《數(shù)值計算方法》復(fù)習試題

一、填空題:

4-10

A=-14-1A=

1、L°T,J,則A的四分解為LJLJo

1114-10

A=-1/4115/4-1

0-4/15iJL56/15

2、已知/⑴=10“2)=12/⑶=1.3,則用辛普生(辛卜生)公式計算求得

f3

f(x)dx^，用三點式求得廣⑴

答案：2.367,0.25

3、/(1)=-1,/(2)=2,/(3)=1,則過這三點的二次插值多項式中/的系數(shù)為

拉格朗日插值多項式為O

,￡?(/)=—(x-2)(x—3)—2(x—l)(x—3)—(x—?l)(x—2)

案：-1,22

4、近似值￡=0.231關(guān)于真值戈=0.229有(2)位有效數(shù)字：

5、設(shè)、“x)可微，求方程x二7(X)的牛頓迭代格式是(

/一〃/)

x〃+i=X

6、對/(幻=厘+工+1,差商力°,1.2,3]=(1),/[(),1,2,3,4]=(0)；

7、計算方法主要研究(裁斷)誤差和(舍入)誤差；

8、用二分法求非線性方程/(幻=0在區(qū)間3力)內(nèi)的根時，二分〃次后的誤差限為

b-a

c"+l

9、求解一階常微分方程初值問題v=/(X、)，)，)，3))=)，o的改進的歐拉公式為

y〃+i=+4[/(x”，y〃)+/(x〃+i，y〃+i)]

(2

10、已知川)=2,<2)=3,14)=5.9,則二次Newton插值多項式中f系數(shù)為(0.15):

兩點式高斯型求積公式J。***心整"(需)+八霜)］

11、J-),代數(shù)精

度為(5);

12、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(4的各階順序主子式均

不為零)。

y=10+——+---------------

13、為了使計算工一1(工-1廠(X-1)'的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表

y=10+(3+(4-6f)f)f"=----

達式改寫為—x-l_,為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達式

2

J2001—J1999改寫為—72()01+71999。

14、用二分法求方程/。)二"+”-1=°在區(qū)間［01］內(nèi)的根，進行一步后根的所在區(qū)間

為0.5,1.進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5,0.75o

15、計算積分Jo.5，取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為0.42字，

用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309,梯形公式的代數(shù)精度為，，辛卜

生公式的代數(shù)精度為3。

,3x,+5x2=1卜產(chǎn))=(1-5工產(chǎn))/3

16、求解方程組102為+4七=°的高斯—塞德爾迭代格式為」》")=-］尸)/20該迭

1

代格式的迭代矩區(qū)的譜半徑夕(時)=_12_。

17、設(shè)/(0)=0,/(1)=16,/(2)=46,則乙(x)=_h(x)=-x(x-2)f(x)的二次牛頓

插值多項式為_"2")=16x+7x(x-l)_。

f/(冗心=24/氏)

18、求積公式”匕。的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具

有(2/7+1)次代數(shù)精度。

19、已知/(1)=1〃3)=5/(5)=-3,用辛普生求積公式求J112)o

20、設(shè)/（2）=2,/（3）=0,用三點式求廣⑴"（2.5）。

21、如果用二分法求方程丁+x-4=°在區(qū)間［1,2］內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（io）

次。

/0<x<l

S（x）=1,

-（x-l）3+?（x-l）72+Z?（x-l）+cl<x<3

22、已知12是三次樣條函數(shù)，則

。=（3）,〃=（3）,c=（1）。

23、/。（幻/（幻，…（幻是以整數(shù)點與，M…，&為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則

f/Jx）==x?！辏ǜ?只+3兒"）=42。

ho（1）,k=o（>），當，22時ho（x+x+3）。

r,〃、湄—好（貓，力）

\-%+1=%+-"（x“'K）+/（x〃+i，）喝）1

24、解初值問題〔"v（為x）一）v。的改進歐拉法〔2是

2階方法。

25、區(qū)間LU上的三次樣條插值函數(shù)S*）在上具有直到2階的連續(xù)導數(shù)。

26、改變函數(shù)fM=4x+i-4x（X》］）的形式，使計算結(jié)果較精確

27、若用二分法求方程/（工）二°在區(qū)間［1,2］內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分3

