第2章邏輯代數(shù)基礎2.1概述2.2邏輯代數(shù)的基本運算2.3邏輯代數(shù)的基本公式2.4邏輯代數(shù)的基本運算規(guī)則2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的化簡 2.1概述

數(shù)字電路研究的主要問題是輸入和輸出之間的關系，這種關系稱為邏輯關系，而分析和處理邏輯關系的工具就是邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)也叫開關代數(shù)，還叫布爾代數(shù)。

邏輯代數(shù)中的變量就是邏輯變量。邏輯變量分為兩類，即輸入邏輯變量和輸出邏輯變量。無論是輸入邏輯變量還是輸出邏輯變量，它們的取值“非0即1”。這里的“0”和“1”沒有數(shù)的含義，它們表示兩種完全對立的邏輯狀態(tài)。一般來說，如果輸入邏輯變量A,B,C,…的取值確定以后，輸出邏輯變量Y的取值也就被唯一地確定了，那么我們稱Y是A,B,C,…的邏輯函數(shù)，A,B,C,…是Y的邏輯變量,記作Y＝F（A、B、C…）

2.2邏輯代數(shù)的基本運算

邏輯代數(shù)是分析和設計數(shù)字電路的數(shù)學工具。它是英國數(shù)學家喬治·布爾(GeorgeBoole)在19世紀中葉創(chuàng)立的，故又稱布爾代數(shù)或開關代數(shù)。在這里邏輯變量的兩種取值“0”和“1”不再表示具體數(shù)值的大小，而是兩種對立的邏輯狀態(tài)，如開和關，有和無等。由于客觀事物的最基本的邏輯關系只有“與”、“或”、“非”三種，因而邏輯代數(shù)的基本運算也只有“與”、“或”、“非”三種。其他復雜的邏輯運算都可以演變?yōu)檫@三種基本運算。2.2.1與運算

與運算又叫邏輯乘，它所對應的邏輯關系為：當決定事物結(jié)果的幾個條件同時滿足時，結(jié)果才會發(fā)生。

與運算的邏輯函數(shù)表達式為Y=A·B與運算的邏輯符號如圖2－1所示，真值表如表2－1所示。圖2－1與運算的邏輯符號

(a)常用符號；(b)國際符號表2－1與真值表如圖2－2所示,用開關串聯(lián)控制電路來描述與邏輯關系。設開關A、B閉合為1，打開為0;燈Y亮為1，滅為0。當且僅當A=B=1(都閉合)時，Y才等于1(亮)，所以它的邏輯函數(shù)表達式為Y=A·B真值表同表2－1。圖2－2開關串聯(lián)控制電路2.2.2或運算

或運算又稱為邏輯加，它所對應的邏輯關系為：在決定事物結(jié)果的所有條件中，只要具備一個或一個以上的條件，結(jié)果就會發(fā)生。

或運算的邏輯函數(shù)表達式為Y=A+B或運算的邏輯符號如圖2－3所示，真值表如表2－2所示。

圖2－3或運算的邏輯符號

(a)常用符號；(b)國際符號表2－2或真值表如圖2－4所示，用開關并聯(lián)控制電路來描述或邏輯關系。設開關A、B閉合為1，打開為0;燈Y亮為1，滅為0。當A=1或B=1或A=B=1時，燈Y都會亮，所以邏輯函數(shù)表達式為Y=A+B圖2－4開關并聯(lián)控制電路2.2.3非運算

非運算又稱求反運算，它所對應的邏輯關系為：當決定一件事情的條件不具備時，這件事情才會發(fā)生。

非運算的邏輯函數(shù)表達式為非運算的邏輯符號如圖2－5所示，真值表如表2－3所示。圖2－5非運算的邏輯符號

(a)常用符號；(b)國際符號表2－3非真值表如圖2－6所示，用燈與開關并聯(lián)電路來描述非邏輯關系。設開關A閉合為1，打開為0；燈Y亮為1，滅為0。當A=1時，燈被旁路，Y=0；當A=0時，電流流過燈，Y=1。所以二者狀態(tài)相反，邏輯函數(shù)表達式為上述三種運算是邏輯代數(shù)的基本運算，由它們可以組成復合邏輯運算,常用的有與非、或非、與或非、異或、同或等。表2－4常用復合邏輯運算的邏輯符號 2.3邏輯代數(shù)的基本公式

