(ω)GR(ω)

(5.34)所以

y0′(t)=a0h(t)(5.35)其中,(5.36)當(dāng)d(t)加到此傳輸系統(tǒng)后，不考慮噪聲影響，有

(5.37)

噪聲n(t)是由信道進入加在接收濾波器輸入端的，接收濾波器對它濾波后的噪聲為nR(t)，此時接收濾波器的輸出為

(5.38)

如果要對第k個碼元進行抽樣判決，則判決時刻應(yīng)該在接收端收到的第k個碼元的最大值時刻，設(shè)此時刻為kTb+t0，把t=kTb+t0代入式(5.38)中，有

(5.39)

把n=k項單獨列出時有

(5.40)其中，第一項anh(t0)是第k個碼元本身產(chǎn)生的需要的抽樣值，通常是h(t)的最大值，而

第二項由無窮多項組成，表示除第k個碼元以外的其他碼元產(chǎn)生的不需要的串?dāng)_值，稱為碼間串?dāng)_。通常,離第k個碼元越近的碼元產(chǎn)生的串?dāng)_越大。第三項nR(kTb+t0)是第k個碼元抽樣判決時刻噪聲的瞬時值，它是一個隨機變量，也會影響第k個碼元的正確判決。

3.怎樣消除碼間串?dāng)_從數(shù)學(xué)表示式看，只要即可消除碼間串?dāng)_。但是,an是隨機變化的，要想通過各項互相抵消使碼間串?dāng)_為0是不行的。從碼間串?dāng)_各項的影響來說，當(dāng)然前一碼元的影響最大，因此最好讓前一個碼元的波形在到達后一個碼元抽樣判決時刻已經(jīng)衰減到0，如圖5.17(a)所示。但是這樣的波形也不易實現(xiàn)，因此比較合理的是采用如圖5.17(b)所示波形，雖然在到達t0+Tb以前并沒有衰減到0，但可以讓它在t0+Tb、t0+2Tb等后面碼元的取樣判決時刻正好為0，這也是消除碼間串?dāng)_的實際做法?？紤]到實際應(yīng)用時，定時判決時刻不一定非常準(zhǔn)確，如果像圖5.17(b)這樣的h(t)尾巴拖得太長，當(dāng)定時不準(zhǔn)時，任意一個碼元都要對后面幾個碼元產(chǎn)生串?dāng)_，或者說后面任一個碼元都要受到前面幾個碼元的串?dāng)_。因此,除了要求h［(k-n)Tb+t0)］=0以外，還要求h(t)適當(dāng)衰減快一些，即尾巴不要拖得太長。下一節(jié)將根據(jù)h［(k-n)Tb+t0)］=0而尾巴又不拖得很長的要求,尋找合適的基帶傳輸特性。圖5.17消除碼間串?dāng)_的方法5.5無碼間串?dāng)_的傳輸特性上一節(jié)導(dǎo)出了無碼間串?dāng)_對基帶傳輸系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的要求，本節(jié)進一步推導(dǎo)無碼間串?dāng)_對傳輸特性H(ω)的要求以及可能實現(xiàn)的方法。上節(jié)導(dǎo)出的無碼間串?dāng)_條件h［(n-k)Tb+t0)］=0(n≠k)是針對第k個碼元在t=kTb+t0

時刻進行抽樣判決得到的。t0是時延常數(shù)，為了分析簡便，假設(shè)t0=0，則無碼間串?dāng)_的條件變?yōu)?/p>

(5.41)令k′=n-k為任意整數(shù)，則上式可以改寫為

由于k是任意整數(shù)，k′也是一個任意整數(shù)，把k′用k替代，就得到無碼間串?dāng)_的條件為

(5.42)

