教案教學(xué)基本信息課題分層隨機(jī)抽樣學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級(jí)高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)A版出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)一、教學(xué)目標(biāo)1.理解分層隨機(jī)抽樣的概念，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)、適用范圍和必要性;掌握各層樣本量比例分配的方法，會(huì)用分層抽樣得到的樣本均值估計(jì)總體均值。2.在課程中引導(dǎo)學(xué)生理解抽樣方法的多樣性，能夠根據(jù)實(shí)際問題的需求，選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǐ@取樣本數(shù)據(jù)；3.關(guān)注學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念的形成，強(qiáng)化抽樣思想，和用樣本估計(jì)總體的思想。二、重難點(diǎn)重點(diǎn)：分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)、適用范圍和步驟；難點(diǎn)：比例分配分層隨機(jī)抽樣中，用樣本均值估計(jì)總體均值。教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入一、復(fù)習(xí)回顧抽樣調(diào)查是獲取統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的重要途徑。在抽樣調(diào)查中，根據(jù)一定的目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)，對(duì)總體的情況進(jìn)行估計(jì)和推斷。我們學(xué)習(xí)了一種基本的抽樣方法——簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，這種方法簡(jiǎn)單，直觀，是很多抽樣方法的基礎(chǔ)。并且，可以用樣本均值估計(jì)總體均值.為了獲得較好的估計(jì)效果，樣本的代表性是抽樣調(diào)查的核心問題。二、問題情境樹人中學(xué)高一年級(jí)有712名學(xué)生，為調(diào)查其平均身高，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從高一年級(jí)學(xué)生中，抽取一個(gè)樣本量為50的樣本。樣本的身高變量值（單位：cm）如下：可以計(jì)算出，樣本均值為162.72．可以估計(jì)：樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生的平均身高為162.72cm．復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，強(qiáng)調(diào)“樣本的代表性”。通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的具體數(shù)據(jù)，回顧簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中用樣本均值估計(jì)總體均值的方法，為本節(jié)課做鋪墊。同時(shí)，創(chuàng)設(shè)本節(jié)課的問題情境。新課為了考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的估計(jì)效果，從樹人中學(xué)醫(yī)務(wù)室得到了高一年級(jí)學(xué)生身高的所有數(shù)據(jù)．計(jì)算得出，高一年級(jí)學(xué)生的平均身高為165.0cm．問題1：為什么樣本平均數(shù)大幅度地偏離了總體平均數(shù)？問題2：為什么運(yùn)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲取的樣本中，會(huì)出現(xiàn)“極端”樣本？（1）高一年級(jí)學(xué)生的身高差異較大;（2）樣本抽取的隨機(jī)性．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣存在不足，需要進(jìn)行改進(jìn).問題3：在樣本量相同且樣本量不大時(shí)，你認(rèn)為總體中個(gè)體差異的大小對(duì)估計(jì)效果有什么影響？從以上兩個(gè)總體中，分別抽取一個(gè)個(gè)體，來估計(jì)總體的平均長(zhǎng)度，總體1效果好在樣本量相同且樣本量不大時(shí)，總體中的個(gè)體差異越小，用樣本均值估計(jì)總體均值的效果越好．因此，減少總體中個(gè)體之間的差異，能夠減少“極端樣本”的出現(xiàn)，提高樣本的代表性和估計(jì)效果，也是改進(jìn)抽樣方法的思路。方法：（1）將總體劃分為若干組，相近的樣本劃分為同一組;（2）在每一組中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;（3）匯總，得到樣本.樣本在各個(gè)組中都有代表，減少了“極端樣本”的出現(xiàn)，樣本具有更好的代表性。問題4：通過哪些信息對(duì)學(xué)生分組，可以使得同組的學(xué)生身高差異較小呢？年齡、性別…（1）高一年級(jí)的學(xué)生年齡差異不大，年齡對(duì)身高影響不大;（2）性別和身高存在密切相關(guān)，很明顯，高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性別的身高差異相對(duì)較小。因此，我們可以把高一年級(jí)學(xué)生分成男生、女生兩組，再對(duì)男生、女生分別進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生中，男生有326名、女生有386名，抽取一個(gè)容量為50的樣本．思考：樣本量在男生、女生中如何分配？方案一：按男生、女生在全體學(xué)生中所占的比例分配．每個(gè)學(xué)生被抽到的可能性都相等．方案二：等額分配.男生、女生被抽到的可能性不都相等.從樣本的結(jié)構(gòu)上分析，方案一，根據(jù)總體中男女生比例抽取，得到的樣本結(jié)構(gòu)與總體更相近。因此，按比例分配是一種比較合理的方式。n從男女生中分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽取23人和27人，匯總，就可以得到樣本量為50的樣本?；仡櫼陨系某闃臃椒?，歸納其操作步驟。（1）把高一學(xué)生分為男生、女生兩個(gè)有明顯差異的組；（子總體）組內(nèi)個(gè)體差異小、組間個(gè)體差異大（2）在每一個(gè)組中，分別進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；（3）把兩個(gè)組中抽取的樣本匯總，作為總樣本．三、分層隨機(jī)抽樣的定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣.每一個(gè)子總體稱為層.注意：（1）每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，也就是各層互不相交。