專(zhuān)題7.5正態(tài)分布【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1正態(tài)密度函數(shù)】 2【題型2正態(tài)曲線的特點(diǎn)】 4【題型3利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性求概率】 6【題型4利用3原則求概率】 7【題型5標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用】 9【題型6正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用】 11【知識(shí)點(diǎn)1正態(tài)分布】1．連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的取值充滿(mǎn)某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)數(shù)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，稱(chēng)這類(lèi)隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.2．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線

函數(shù)f(x)=，x∈R.其中∈R，>0為參數(shù).我們稱(chēng)f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱(chēng)它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線.

(2)正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為XN(,).特別地，當(dāng)=0，=1時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

(3)正態(tài)分布的均值和方差

若XN(,)，則E(X)=，D(X)=.3．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)；

(3)曲線在x=處達(dá)到峰值；

(4)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸；

(5)對(duì)任意的>0，曲線與x軸圍成的面積總為1；

(6)在參數(shù)取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由確定，且隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；

(7)當(dāng)取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由確定，當(dāng)較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖乙所示.4．3原則(1)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

P(X+)0.6827；

P(2X+2)0.9545；

P(3X+3)0.9973.

(2)3原則

在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(,)的隨機(jī)變量X只取[3，+3]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為3原則.【題型1正態(tài)密度函數(shù)】【例1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知正態(tài)分布密度函數(shù)fx=18πe?x28，x∈R，則μ,σ分別是（

）A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和2【解題思路】將fx=1【解答過(guò)程】∵fx∴μ＝故選：B.【變式11】（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)fix=A．μ1=B．μ1<C．μ1<D．μ1=【解題思路】結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ表示其均值大小，σ表示離散程度，利用圖象形狀即可判斷出結(jié)論.【解答過(guò)程】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ，結(jié)合圖象可知f2x，f3且都在f1x的右側(cè)，即比較f1x和f2又f3x的離散程度比f(wàn)1x和故選：B．【變式12】（2023下·湖北武漢·高二?？计谀┰O(shè)隨機(jī)變量X~N0,1，則X的密度函數(shù)為（

A．fx=1C．fx=1【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的定義可求得μ=0,σ=1，從而可求X的密度函數(shù).【解答過(guò)程】因?yàn)閄~N0,1，所以μ=0,σ2所以X的密度函數(shù)為A.故選：A.【變式13】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下列是關(guān)于正態(tài)曲線fx①曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)，且恒位于x軸上方；②曲線關(guān)于直線x=σ對(duì)稱(chēng)，且僅當(dāng)x∈?3σ,3σ時(shí)才位于x③曲線對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，因此曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；④曲線在x=μ處位于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左、右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低；⑤曲線的位置由μ確定，曲線的形狀由σ確定.其中說(shuō)法正確的是（