從h(t)的波形上看，如圖5.18所示的沒有碼間串?dāng)_的h(t)應(yīng)該通過一些特殊點，這些特殊點是t=0時h(0)=1(或常數(shù))和t=kTb(k為不等于0整數(shù))時h(kTb)=0的點。能滿足這個要求的h(t)有很多，例如抽樣函數(shù)就有可能滿足此條件，曲線h(t)=Sa(πt/Tb)就能通過圖5.18中的特殊點,當(dāng)然,h(t)=Sa2(πt/Tb)和h(t)=Sa(mπt/Tb)(其中m=2,3,4,…)的曲線也都能滿足要求。下面討論無碼間串?dāng)_條件下對H(ω)要求的一般表示式。為了便于理解，在討論一般表示式以前先舉一些特例。圖5.18無碼間串?dāng)_的h(t)5.5.1無碼間串?dāng)_傳輸函數(shù)H(ω)的特例圖5.19給出了幾個無碼間串?dāng)_的傳輸函數(shù)H(ω)。其中圖5.18所示的h(t)=Sa(πt/Tb)是能滿足無碼間串?dāng)_一個最好的例子，由h(t)=Sa(πt/Tb)即可求出它的傳輸函數(shù)H(ω)=F[h(t)]，這是我們熟悉的門函數(shù)，如圖5.19(a)所示，是一個帶寬為B=fb/2的理想低通濾波器。同樣,可以由h(t)=Sa2(πt/Tb)和h(t)=Sa(mπt/Tb)求得它們的傳輸函數(shù)H(ω)，分別如圖5.19(b)和圖5.19(c)所示。圖5.19幾種無碼間串?dāng)_的傳輸函數(shù)H(ω)通過這幾個特例，可以得到以下幾點初步的認識：

(1)從消除碼間串?dāng)_來說，基帶傳輸特性不是唯一的，可以有很多種。

(2)圖5.19中的三個特性都可以滿足無碼間串?dāng)_，但它們的帶寬不同。圖5.19(a)和(c)都是理想低通，在同類型濾波器中應(yīng)該用帶寬最小的，因此用圖5.19(c)這樣的濾波特性沒有必要。圖5.19(a)和(b)是兩種不同類型的濾波器，從帶寬小的角度來看，用圖5.19(a)好，但是這樣的理想低通濾波器是無法實現(xiàn)的，如何尋找一種既容易實現(xiàn)又具有比較小帶寬的無碼間串?dāng)_的濾波器是一個重要的問題。

圖5.20三角波形傳輸特性

(3)圖5.19(b)所示的三角形傳輸特性具一個值得注意的特性，即把圖5.19(b)的H(ω)劃分為間隔為2π/Tb的三個區(qū)間，如圖5.20(a)所示。區(qū)間Ⅰ由-3π/Tb到-π/Tb，用HⅠ(ω)表示；區(qū)間Ⅱ由-π/Tb到π/Tb,用HⅡ(ω)表示；區(qū)間Ⅲ由π/Tb到3π/Tb，用HⅢ(ω)表示。如果中間區(qū)間Ⅱ不動，區(qū)間Ⅰ向右移2π/Tb，如圖5.20(b)；區(qū)間Ⅲ向左移2π/Tb，如圖5.20(c)，然后把它們在中間的這個區(qū)間疊加起來，即把圖5.20(a)中由-π/Tb

到π/Tb的傳輸特性HⅡ′(ω)π/Tb和圖5.20(b)中的HⅠ′(ω)、圖5.20(c)中的HⅢ′(ω)相加起來，相加的結(jié)果正好是圖5.19(a)所示的理想低通特性。如果用數(shù)學(xué)式表示，則有

HⅡ(ω)=

H'Ⅰ(ω)=

H'Ⅲ(ω)=因此有

這是一個值得注意的特性，通過數(shù)學(xué)分析，可以導(dǎo)出一個普遍的關(guān)系式，即:具有奇對稱滾降特性的H(ω)能滿足無碼間串?dāng)_的傳輸特性。5.5.2無碼間串?dāng)_傳輸特性的數(shù)學(xué)分析圖5.21對傳輸函數(shù)的物理意義進行了描述，它是一個等效傳輸函數(shù)，用Heq(ω)表示。設(shè)H(ω)具有如圖5.21(a)所示的特性,Heq(ω)中i=0的一項就是H(ω)，如圖5.21(b)所示；i=-1的一項為H(ω-2π/Tb)，其中|ω|≤π/Tb，如圖5.21(c)所示；i=+1的一項為H(ω+2π/Tb)，其中|ω|≤π/Tb，如圖5.21(d)所示。除了這三項外，i為其他值時的各項均為0，所以對圖5.21(a)所示的H(ω)有

圖5.21等效傳輸函數(shù)的物理意義如圖5.21(e)所示，可以看出，它是圖5.21(b)、(c)和(d)的疊加。令

(5.43)Heq(ω)定義為等效傳輸函數(shù),因此Heq(ω)就是H(ω)的“切段疊加”。圖5.21(e)就是圖5.21(a)中所示的H(ω)所對應(yīng)的Heq(ω)。如果Heq(ω)=1(或常數(shù)A)，下面用常數(shù)A代入，則