1.常量之間的關系

因為邏輯變量的取值是0和1，而邏輯代數(shù)中只有0和1兩個常量，最基本的邏輯運算是與、或、非三種，所以常量之間的關系也只有與、或、非三種，即0·0=00·1=01·0=01·1=10＋0=00＋1=11＋0=11＋1=1

2.常量和變量之間的關系

常量和變量有如下關系:A·1=AA·0=0A＋1=1A＋0=A

3.變量與變量之間的關系

變量與變量有如下關系：

利用上述基本公式可以推導出一些常用公式，應用于邏輯函數(shù)的化簡，即

4.基本定理

(1)交換律:A·B=B·AA＋B=B＋A(2)結(jié)合律:(A·B)·C=A·(B·C)(A＋B)＋C=A＋(B＋C)

(3)分配律：

A·(B＋C)=A·B＋A·C

A＋B·C=(A＋B)·(A＋C)

(4)反演律(德·摩根定理)： 2.4邏輯代數(shù)的基本運算規(guī)則

2.4.1代入規(guī)則

在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的地方都代之以一個函數(shù)，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。

利用代入規(guī)則可以擴展公式和證明恒等式，從而擴大等式的應用范圍。

【例2－1】證明：所以2.4.2反演規(guī)則

1.定義

對于任何一個邏輯函數(shù)表達式Y(jié)，若將式中所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則所得到的結(jié)果為Y。這一規(guī)則稱為反演規(guī)則。

2.作用

利用反演規(guī)則很容易求一個函數(shù)的反函數(shù)。

3.需要注意的問題

注意運算的順序：先括號，再與，再或；不是一個變量上的非號保持不變。

【例2－2】2.4.3對偶規(guī)則

對于任何一個邏輯函數(shù)表達式Y(jié)，若將式中所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，0換成1，1換成0，就可以得到一個新的邏輯函數(shù)表達式Y(jié)′，則Y和Y′互為對偶式。如果兩個邏輯函數(shù)表達式相等，那么它們的對偶式也一定相等，這就是對偶規(guī)則。利用對偶規(guī)則可以證明恒等式。

【例2－3】求的對偶式。解 2.5邏輯函數(shù)及其表示方法

邏輯函數(shù)反映了輸入邏輯變量與輸出邏輯變量之間的邏輯關系,或稱因果關系。設某一邏輯系統(tǒng)的輸入邏輯變量為A1，A2，…,An，輸出邏輯變量為Y。當A1，A2，…,An取值確定時，Y的值就被唯一地確定下來了，則稱Y是A1，A2，…,An的邏輯函數(shù)，其函數(shù)表達式為Y=F(A1,A2,……An)邏輯變量和邏輯函數(shù)都只有0和1兩種取值。常用的邏輯函數(shù)表示方法主要有以下幾種。2.5.1邏輯函數(shù)的表達式法

表達式法是將邏輯變量用與、或、非等邏輯運算組合起來的邏輯函數(shù)表示方法，例如 。表達式法的特點是可直接反映各個邏輯變量間的運算關系，便于化簡、運算、變換，但它不能直接反映變量取值的對應關系，而且一個邏輯函數(shù)通常有多種表達式。一般取兩種表達形式：與或式和或與式。2.5.2邏輯函數(shù)的真值表法

真值表法以表格的形式反映輸入邏輯變量的取值組合與函數(shù)值之間的對應關系。如：邏輯函數(shù)Y=A·B

因為每個邏輯變量都有0和1兩種取值，所以A、B有四種可能的組合，每種組合下可得到一個邏輯函數(shù)的值，結(jié)果如表2－5所示。此表即為Y=A·B的真值表。真值表法能直觀地反映變量取值和函數(shù)值的對應關系。給出邏輯問題后，很容易直接列出真值表，但對多個變量的函數(shù)，列表比較麻煩。表2－5

Y=A·B的真值表2.5.3邏輯函數(shù)的邏輯圖法

邏輯圖法用規(guī)定的邏輯符號表示邏輯函數(shù)的運算關系。例如，利用三種最基本的邏輯符號可以作出 的邏輯圖，如圖2－7所示。

邏輯圖與數(shù)字電路的與門、或門、非門器件有直接對應關系，也可作為邏輯原理圖，便于用器件實現(xiàn)，但同樣不能運算和變換。圖2－7邏輯圖法2.5.4邏輯函數(shù)的波形圖法

波形圖根據(jù)邏輯變量與函數(shù)的邏輯關系，在給出輸入變量隨時間變化的波形后，用電平的高、低變化描述輸出變量隨時間變化的波形。它可直觀地反映輸入與輸出信號間的對應關系，又稱為時序圖。圖2－8所示為給出A、B波形后得到的 的對應波形圖。波形圖可用于對