）A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤【解題思路】根據(jù)正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)和性質(zhì)逐一判斷①②③④⑤的正確性，即可得正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】正態(tài)曲線fx關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)，該曲線總是位于x只有當(dāng)μ=0時(shí)，正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；此時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng)μ≠0時(shí)，不是偶函數(shù)，故③不正確；正態(tài)曲線fx是一條關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)，在x=μ曲線的位置由對(duì)稱(chēng)軸x=μ確定，曲線的形狀由σ確定，σ越大，圖象越矮胖，σ越小，圖象越瘦高，故⑤正確；故①④⑤說(shuō)法正確.故選：A.【題型2正態(tài)曲線的特點(diǎn)】【例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)X~Nμ1,σ1A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)【解題思路】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)結(jié)合圖像可得μ1<μ【解答過(guò)程】A選項(xiàng)：X~Nμ1,σ12、因此結(jié)合所給圖像可得μ1<μB選項(xiàng)：又X～N(μ1,所以0<σ1<CD選項(xiàng)：由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)．P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正確，D錯(cuò)誤．故選：C．【變式21】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖是三個(gè)正態(tài)分布X~N(0,0.64)，Y~N(0,1)，Z~N(0,4)的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線的序號(hào)分別依次為（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【解題思路】先利用正態(tài)分布求出三個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，再利用當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”進(jìn)行判定.【解答過(guò)程】由題意，得σ(X)=0.8，σ(Y)=1，σ(Z)=2，因?yàn)楫?dāng)σ較小時(shí)，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，所以三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線的序號(hào)分別依次為①，②，③.故選：A.【變式22】（2023·高二單元測(cè)試）已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【解題思路】由正態(tài)分布的圖像中對(duì)稱(chēng)軸位置比較均值大小，圖像胖瘦判斷標(biāo)準(zhǔn)差的大小.【解答過(guò)程】由題圖中y=φi(x)y=φ1(x)與y=所以σ1故選：C.【變式23】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）李明上學(xué)有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)，他各記錄了50次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)X和騎自行車(chē)用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，X~Nμ1,62,Y~A．D(X)=6 B．μC．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【解題思路】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過(guò)程】對(duì)于A中，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且X~N可得隨機(jī)變量X的方差為σ2=6對(duì)于B中，根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖像，可得隨機(jī)變量μ1所以μ1對(duì)于C中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得X≤38時(shí)，隨機(jī)變量X對(duì)應(yīng)的曲線與x圍成的面積小于Y≤38時(shí)隨機(jī)變量Y對(duì)應(yīng)的曲線與x圍成的面積，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正確；對(duì)于D中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得P(X≤34)>12，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D錯(cuò)誤.故選：C.【題型3利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性求概率】【例3】（2023上·福建福州·高三?？计谥校┮阎S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N2,σ2，且Pξ<3=0.6A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【解題思路】根據(jù)題意，由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意可得μ=2，且Pξ<3=0.6，則Pξ>3故選：A.【變式31】（2023下·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,4，若PX>a?2=PX<6?3a，則A．?2 B．?1 C．12 【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性即可求得答案.【解答過(guò)程】由題意隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,4，即正態(tài)分布曲線關(guān)于x=3因?yàn)镻X>a?2故a?2+(6?3a)2故選：B.【變式32】（2023上·貴州黔西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若隨機(jī)變量X～N10,22A．PX≥10=0.5 C．P8≤X≤12=2P8≤X≤10【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解,【解答過(guò)程】根據(jù)隨機(jī)變量X～N10,22所以PX≥10=0.5，故A正確，P8≤X≤12D2X+1故選：D.【變式33】（2023下·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）在某項(xiàng)測(cè)試中，測(cè)量結(jié)果X～N1,σ2σ>0，若P1<X<2A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【解題思路】由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求解即可.【解答過(guò)程】解析：由正態(tài)分布知PX>1=0.5，因?yàn)椤郟X≥2=0.2，由對(duì)稱(chēng)性知故選：B．【題型4利用3原則求概率】【例4】（2023下·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）某科研院校培育大棗新品種，新培育的大棗單果質(zhì)量近似服從正態(tài)分布N90,4（單位：g），現(xiàn)有該新品種大棗10000個(gè)，估計(jì)單果質(zhì)量在86,92范圍內(nèi)的大棗個(gè)數(shù)約為（

）附：若X～Nμ,σ2，則Pμ?σ<X<μ+σA．8185 B．8400 C．9974 D．9987【解題思路】求出μ、σ的值，結(jié)合3σ原則可求得P86<X<92的值，乘以10000【解答過(guò)程】因?yàn)棣?90，σ=2，則86=μ?2σ，92=μ+σ，則P==1因此，估計(jì)單果質(zhì)量在86,92范圍內(nèi)的大棗個(gè)數(shù)約為10000×0.8185=8185個(gè).故選：A.【變式41】（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若隨機(jī)變量X~Nμ,σ2σ>0，則有如下結(jié)論：（PX?μ<σ=0.6826，A．19 B．12 C．6 D．5【解題思路】由正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性求出理論上說(shuō)在130分以上的概率，即可求出理論上說(shuō)在130分以上人數(shù).【解答過(guò)程】∵數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布N120,102∴Px?120根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性知：理論上說(shuō)在130分以上的概率為12∴理論上說(shuō)在130分以上人數(shù)約為0.1587×40≈6.故選：C．【變式42】（2023下·浙江寧波·高二?？计谥校┮阎S機(jī)變量X~N20,22，則P(X<16)=（