（2）在每層中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因此，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是分層隨機(jī)抽樣的基礎(chǔ)。（3）組、子總體也稱為層。1.分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：（1）適用范圍：總體中個(gè)體差異較大．（2）目的：減少“極端”樣本的出現(xiàn)，使樣本具有更好的代表性．2.分層隨機(jī)抽樣的一般步驟：（1）分層：根據(jù)已掌握信息，將總體分成互不相交的層；（2）定量：計(jì)算各層中抽取的個(gè)體數(shù)；（比例分配）（3）抽樣：在各層中，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取個(gè)體，合在一起作為總樣本．接下來，我們來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)比例分配。比例分配，按各層在總體中所占的比例分配樣本量。每層樣本量=各層樣本量同時(shí)，我們也可以將“該層個(gè)體數(shù)”移到等式左邊，得到：每層樣本量即：每層的樣本量與各層的大小成比例。四、比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．總樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣的一般步驟：總體子總體樣本例1在下面的問題中，選擇合適的抽樣方法抽取樣本．（1）在某廠生產(chǎn)的20輛汽車中抽取4輛進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)；（總體中個(gè)體較少，無明顯差異——簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）（2）已知學(xué)校教職工中，不到35歲的有80人，35到49歲的有70人，50歲以上的有50人，為了了解學(xué)校教職工的身體健康狀況，從中抽取20人進(jìn)行調(diào)查．（總體有差異明顯的幾部分組成——分層隨機(jī)抽樣）例2為了調(diào)查老師對(duì)統(tǒng)計(jì)軟件的了解程度，某市采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從A、B、C三所學(xué)校抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知A、B、C三所學(xué)校分別有180、270、90名教師，如果樣本按比例分配，求A、B、C學(xué)校分別應(yīng)抽取的教師人數(shù)．方法一：按各層在總體中所占的比例分配樣本量。解：A學(xué)校抽取的教師人數(shù)為：180540B學(xué)校抽取的教師人數(shù)為：270540C學(xué)校抽取的教師人數(shù)為：90540方法二：比例分配中，各層樣本量與層的大小,成比例。解：A學(xué)校抽取的教師人數(shù)為：60540B學(xué)校抽取的教師人數(shù)為：60540C學(xué)校抽取的教師人數(shù)為：60540反思：整理本題中，每個(gè)學(xué)校的教師人數(shù)和樣本量，觀察，有什么特點(diǎn)？三個(gè)學(xué)校的教師人數(shù)之比，樣本量之比，都是2:3:1也就是說：各層抽取的樣本量之比=總體中各層個(gè)體數(shù)之比所以，按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，得到的樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)相近。歸納：比例分配的分層隨機(jī)抽樣具有以下特點(diǎn)：（1）各層樣本量=該層個(gè)體數(shù)總體的個(gè)體數(shù)（2）每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；每層樣本量（3）各層抽取的樣本量之比等于總體中各層個(gè)體數(shù)之比。例3某集團(tuán)有甲、乙、丙三個(gè)分公司，甲公司有員工500名，乙公司有員工800名，丙公司有員工300名．為了了解集團(tuán)員工對(duì)企業(yè)改革的態(tài)度，用分層隨機(jī)抽樣抽取若干名員工進(jìn)行訪談．若樣本按比例分配，甲公司抽取了10名員工.求乙公司和丙公司抽取的員工數(shù)．方法一：各層樣本量解：設(shè)乙、丙公司抽取的員工數(shù)分別為x、y.10乙、丙公司抽取的員工數(shù)分別為16、6．方法二:各層抽取的樣本量之比=總體中各層個(gè)體數(shù)之比．解：設(shè)乙、丙公司抽取的員工數(shù)分別為x、y.10:x:y=500:800:300乙、丙公司抽取的員工數(shù)分別為16、6．例4按比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，得到樹人中學(xué)高一年級(jí)容量為50的樣本數(shù)據(jù)（單位：cm）：男生：女生：（1）估計(jì)高一年級(jí)男生的平均身高．170.6cm（2）估計(jì)高一年級(jí)女生的平均身高．160.6cm（3）估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生的平均身高．（4）計(jì)算男、女生的總樣本平均數(shù)．三、用樣本均值估計(jì)總體均值問題5：分層隨機(jī)抽樣中，是否可以直接用樣本平均值估計(jì)總體平均值？為什么？包含的個(gè)體數(shù)各個(gè)個(gè)體的變量值抽取的樣本量樣本的各個(gè)個(gè)體變量值第1層MXmx第2層NYny（1）求樣本平均數(shù)：第1層的樣本平均數(shù)：第2層的樣本平均數(shù)：總體的樣本平均數(shù)為：（2）求總體平均數(shù)：第1層的總體平均數(shù)：第2層的總體平均數(shù)：總體平均數(shù)為：在每層的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，可以用x估計(jì)X；可以用y估計(jì)Y;可以用MM+N思考：與樣本平均數(shù)對(duì)比，它們有什么關(guān)系？x系數(shù)不同，y系數(shù)也不同。在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，MM+N可以直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù).四、估計(jì)效果用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了10個(gè)樣本量為50的樣本，計(jì)算出樣本平均數(shù)．注：黃線表示高一年級(jí)全體學(xué)生身高的平均數(shù)．問題6：(1)觀察平均數(shù)的圖形表示，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？