次。

S（x）=，f,[WE

28、設(shè)[*+or+云+c,1?工《2是3次樣條函數(shù)，則

a=3.b=-3c=1

29、若用復(fù)化梯形公式計算J。,公，要求誤差不超過10",利用余項公式估計，至少用477

個求枳節(jié)點。

%）+1.6X=I

?2

30、寫出求解方程組卜0-4%+%=2的Gauss-Seidel迭代公式

一”二1—1.6淄4=0］…pT.6、

若川=2+0.4砰川,迭代矩陣為-0聞，此迭代法是否收斂—收斂」

31、設(shè)4Q3）則|即=9。

482

'482U=016

A=257\_

00

32、設(shè)矩陣_136的4=LU,則〃=一~2,

8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A)o

A.控制舍入誤差B.減小方法誤差

C.防止計算時溢出D.簡化計算

x___

9、用1+不近似表示好1所產(chǎn)生的誤差是(D)誤差。

A.舍入B.觀測C.模型D.截斷

10、-324.7500是舍人得到的近似值，它有(C)位有效數(shù)字。

A.5B.6C.7D.8

11、設(shè)/(-1)=1/(())=3/(2)=4,則拋物插值多項式中爐的系數(shù)為(A)o

A.-().5B.0.5C.2D.-2

12、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)o

A.3B.4C.5D.2

13、(D)的3位有效數(shù)字是0.236X102。

(A)0.0023549X103(B)2354.82X10-2(C)235.418(D)235.54X10-1

14、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根,把方程f(x)=0表示成x=(p(x),則f(x)=0的根是

(B)o

(A)y=(p(x)與x軸交點的橫坐標(B)y=x與y=(p(x)交點的橫坐標

(C)y=x與x軸的交點的橫坐標(D)y=x與y二5(x)的交點

3$-x2+4x-=I

-x,+2X2-9.q=0

15、用列主元消去法解線性方程組-4玉-3々+七=-1,第i次消元，選擇主元為

(A)o

(A)-4(B)3(C)4(D)-9

16、拉格朗日插值多項式的余項是(B)，牛頓插值多項式的余項是(C)o

(A)Rx,x0,xl,x2,...,xn)(x-xl)(x-x2)...(x-xn-l)(x-xn),

R{x}=f[x]-PM=L―導

(B)nn(〃+D!

(C)f(x,x0,xl,x2,...,xn)(x—x0)(x—xl)(x—x2)...(x—xn—l)(x—xn),

R?(x)=f(x)-Pn(x)=?(x)

(D)(〃+】)！

17、等距二點求導公式f(xl)MA)。

zAJ(西)一/(X。)mJ(司)f(%)+f(X|)，(項)-/(A0)

l八J(DJ17\^)

V與一七與”Xj+x0

18、用牛頓切線法解方程f(x)=O,選初始值x()滿足(A)，則它的解數(shù)列{xn}n=(),l,2,…

一定收斂到方程f(x)=O的根。

w

(A)/(x0)/(x)>0(B)/(x0)/Xx)>0(C)f(x。)/"(x)v0(D)f(x0)f(x)<0

19、為求方程x3—x2—1-0在區(qū)間n.3,l.G］內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列略式，并建

立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A)。

F二」一,迭代公式:占.|=—=

(A)—附

1+4,迭代公式：x=1+1

x=k+l

(B)

=1+X:迭代公式=(1+總)—

X，-1=/,迭代公式:Xi=1+,----

(D)項+Z+1

yr=f(xy)

〈9

20、求解初值問題b(%)=)'。歐拉法的局部截斷誤差是0;改進歐拉法的局部截斷誤差

是();四階龍格一庫塔法的局部截斷誤差是(A)

(A)0(h2)(B)0(h3)(C)0(h4)(D)0(h5)

21、解方程組Ax=〃的簡單迭代格式=Bx")+g收斂的充要條件是()。

(1)P(A)vl,⑵⑶p(A)>l(4)p(B)>1

b

\f{x}dxx(b—a這C「)f(^)(n)

22、在牛頓-柯特斯求積公式：及，=。中，當系數(shù),，是負值時，公式的

穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當()時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。