電路的測試、動態(tài)分析，但不能直接表示變量間的邏輯關系。圖2－8波形圖2.5.5邏輯函數(shù)的卡諾圖法

卡諾圖是用圖形表示邏輯函數(shù)的方法，又稱圖形法?？ㄖZ圖是對邏輯函數(shù)化簡的主要方法之一。它直觀、完整地描述了函數(shù)的邏輯關系?？ㄖZ圖的構(gòu)成和函數(shù)化簡方法見2.6.3節(jié)。2.5.6邏輯函數(shù)各表示方法間的轉(zhuǎn)換

邏輯函數(shù)的幾種表示方法各有特點，任意一種形式的表示方法都可以轉(zhuǎn)化為其它形式的表示方法。轉(zhuǎn)換方法如下：

1.由真值表寫函數(shù)表達式

將真值表中函數(shù)值為1的各變量組合列出，變量取值為1寫為原變量，取值為0寫為反變量，各變量間是與的關系，所有函數(shù)值為1的變量組合之間用或的關系表示，即最終的函數(shù)表達式為與或式。例如對于表2－6，可得

2.由函數(shù)表達式畫真值表

將變量的所有取值組合列于真值表中，原變量用1表示，反變量用0表示。函數(shù)表達式中所包含的每一項對應的函數(shù)值為1，而不包含的取值組合對應的函數(shù)值為0。例如： ,A、B所有組合為(00,01,10,11)，在取值為01和10時，Y=1，而在取值為00和11時，Y=0。畫真值表,如表2－6所示。

3.由函數(shù)表達式畫邏輯圖

用相應邏輯符號表示邏輯函數(shù)表達式可得到相應邏輯圖，如由函數(shù)表達式 可得如圖2－9所示的邏輯圖。圖2－9 的邏輯圖

5.由真值表或函數(shù)式畫波形圖

已知輸入變量波形，可根據(jù)真值表或函數(shù)式中輸入與輸出的對應關系畫出波形圖，見2.5.4節(jié)。

2.6邏輯函數(shù)的化簡

2.6.1邏輯函數(shù)化簡的意義及其最簡形式

邏輯函數(shù)的化簡是分析和設計數(shù)字系統(tǒng)的重要步驟?；喌哪康氖抢们笆龉健⒁?guī)則和圖形通過等價邏輯變換，使邏輯函數(shù)式成為最簡式。邏輯函數(shù)式越簡單,則實現(xiàn)該邏輯函數(shù)式所需的門數(shù)就越少，這樣既可節(jié)省器件，降低成本，又能提高電路的可靠性。

不同條件下，化簡得到的結(jié)果有不同的形式，如最簡與或式、或與式、與或非式、與非－與非式、或非－或非式等。它們的邏輯功能是相同的。最常用的是最簡與或式和或與式。最簡式的標準是表達式中項數(shù)最少，而且每項內(nèi)變量的個數(shù)也最少。有了與或式,可以通過變換得到其它所需形式的表達式。

例如：由以上五種表達式可見，與或式最簡單，實現(xiàn)起來所用元器件最少。2.6.2邏輯函數(shù)的公式化簡法

公式化簡是指利用邏輯函數(shù)的基本公式、定律、常用公式化簡函數(shù)，消去函數(shù)式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子，使之成為最簡與或式。公式化簡過程中常用以下幾種方法。

1.吸收法

利用公式A+AB=A，消去多余的乘積項AB。

【例2－4】化簡Y=AB+ABCD。

解

Y=AB(1+CD)=AB

2.并項法

利用公式 ,將兩項合并為一項，消去一個變量。

【例2－5】化簡化簡函數(shù)時，應靈活應用上述公式，以得到較好的結(jié)果。由上述例題可以看出函數(shù)式化簡沒有一個統(tǒng)一的規(guī)范步驟可循，主要看對公式的熟練程度和運用技巧，而且化簡結(jié)果難于判斷是否為最簡式。為此，下面我們將介紹一種既簡便又直觀的化簡方法——圖形法化簡，即用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)式的方法。2.6.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

卡諾圖化簡法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖表示,在圖上進行函數(shù)化簡。利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，可以較方便地得到最簡函數(shù)式。卡諾圖化簡法是邏輯函數(shù)常用的化簡方法。