(2)與上一節(jié)相同樣本量的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較,你有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)論：（1）與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較，分層隨機(jī)抽樣并沒有明顯優(yōu)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；（2）分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)更均勻，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中出現(xiàn)比較“極端”的樣本，而分層隨機(jī)抽樣中幾乎沒有出現(xiàn)；（3）在個(gè)體之間差異較大時(shí)，只要選取的分層變量合適，分層隨機(jī)抽樣的效果一般會(huì)好于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣樣．并且，分層隨機(jī)抽樣時(shí)，不僅能得到總體的估計(jì)，還能得到每層的估計(jì)。通過樣本均值估計(jì)的平均身高，與實(shí)際平均身高的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，分析原因，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“極端”樣本對(duì)估計(jì)效果的影響，體會(huì)樣本的隨機(jī)性、改進(jìn)抽樣方法的必要性。在對(duì)比中，發(fā)現(xiàn)總體中個(gè)體差異，對(duì)估計(jì)效果的影響，形成改進(jìn)抽樣方法的思路。初步體會(huì)分組方法。引導(dǎo)學(xué)生借助輔助變量劃分總體，體會(huì)分層的方法。引導(dǎo)學(xué)生合理分配樣本量，體會(huì)等比例分配中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)相近。引導(dǎo)學(xué)習(xí)回顧新方法的在步驟，歸納分層隨機(jī)抽樣的定義。分析分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)強(qiáng)調(diào)分層隨機(jī)抽樣的一般步驟從比例分配的特點(diǎn)中分析，形成比例分配的定義用圖示，強(qiáng)調(diào)比例分配的分層隨機(jī)抽樣的一般步驟。通過具體問題，感受兩種抽樣方法的適用范圍，培養(yǎng)學(xué)生的抽樣思想。通過問題解決，體會(huì)樣本量比例分配的方法。通過例題再次分析，強(qiáng)調(diào)比例分配的分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性相等，樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)一致。歸納比例分配的分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)。靈活應(yīng)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)解題，鞏固知識(shí)和方法。每一層的樣本數(shù)據(jù)都由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到，直接用樣本均值估計(jì)總體均值。發(fā)現(xiàn)總樣本均值和總體均值的一致，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究規(guī)律的證明，提升學(xué)生用樣本估計(jì)總體的意識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生完成探究，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中均值關(guān)系，及比例分配的特點(diǎn)，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)證明，體會(huì)比例分層隨機(jī)抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，蘊(yùn)含的用樣本均值估計(jì)總體均值的思想。引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，認(rèn)識(shí)到樣本的隨機(jī)。正確認(rèn)識(shí)分層隨機(jī)抽樣和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和估計(jì)效果，在理解樣本隨機(jī)性的基礎(chǔ)上，正確評(píng)價(jià)抽樣方法，并能夠根據(jù)問題特點(diǎn)選擇抽樣方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽樣思想和用樣本估計(jì)總體的意識(shí)。例題五、例題鞏固例5比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，總體分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數(shù)為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數(shù)為8，請(qǐng)估計(jì)該總體的平均數(shù)．解：由樣本平均數(shù)可以估計(jì)該總體的平均數(shù)為6通過例題，鞏固比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，用樣本均值估計(jì)總體均值的方法?？偨Y(jié)六、反思收獲1.分層隨機(jī)抽樣的步驟：（1）分層：（2）定量：一般采用比例分配每層樣本量（3）抽樣：2.分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：（1）適合于個(gè)體差異也較大的情形；（2）樣本具有更好的代表性；（3）用樣本不僅可以估計(jì)總體均值，還可以估計(jì)各層均值．2.分層隨機(jī)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：方法適用范圍聯(lián)系簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體較少分層隨機(jī)抽樣中，各層獨(dú)立進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.分層隨機(jī)抽樣總體分層，分層抽取總體中的個(gè)體差異較大3.抽樣思想、用樣本估計(jì)總體的意識(shí)回顧分層抽樣的特點(diǎn)和必要性，并認(rèn)識(shí)分層隨機(jī)抽樣和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，關(guān)注學(xué)生統(tǒng)計(jì)思想的形成，培養(yǎng)學(xué)生的抽樣思想和用樣本估計(jì)總體的意識(shí).作業(yè)教材第184頁(yè)練習(xí)第1、3、4題第1題:數(shù)據(jù)x1,x2,?,xm第2題:高二年級(jí)有男生490人，女生510人，張華按男生、女生進(jìn)行分層，通過分層隨機(jī)抽樣的方法，得到男生、女生的平均身高分別為170.2cm和1