(I)8,(2)n>7,(3)〃210,(4)n>6,

23、有下列數(shù)表

X00.511.522.5

f(x)-2-1.75-10.2524.25

所確定的插值多項式的次數(shù)是()。

(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次

24、若用二階中點公式y(tǒng)^'=y"+hf(x"+2,y"+2f(x,''y"))求解初值問題/=-2y,y(0)=1,

試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長力的取值范圍為()。

(I)0<Zz<1,(2)0</?<1,(3)0</?<1,(4)0</?<1

25、取6六1?732計算x=(6-1)4,下列方法中哪種最好？()

1616

24

(A)28-16\/3.(B)(4-25/3),?(4+2石)？；(D)(V3+1)o

x304x42

S(x)=

2(x-l)3+a(x-2)+^24x44是三次樣條函數(shù)，則外)的值為()

26、

(A)6,6；(B)6,8；(C)8,6：(D)8,8。

27、由下列數(shù)表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是()

J11.522.533.5

f(X.)-10.52.55.08.011.5

(A)5；(B)4；(C)3；(D)2C

f(x)dx?Af(x)+A/(x,)+A/(x)

28、形如—~'個八方的高斯(Gauss)型求積公式的代數(shù)精度為

()

(B)7；(C)5；(D)3。

計算百的Newton迭代格式為()

29、

xk3xk323

+x

4+1=丁+-=~~~—*+i=

2Xk；⑻22八；2工人；(D)3勺

e=_x］0_3

30、用二分法求方程”3+4必-10=。在區(qū)間［1,2］內(nèi)的實根，要求誤差限為2,則對分

次數(shù)至少為()

(A)10：(B)12；(08：(D)9o

31、經(jīng)典的四階龍格一庫塔公式的局部截斷誤差為()

⑻。(扃;()；

行)0行)；O°W(D)。(〃1

￡包(&)=

設(shè)4(X)是以々=A伏=°，1，…，9)為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù),

32、則4=。)

(A)工；(B)(C)l；(D)lo

33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度

(A)5：(B)4；(06；(D)3。

x0<x<2

5(x)=

2(x-\)y+a(x-2)+b2<x<4則〃力的值為(

34、已知是三次樣條函數(shù),)

(A)6,6：(B)6,8；(C)8,6：(D)8,8。

下列迭代格式中在“。=2不收斂的是(

35、已知方程--2x-5=0在x=2附近有根.)

2x；+5

3x；-2

*o

(A)8；(B)9；(C)10；(D)llo

三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打《否則打X）

1、已知觀察值（七'月）（'=°，1，2,…，⑼，用最小二乘法求n次擬合多項式P〃（x）時，

尸〃（“）的次數(shù)〃可以任意取。（）

x2

2>用1-2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。（）

（人一人0）（人一/2）

3、（七一飛）（七一“2）表示在節(jié)點X］的二次（拉格朗日）插值基函數(shù)。（7）

4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。

（7）

‘311、

-253

5,矩陣12”具有嚴格對角占優(yōu)。（）

四、計算題：

4Xj+2X2+x3=11

<X1+4X2+2X3=18

1、用高斯-塞德爾方法解方程組〔22+々+5/=22,取”）二（0,0,0）丁，迭代四次（要

求按五位有效數(shù)字計算）。

答案：迭代格式

蔣+1）=；（11一2以）一點，）

x^+l）=^（18-x；k+1）-2x^）

甘+|）=（（22-2點釗-球川）

k琛,人2以）

0000

12.75003.81252.5375

20.209383.17893.6805

30.240432.59973.1839

40.504202.48203.7019

fl11

2、求A、8使求積公式"22的代數(shù)精度盡量

5%

高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求（保留四位小數(shù)）。

答案：/（x）=l，x，d是精確成立，即

’2A+28=2

2A+-B=-

23得99

JPJ，(x，)dx=-I1r/r(z-1I)X+/(1)]+-8["/(，--L)+/(-)]

求積公式為

2\_

當/（》）=/時，公式顯然精確成立；當f（x）=/時，左=5,右二3。所以代

數(shù)精度為3。

21r=2x-3]]

」1r111

-dx=-----dt?—[--------1-------]--+---[-------+-——

力XJ-I/+39-1+31+39-1/2+31/2+3

97

0.69286

140

3、已知

1345

/3)2654

分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求/（X）的三次插值多項式乙（幻，并求“2）

的近似值（保留四位小數(shù)）。

=2(f(—+6(X-1)(A-4XX-5)