(5.44)正好滿足無碼間串?dāng)_對h(t)的要求。因此

(5.45)

式(5.45)就是無碼間串?dāng)_的條件，即Heq(ω)相當(dāng)于一個|ω|≤π/Tb的理想低通濾波器時，滿足了無碼間串?dāng)_的傳輸條件。如圖5.21(e)所示的Heq(ω)滿足了無碼間串?dāng)_的條件，因此圖5.21(a)這樣的傳輸特性滿足了無碼間串?dāng)_的要求。而像圖5.21(b)這樣的傳輸特性，由于它的Heq(ω)不滿足無碼間串?dāng)_的條件，因此它不能滿足無碼間串?dāng)_的要求。能滿足無碼間串?dāng)_的傳輸特性H(ω)很多，但實際上經(jīng)常用到的只有少數(shù)幾種,下面具體介紹。常數(shù)5.5.3幾種常用的無碼間串?dāng)_的傳輸特性能滿足無碼間串?dāng)_而又經(jīng)常用到的傳輸特性主要有表5.1中所示的幾種。為使用方便，表中一律用頻率坐標(biāo)代替角頻率坐標(biāo)，其中W1=1/Tb=fb/2，相當(dāng)于角頻率為π/Tb時的頻率。(本來W1用F1表示比較好，以免和第2章中用W1表示角頻率相混淆，但目前不少書上在這里用W1表示頻率，因此我們也把W1作為頻率)。表5.1給出了5個傳輸特性及其沖激響應(yīng)h(t)，由h(t)的公式可以計算出h(t)與t/Tb的數(shù)值關(guān)系，如表5.2所示。由表5.2中的數(shù)值關(guān)系，可以進一步作出如圖5.22所示的h(t)—(t/Tb)關(guān)系曲線。由于h(t)—(t/Tb)關(guān)系曲線關(guān)于縱軸對稱，因此圖中只畫出了t≥0范圍以內(nèi)的曲線，其中:①理想低通特性;②α=0.5余弦滾降特性；③α=0.5直線滾降特性；④α=1余弦滾降特性(即升余弦特性)；⑤α=1直線滾降特性(即三角形特性)。這5條曲線都能滿足無碼間串?dāng)_的要求。但是,升余弦特性的h(t)的尾巴衰減最快，當(dāng)定時不準(zhǔn)時對碼間串?dāng)_影響比較??；另外，升余弦特性的H(f)曲線變化較平滑且容易實現(xiàn)，因此使用得較多。圖5.22幾種常用傳輸特性的h(t)曲線5.5.4碼元速率fb、帶寬B和頻帶利用率

1．一般定義碼元速率在第1章已經(jīng)定義過，其中碼元速率RB=1/Tb波特，碼元重復(fù)頻率fb=1/Tb，在數(shù)值上fb與RB相同，但單位不同，fb的單位為Hz。有時fb與RB這兩個符號混用，但是要注意，作為碼元速率時單位為波特，作為碼元重復(fù)頻率時單位為Hz。帶寬B是指傳輸特性H(f)的頻帶寬度，是指傳輸特性的整個頻率范圍，而不是等效帶寬。例如,由表5.2可以知道：理想低通傳輸特性：(5.46)

余弦滾降和直線滾降特性：

(5.47)升余弦和三角形特性：B=2W1=fb

(5.48)頻帶利用率指碼元速率fb和帶寬B的比值，即單位頻帶所能傳輸?shù)拇a元速率，表示為頻帶利用率=(波特或赫茲)

(5.49)理想低通頻帶利用率=2(波特或赫茲)

(5.50)余弦滾降和直線滾降的頻帶利用率= (波特或赫茲)(5.51)升余弦和三角形特性的頻帶利用率=1(波特或赫茲)(5.52)