）(附：若X~Nμ,σA．0.02275 B．0.1588 C．0.15865 D．0.34135【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】由題意可得：μ=20,σ=2，則P16≤ξ≤24所以P(X<16)=1故選：A.【變式43】（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）為了解全市高三學(xué)生身體素質(zhì)狀況，對(duì)某校高三學(xué)生進(jìn)行了體能抽樣測(cè)試，得到學(xué)生的體育成績(jī)X～N(70,100)，其中60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀，則下列說(shuō)法正確的是（

）附：若X～Nμ,σ2，則P(μ?σ≤X<μ+σ)=0.6826A．該校學(xué)生體育成績(jī)的方差為10B．該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為85C．該校學(xué)生體育成績(jī)的及格率小于85%D．該校學(xué)生體育成績(jī)的優(yōu)秀率大于3%【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的特征可求A,B選項(xiàng)的正誤，根據(jù)優(yōu)秀和及格的標(biāo)準(zhǔn)可得C,D選項(xiàng)的正誤.【解答過(guò)程】因?yàn)閄～N(70,100)，所以該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70，方差為100，所以A,B均不正確；因?yàn)?0分及以上為及格，所以P(X≥60)=1?1?P(70?10≤X<70+10)因?yàn)?0分及以上為優(yōu)秀，所以P(X≥90)=1?P(70?20≤X<70+20)故選：C.【題型5\o"標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj135500/_blank"標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用】【例5】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，已知Φ(?1.96)=0.025，則P(ξ<1.96)=（A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975【解題思路】根據(jù)變量符合正態(tài)分布，且對(duì)稱(chēng)軸為x=0，得到P(ξ【解答過(guò)程】ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，∴P(=1?2Φ(?1.96)=1?2×0.025=0.950，故選：C.【變式51】（2023下·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N0,1，則下列結(jié)論正確的是（

①Pξ<a=P③Pξ<a=1?2PA．①② B．②③ C．①④ D．②④【解題思路】由Pξ<a=P?a<ξ<a可判斷①，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性可得【解答過(guò)程】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N0,1因?yàn)镻ξ因?yàn)镻=Pξ<a所以②正確，③不正確；因?yàn)镻ξ所以Pξ所以結(jié)論正確的是②④.故選：D.【變式52】（2023下·遼寧大連·高二大連二十四中?？计谥校┰O(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),f(x)=P(X?x)，其中x>0，則下列等式成立的是（