答案:(I-3)(1-4)(1-5)(3-1X3-4)(3-5)

+5(1)(』-3)。-5)+4(-r-D(-y-3)(x-4)

(4-1X4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)

差商表為

一階均差二階均差三階均差

12

362

45-1-1

54-101/4

P3(x)=N](x)=2+2(x-1)-(x-l)(x-3)+^-(x-l)(x-3)(x-4)

/(2)之6(2)=5.5

4、取步長a=0.2,用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題

y1=2x+3y

y(0)=1(0<x<l)

jMR=y〃+°-2x(2x〃+3y〃)

答案:解:=%+"1*[(?xn+3yn)+(2xn+l+3斕)1

即)'〃+i=0.52%+1.78%+0.01

n012345

00.20.40.60.81.0

￡11.825.879610.713719.422435.0279

5、已知

-2-1012

fG)42135

求/'*）的二次擬合曲線〃2（x）,并求廣（°）的近似值。

答案：解：

i乂xfxi七y陽2y

0-244-816-816

1-121-11-22

20100000

31311133

42548161()20

z01510034341

Sa。+10a2=15

10%=3

正規(guī)方程組為10%+34。2=41

10311

%=-M=一必=一

07110214

10311，/、311

〃2(為)=-----h—x-\--X小"）=—+—x

71014-107

3

r（o）?P；（o）=-

6、已知sinx區(qū)間［0.4,0.8］的函數(shù)表

0.40.50.60.70.8

0.389420.479430.564640.644220.71736

如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最??？并求該近似

值。

答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差

匹")|考|g(x)|

盡量小，即應(yīng)使?①3(幻1盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點

{0.5,060.7}最好，實際計算結(jié)果

sin0.63891^0.596274

且

|sin0.63891-0.596274

<-^|(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)|

3!

<0.55032xlO-4

7、構(gòu)造求解方程"+102=0的根的迭代格式與+i=8(/)，〃二°，1，2,…，討論其收斂

性，并將根求出來，以〃+】一/

答案：解：令/U)=eA+10x-2,/(0)=-2<0,/(l)=10+e>0

且.(x)=e'+K)>°對Vx6—g，+8),故/*)=°在(0/)內(nèi)有唯一實根.將方程

/(x)=0變形為

x=—(2-eA)

10

則當x￡(。，1)時

奴工)=5(2七)6“止嘖4<1

故迭代格式

收斂。取殉一0?5,計算結(jié)果列表如下:

n0123

xn0.50.0351278720.0964247850.089877325

n4567

0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008

且滿足|x7-x6|<0.00000095<10^所以/”0.090525008

芭+2X2+3X3=14

<2x)+5X2+2/=18

3x(+%+5巧=20

8、利用矩陣的LU分解法解方程組

1I23

A=LU=211-4

1J|_-24

答案：解：L

令。=〃得y=(14-10-72)7',Ux=y得x=(1,2,3)7

3xl+2X2+10x3=15

1OxI-4必-為=5

9,對方程組［2匹+10々-4與二8

(1)試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；

(2)取初值“(°)=(°，°，())7,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求

II—11Vl0-3

00o

解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)

1OX]-4X2-上3=5

?2x1+10x2-4工3=8

3X]+2X2+10支3=15

故對應(yīng)的高斯一塞德爾迭代法收斂.迭代格式為

聲+1)_1

x\

10

J(An

X2十4

.‘

-

-(An

IX3

k

取x）=（°0°）,經(jīng)7步迭代可得:

x*?x<7>=(0.999991459,0.999950326,1.000010)r

10、已知下列實驗數(shù)據(jù)

Xi1.361.952.16

於）16.84417.37818.435

試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。

eldr

解：當0<x<1時，/"（力=以則V（x）Ke,且J。有一位整數(shù).

|用叫/）|工2x10—4

要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差I(lǐng)I2

答如只要

網(wǎng)”（小

由

ee-4

<------<T---<---X1O

⑵?2⑵?2

即可，解得

/?>^|xl02=67.30877…

所以力二68,因此至少需將[01]68等份。

11、用列主元素消元法求解方程組

?-

1-11-45-4：3G-

-

4-

5-43-12J1-114-

解：-

I?-

1111_21-1-1

11

_

5-42，-12514_

3'_

1_

_

nJ二!8馬.G、一3一封_

。1|；_

5|_

255555_

28_

八13179||-_

()--------------------。11_

55515551_

-43-12

B79

T-5T

5

0

75-T3

回代得x3=-^x2=6,X|=3。

12、取節(jié)點X。=°，尤1=°5“2=1,求函數(shù)fM=e-A在區(qū)間［0,1］上的二次插值多項式

鳥(外,并估計誤差。

o。-0.5)(1)0.5x(人-。)(1)