2．理想低通傳輸特性時的碼元速率fb、帶寬B和頻帶利用率理想低通傳輸特性時的帶寬B=W1，碼元速率fb=2W1，這個速率是極限傳輸速率。這是因為，如果fb>2W1，則當(dāng)遇到如圖5.23所示的“1”、“0”碼連續(xù)交替出現(xiàn)的雙極性碼時，由于這個波形是周期為2Tb的周期信號，用傅里葉級數(shù)展開得到最低頻率即基波為f1=1/(2Tb)=fb/2，其余為它的諧波mf1，當(dāng)碼元速率fb>2W1時，f1>W1，這樣整個波形沒有一個頻率成分能通過此理想低通濾波器。圖5.23“1”、“0”碼連續(xù)交替出現(xiàn)的雙極性碼通常把極限速率fb=2W1稱為奈奎斯特速率，此時的碼元間隔Tb=1/(2W1)稱為奈奎斯特間隔，而帶寬W1稱為奈奎斯特帶寬。把在理想低通條件下得到的這些結(jié)論統(tǒng)稱為奈奎斯特定理。此時頻帶利用率2(波特或赫茲)也是最高頻帶利用率，而碼元速率為fb時得到的帶寬B=fb/2是需要的最小傳輸帶寬。

3.其他傳輸特性時的碼元速率fb、帶寬B和頻帶利用率其他傳輸特性時的帶寬B和碼元速率fb的關(guān)系以及頻帶利用率的大小，經(jīng)過計算已列入表5.2中。從表中可以看到，當(dāng)碼元速率fb一定時，其他傳輸特性需要的帶寬B都比理想低通時的大，其他傳輸特性的頻帶利用率也都比理想低通時小。例如最常用的升余弦傳輸特性，滿足B=fb，比理想低通傳輸特性時的B=fb/2大一倍，而升余弦傳輸特性的頻帶利用率為1波特/赫茲，只有理想低通的一半。5.5.5幾個問題的討論

1.關(guān)于信道帶寬的設(shè)計問題在模擬基帶信號傳輸系統(tǒng)中，要求傳輸信號的波形不失真或者失真很小，而為了使傳輸信號的波形不失真，就要求信道的帶寬大于或等于信號的最高頻率成分。在數(shù)字基帶信號的傳輸系統(tǒng)中，前面分析中采用的是沖激脈沖序列，其頻譜由0~∞，即信號帶寬無窮大。但是,對傳輸特性H(ω)的帶寬要求卻是有限的，例如用升余弦特性時，傳輸特性的帶寬B=2W1=fb，此時升余弦特性只能讓沖激脈沖序列d(t)的頻譜通過一小部分，因此就信號波形而言要產(chǎn)生很大的失真。實際上由前面的分析已知，當(dāng)H(ω)為升余弦特性時，送到發(fā)送濾波器的一個沖激函數(shù)δ(t)，經(jīng)過傳輸系統(tǒng)以后變?yōu)橐粋€與δ(t)的波形有很大區(qū)別的波形

(5.53)數(shù)字基帶信號傳輸時要求的是無碼間串?dāng)_，而波形的失真不但是容許的，而且可以很大。只要沒有碼間串?dāng)_，或者碼間串?dāng)_足夠小，并且噪聲也足夠小，抽樣判決時不發(fā)生錯誤判決，那么就可以通過碼元再生電路恢復(fù)所需的與發(fā)送端相同的波形?？傊?，數(shù)字基帶信號傳輸是從無碼間串?dāng)_的角度出發(fā)提出對傳輸特性及其帶寬的要求,而模擬基帶信號則是從信號波形不失真的角度提出對傳輸系統(tǒng)帶寬的要求。這是兩個完全不同的概念和方法。

2.對無碼間串?dāng)_傳輸系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的討論前面分析傳輸函數(shù)H(ω)時都只考慮了振幅特性，而沒有考慮相位特性，因此出現(xiàn)了理想的情況。例如在圖5.24所示的δ(t)經(jīng)過理想低通后的沖激響應(yīng)示意圖中，δ(t)經(jīng)過理想低通以后得到h(t)=Sa(πfbt)，如圖5.24(b)所示。這里就出現(xiàn)了一個能否實現(xiàn)的問題，δ(t)在t=0時刻才發(fā)生，而響應(yīng)在t<0的時候就出現(xiàn)了，這在實際情況下是不可能的，也就是物理不可實現(xiàn)的。