）A．f(2x)=2f(x) B．f(?x)=1?f(x)C．P(X?x)=2f(x)?1 D．P(|X|>x)=2?f(x)【解題思路】根據(jù)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，得到正態(tài)曲線關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，再結(jié)合正態(tài)分布的密度曲線定義，由此逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案．【解答過(guò)程】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(0,1)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閒(x)=P(X?x)(x>0)，所以根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可得f(?x)=P(X<x)=1?f(x)，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)閒(2x)=P(X?2x)，2f(x)=2P(X?x)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；P(X?x)=1?P(X?x)=1?f(x)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；P(|X|>x)=P(X>x或X<?x)=2f(x)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B．【變式53】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）小明上學(xué)有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)，他記錄多次數(shù)據(jù)，分析得到：坐公交車(chē)平均用時(shí)30min，樣本方差為36；騎自行車(chē)平均用時(shí)34min，樣本方差為4，假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)X~N(30,62)，騎自行車(chē)用時(shí)Y~N(34,A．P(X≤38)>P(Y≤38) B．P(X≤34)>P(Y≤34)C．如果有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇坐公交車(chē) D．如果有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇自行車(chē)【解題思路】利用正態(tài)分布曲線的意義以及對(duì)稱(chēng)性，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【解答過(guò)程】因?yàn)閄~N(30,62)將X,Y化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則X?306因?yàn)?8?306<38?34又P(X≤34)>12,P(Y≤34)=因?yàn)镻(X≤38)<P(Y≤38)，所以如果有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇自行車(chē)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)镻(X≤34)>P(Y≤34)，所以如果有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇坐公交車(chē)，故D錯(cuò)誤.故選：B．【題型6\o"正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj135500/_blank"正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（2023上·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購(gòu)物群成為網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售的新渠道.在丑橘銷(xiāo)售旺季，某丑橘基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購(gòu)物群的銷(xiāo)售情況，各購(gòu)物群銷(xiāo)售丑橘的數(shù)量（都在100箱到600箱之間）情況如下：丑橘數(shù)量（箱）100,200200,300300,400400,500500,600購(gòu)物群數(shù)量（個(gè)）a18a+8a+2018(1)求實(shí)數(shù)a的值，并用組中值估計(jì)這100個(gè)購(gòu)物群銷(xiāo)售丑橘總量的平均數(shù)（箱）；(2)假設(shè)所有購(gòu)物群銷(xiāo)售丑橘的數(shù)量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ為（1）中的平均數(shù)，σ附：若X服從正態(tài)分布X～Nμ,σ2【解題思路】（1）根據(jù)樣本總數(shù)可得a+18+a+8+a+20+18=100，可求得a=12，利用平均數(shù)的定義即可求得平均數(shù)為376（箱）.（2）根據(jù)購(gòu)物群的劃分等級(jí)，利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可分別求出各類(lèi)群的數(shù)量，即可求得獎(jiǎng)勵(lì)資金應(yīng)準(zhǔn)備373400元.【解答過(guò)程】（1）由題意得a+18+a+8+a+20+18=100，解得a=12.故平均數(shù)為1100（2）由題意，μ=376,σ=110，且266=376?110=μ?σ,596=376+220=μ+2σ，故P(X>596)=P(X>μ+2σ)=1所以“優(yōu)質(zhì)群”約有2000×0.023=46（個(gè)），P(266≤X<596)=P(μ?σ<X<μ+2σ)=1所以“一級(jí)群”約有2000×0.8185=1637（個(gè)），所以需要資金為46×1000+1637×200=373400（元），故至少需要準(zhǔn)備373400元.【變式61】（2023上·山東·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會(huì)越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門(mén)隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）1.0,1.21.2,1.41.4,1.61.6,1.81.8,2.0零件個(gè)數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布Nμ,σ2，μ(1)分別求μ，σ2(2)試估計(jì)這批零件直徑在1.044,1.728的概率；(3)隨機(jī)抽查2000個(gè)零件，估計(jì)在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在1.044,1.728的個(gè)數(shù).參考數(shù)據(jù)：0.052≈0.228；若隨機(jī)變量ξ～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤ξ≤μ+σ【解題思路】（1）根據(jù)平均數(shù)與方差的公式即可求解.（2）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合正態(tài)分布在三個(gè)常見(jiàn)的區(qū)間上取值的概率進(jìn)行求解.（3）根據(jù)區(qū)間1.044,1.728上的概率計(jì)算即可.【解答過(guò)程】（1）由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式分別得：μ=σ故μ=1.5，（2）設(shè)ξ表示零件直徑，則ξ～Nμ,σ2Pμ?σ≤ξ≤μ+σ由對(duì)稱(chēng)性得，2P1.5≤ξ≤1.728=0.6827同理，Pμ?2σ≤ξ≤μ+2σ2P1.044≤ξ≤1.5=0.9545P1.044≤ξ≤故這批零件直徑在1.044,1.728的概率為0.8186.（3）由（2）知，P1.044≤ξ≤所以在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在1.044,1.728的有2000×0.8186≈1637個(gè).【變式62】（2023上·四川成都·高三校考階段練習(xí)）為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫(kù)中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間（滿(mǎn)時(shí)長(zhǎng)15小時(shí)），將其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P(μ?σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545(1)求a的值；(2)以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間ξ近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知σ≈2.39(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9),[9,11)內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù)．（四舍五入取整數(shù)）【解題思路】（1）由頻率之和等于1，得出a；（2）計(jì)算平均數(shù)得出μ=9.84，再由正態(tài)分布的概率估計(jì)即可；（3）由分層抽樣得出X的所有可能取值，再由超幾何分布求解.【解答過(guò)程】（1）解：由題意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1，解得a=0.12．（2）由題意知樣本的平均數(shù)為4×0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05×2=9.84，所以μ=9.84．又σ≈2.39，所以P(7.45<ξ≤14.62)=P(μ?σ<ξ≤μ+2σ)=12則5000×0.8186=4093，所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在(7.45,14.62]內(nèi)的人數(shù)約為4093．（3）[7,9),[9,11)對(duì)應(yīng)的頻率比為0