解：■(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)

,1(x-0)(x-0.5)

+gX--------------------

(1-0)(!-0.5)

=2(x-0.5)(x-1)-4產(chǎn)&-i)+2/x(x-0.5)

f(x)=e~\f\x)=max|尸(幻卜1

又XG[0,l)

IW1=1U-R(x)區(qū)[|x(x-0.5)(x-1)|

故截斷誤差3!o

13、用歐拉方法求

yU)=￡e-rd/

在點x=0.5,1.0,1.5,2.0處的近似值。

解：心)=卜力等價于

b(0)=0(.r>0)

記f（羽V）=e7,取力=0.5,而二°，=05A*2=1.0,=1.5,x4=2.0

則由歐拉公式

%+i=%+好區(qū)"〃）

7o=°A2=0,1,2,3

可得y（0.5）x,=（）.5,），（1.（））=y2?（）.88940

Ml.5）之為=1.07334,y（2.0）=y4^1.12604

14、給定方程/*）=（?l）e“T=°

1）分析該方程存在幾個根；

2）用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；

3）說明所用的迭代格式是收斂的。

解：1）將方程（x-l）ev-l=0（1）

改寫為

l=e'（2）

作函數(shù)力（x）=xT,人（幻二。7的圖形（略）如（2）有唯一根/￡（1,2）。

2）將方程（2）改寫為x=l+ef

'"1=1+0-以

構(gòu)造迭代格式bo=L5（k=0,1,2,…）

計算結(jié)果列表如下：

k123456789

Xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.27846

3)W(Y)=1+e—',"(T)=-ef

當工￡[1,2]時，e(x)￡[*(2)Ml)]u[l,2],且

W'(x)區(qū)

所以迭代格式々+產(chǎn)。（/）伏二°」2…）對任意與￡[1，2]均收斂。

15、用牛頓（切線）法求百的近似值。取回=1.7,計算三次，保留五位小教。

解：6是/'(x)=x-3二°的正根，(")=2七牛頓迭代公式為

焉-3不〃3

x.,i=—+——(〃=0,1,2,…)

/+i=^-―一向+22x

24即tl

取刈=1.7,列表如下:

n123

41.732351.732051.73205

16、已知/(-1)=2,/(1)=3,/(2)=-4,求拉格朗日插值多項式右(“)及/(I,5)的近似值,

取五位小數(shù)。

解一異號+疊僵號一3

/(1.5)?L2(1.5)=^?0.04167

fe'&r

17、片3,用復(fù)合梯形公式求J。的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計。

feAdr?7^=曾%2@/23)+對"342

解:

f(x)=e\fn(x)=e:0<%<1時，|f"(a)|<e

\R\=\ex-T,\<-------=—=0.025--<0.05

312x32108

至少有兩位有效數(shù)字。

’30

1-3

18＞用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組U-1

取X⑼NOOO)1，列表計算三次，保留三位小數(shù)。

解：Gauss-Seidel迭代格式為:

301

1-31

系數(shù)矩陣口T旬嚴格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.

取?o）=（O,O,O）T,列表計算如下：

k人丫］伏）行）巖）

11.6670.889-2.195

22.3980.867-2.383

32.4610.359-2.526

yf=x+y

19、用預(yù)估一校正法求解1）'（°）=1（0<r<l）,〃=0。2,取兩位小數(shù)。

解：預(yù)估一校正公式為

=）'〃+］（匕+心）

<ki=hf（x〃,y〃）

&=-+h,yn+如）

〃=0,1,2,…

其中/(x,)，)=x+y,W=l,〃=0.2,〃=°，1，2,3,4,代入上式得:

〃12345

乙0.20.40.60.81.0

%1.241.582.042.643.42

20、（8分）用最小二乘法求形如）'=a+bx~的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)E：

匹19253038

19.032.349.073.3

解：①二邛'cin{i,A~)

T