2)最小項的編號

為了便于書寫，通常用mi對最小項進行編號。如把某最小項中的原變量記為1，反變量記為0，該最小項按確定的順序排列成一個二進制數(shù)，則與該二進制數(shù)對應的十進制數(shù)就是下標i的值。如三變量最小項ABC的取值組合為011，對應的十進制數(shù)為3，則該項的編號為m3。按此原則，三變量的全部8個最小項的編號分別為m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7。表2－7所示為三變量A、B、C為不同取值組合時的全部最小項真值表。表2－7三變量最小項真值表

3)最小項的性質(zhì)

從表2－7中可以得到最小項的三個重要性質(zhì)：

(1)任何一組變量取值下，只有一個最小項的對應值為1，其它最小項的值均為0。

(2)任何兩個不同的最小項的乘積為0。

(3)任何一組變量取值下，全部最小項的和為1。

2.邏輯函數(shù)的最小項表達式

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為一組最小項的和的形式，稱為最小項表達式或標準與或式。如果函數(shù)式中某些項不是最小項形式，可以化成最小項。方法是在不是最小項形式的乘積項中乘以(X+X)，補齊所缺因子，便可以得到最小項表達式。因此，任何一個n個變量的邏輯函數(shù)都有一個且僅有一個最小項表達式。

【例2－9】將邏輯函數(shù) 化簡成最小項表達式。

3.邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

1)卡諾圖的構(gòu)成

卡諾圖是由美國工程師卡諾(Karnaugh)設計的，故稱為卡諾圖。它是最小項的方格圖，每個小方格中填入一個最小項，n個變量的卡諾圖是由2n個小方格組成的矩形或正方形。圖中橫方向和縱方向的變量取值按照邏輯相鄰性排列，具有幾何對稱的最小項也具有相鄰性，這是構(gòu)成卡諾圖的關鍵。

所謂邏輯相鄰性,是指在由n個變量組成的2n個最小項中，如果兩個最小項僅有一個因子不同，其余因子均相同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰項,如ABC和ABC、ABC和ABC等。圖2－10所示為二變量~五變量邏輯函數(shù)的卡諾圖。

圖2－10二變量~五變量卡諾圖

（a)二變量；(b)三變量；(c)四變量；(d)、(e)五變量五變量邏輯函數(shù)的卡諾圖有兩種畫法，如圖2－10（d)、(e)所示。

五變量以上的邏輯函數(shù)卡諾圖可按同樣原則繪制，但變量越多圖形越復雜，并且函數(shù)中邏輯相鄰性不易判斷，所以較少采用卡諾圖化簡。

2)邏輯函數(shù)的卡諾圖

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)時，通常有三種情況：

(1)直接給出邏輯函數(shù)真值表。在卡諾圖中對應于變量取值組合的每個小方格內(nèi)，根據(jù)真值表中的函數(shù)值直接填入，是1的填1，是0的填0或不填。

(2)給出邏輯函數(shù)的最小項表達式。在對應于函數(shù)最小項的每個小方格中直接填1，其它給定函數(shù)中不包含最小項的方格中填0或不填。

(3)給出的不是最小項表達式。首先將函數(shù)化簡成最小項表達式(或者化簡成與或式)，在卡諾圖中對應的最小項方格中填入1(或在每個乘積項包含的最小項處都填入1)，剩下的填0或不填。

【例2－10】用卡諾圖表示下列邏輯函數(shù)：解卡諾圖如圖2－11所示。圖2－11例2－10的卡諾圖

3)邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

利用卡諾圖能夠直觀地將邏輯相鄰項中不同的因子，利用公式AB+AB=A進行合并，消去不同因子，保留公因子，從而化簡函數(shù)。

(1)將卡諾圖中兩個填入1的相鄰最小項合并為一項，消去一個變量，見圖2－12。圖2－12消去一個變量

(2)將卡諾圖中四個填入1的相鄰最小項合并為一項，消去兩個變量，見圖2－13。圖2－13消去兩個變量

(3)將卡諾圖中八個填入1的相鄰最小項合并為一項，消去三個變量，見圖2－14。圖2－14消去三個變量依次類推，將2i個相鄰最小項合并可以消去i個變量。

綜合以上方法，用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：

①畫卡諾圖。根據(jù)函數(shù)中變量的個數(shù)，畫出對應的函數(shù)卡諾圖。

②填最小項值。將函數(shù)中包含的變量取值組合填入相應的最小項方格中。

③畫圈合并最小項。按照邏輯相鄰性將可以合并的最小項圈起來消去不同因子。

④寫邏輯函數(shù)式。由畫圈