圖5.24δ(t)經(jīng)過理想低通后的沖激響應(yīng)如果把相移特性也考慮進去，那么就有了時延。假設(shè)相移特性是理想的通過原點的直線，即φ(ω)=-ωt0，此時h(t)將要滯后一個t0出現(xiàn)，如圖5.24(c)所示。這里還有一個t<0時就有沖激響應(yīng)的問題，這是因為同時實現(xiàn)理想低通的振幅特性和相位特性是做不到的。實際的傳輸特性所能得到的沖激響應(yīng)h(t)將是從0開始的，最大值一般出現(xiàn)在t0(t0>0)時刻。實際傳輸系統(tǒng)中，不一定都有發(fā)送濾波器和接收濾波器。當(dāng)傳輸距離比較近時，可以直接把以矩形脈沖為基礎(chǔ)的二進制數(shù)字信號在信道上傳輸，信道通常是同軸電纜或架空明線等有線線路，發(fā)送端送到信道的波形經(jīng)過信道后受到衰減和波形畸變。接收端可以根據(jù)線路的長度和特性，用接收放大器對信號進行放大并用均衡電路對信號進行一定的均衡，使送到抽樣判決器的波形便于正確判決。5.6無碼間串?dāng)_時噪聲對傳輸性能的影響誤碼是由碼間串?dāng)_和噪聲兩方面引起的，如果同時考慮碼間串?dāng)_和噪聲再計算誤碼率，則將使計算非常復(fù)雜。為簡化起見，通常都是在無碼間串?dāng)_的條件下計算由噪聲引起的誤碼率。本節(jié)在以下兩個條件下推導(dǎo)誤碼率Pe的公式：

(1)不考慮碼間串?dāng)_，只考慮噪聲引起的誤碼。

(2)只考慮加性噪聲，此加性噪聲在接收端是高斯白噪聲，但在經(jīng)過接收濾波器以后變?yōu)楦咚拐瓗г肼暋?.6.1信號與噪聲的分析如前所述，發(fā)送端發(fā)出的數(shù)字基帶信號經(jīng)過信道和接收濾波器以后，在無碼間串?dāng)_條件下，在“1”碼抽樣判決時刻信號有正的最大值，用A表示；在“0”碼抽樣判決時刻信號有負的最大值(對雙極性碼)，用-A表示，或者為0值(對單極性碼)。由于我們只關(guān)心抽樣判決時刻的值，因此把收到“1”碼的信號s1(t)在整個碼元區(qū)間內(nèi)用A表示，“0”碼的信號s2(t)用-A或0表示。這樣,在性能分析時一般都近似用{s1(t)=A,s2(t)=-A}表示雙極性信號，而用{s1(t)=A,s2(t)=0}表示單極性信號。接收端的噪聲為高斯白噪聲，單邊功率譜密度為n0(W/Hz)，經(jīng)過接收濾波器以后變?yōu)楦咚拐瓗г肼暋＜僭O(shè)接收濾波器的等效帶寬為B，則接收濾波器輸出的噪聲功率為

(5.54)

由于此時是高斯噪聲，均值為0(噪聲中沒有直流成分)，因此噪聲瞬時值的一維概率密度函數(shù)f(V)為

(5.55)信號和噪聲混合在一起，兩者相加后在抽樣判決的時刻有：發(fā)“1”碼時，收到的是A+n(t)；發(fā)“0”碼時，對雙極性碼收到的是-A+n(t)，對單極性碼收到的是n(t)。這樣接收濾波器輸出信號和噪聲相加后，抽樣判決時刻瞬時值的概率密度函數(shù)為對“1”碼(5.56)對雙性極“0”碼(5.57)對單性極“0”碼(5.58)

f(V)、f1(V)和f0(V)的曲線如圖5.25所示。圖5.25噪聲以及抽樣判決時刻值的概率密度函數(shù)f(V)、f1(V)和f0(V)5.6.2加性噪聲作用下誤碼的分析

1．誤碼的原因從抽樣判決時刻信號和噪聲相加后的瞬時值的一維概率密度函數(shù)來看，不論收到“1”碼還是“0”碼，抽樣判決瞬間得到的電平都是隨機變化的，從理論上講都是在-∞~+∞范圍內(nèi)變化，但是出現(xiàn)概率不同。以收到雙極性“1”碼為例，抽樣判決瞬時值出現(xiàn)在A值和A值附近的概率密度比遠離A值的概率密度大得多；而對收到“0”而言，出現(xiàn)在-A和-A附近的概率密度比遠離-A值的概率密度大得多。因此對于接收雙極性信號而言，應(yīng)該在-A到+A之間選擇一個適當(dāng)?shù)碾娖絍b作為判決標(biāo)準(zhǔn)，稱為判決門限值。同樣，對單極性信號而言，應(yīng)該在0~A之間選擇一個適當(dāng)?shù)拈T限值。歸納起來，對“1”碼：當(dāng)V>Vb時判為“1”碼，則判決正確；當(dāng)V<Vb時判為