第02講三角恒等變換目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：兩角和與差公式的證明 2題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式 5題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形 7題型四：利用角的拆分求值 9題型五：給角求值 11題型六：給值求值 12題型七：給值求角 15題型八：正切恒等式及求非特殊角 17題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用 18題型十：輔助角公式的高級(jí)應(yīng)用 21題型十一：積化和差、和差化積公式 2302重難創(chuàng)新練 2403真題實(shí)戰(zhàn)練 34題型一：兩角和與差公式的證明1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)單位圓O與x軸的非負(fù)半軸相交于點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊分別作任意角，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出以x軸的非負(fù)半軸為始邊時(shí)角的終邊（與單位圓交于點(diǎn)P），并說明AP與的長度關(guān)系；(2)根據(jù)第（1）問的發(fā)現(xiàn)，證明兩角差的余弦公式；(3)由兩角差的余弦公式推導(dǎo)兩角差的正弦公式．【解析】（1）作出以x軸的非負(fù)半軸為始邊時(shí)角的終邊如圖所示：作圖原理如下：首先作平分，然后作關(guān)于對(duì)稱的射線，最終作關(guān)于軸的射線即可得解.由題意在同一個(gè)單位圓中，所以.（2）由題意，而即，所以由勾股定理可得，即，所以.（3）由題意.2．(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導(dǎo)：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.【解析】(1)不妨令.如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，.連接.若把扇形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，則點(diǎn)分別與點(diǎn)重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知，與重合，從而，＝，∴.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得：，化簡得：當(dāng)時(shí)，上式仍然成立.∴，對(duì)于任意角有：.(2)①公式的推導(dǎo)：.公式的推導(dǎo)：正切公式的推導(dǎo)：②公式的推導(dǎo)：由①知，.公式的推導(dǎo)：由①知，.公式的推導(dǎo)：由①知，.3．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，考慮點(diǎn)，，，，從這個(gè)圖出發(fā).（1）推導(dǎo)公式：；（2）利用（1）的結(jié)果證明：，并計(jì)算的值.【解析】（1）因?yàn)?，根?jù)圖象，可得，即，即.即.（2）由（1）可得，①②由①+②可得：所以，所以.題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式4．（多選題）已知為銳角，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由為銳角，，則，，則，A錯(cuò)誤；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D正確；故選：BD．5．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由兩角和差的正弦公式得，化簡得，則故，故D正確.故選：D6．已知且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所?故選：B7．（2024·河北承德·二模）已知，則.【答案】/【解析】，，所以，而，因此原式.故答案為：.8．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）若，，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，所以上式可化為?故答案為：題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形9．（2024·高三·全國·課后作業(yè)）若，則.【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，即，即，因?故答案為：2.10．．【答案】【解析】．故答案為：.11．已知，，則.【答案】【解析】已知①，②，則得：，即，所以，整理得，所以．故答案為：12．函數(shù)，，則的值為.【答案】【解析】因?yàn)?，兩邊同時(shí)平方得①；，兩邊同時(shí)平方得②，①+②得，即，故，故答案為：.題型四：利用角的拆分求值13．已知，則.【答案】/【解析】由，得，，所以，所以，故答案為：14．已知，，，則．【答案】【解析】由，，，則，則，，.故答案為：.15．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，故選：A.16．已知，，且，均為銳角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?、均為銳角，所以，所以．由，得，，．所以.故選：A.17．（2024·遼寧·二模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意得到進(jìn)而得到，，從而有.∵，∴，則，，∴，故選A.18．若，則的值為（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵，故選：C.題型五：給角求值19．．【答案】【解析】.故答案為：20．求.【答案】/0.5【解析】故答案為：.21．．【答案】【解析】原式，故答案為：.題型六：給值求值22．已知，則的值是.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，則.故答案為：.23．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則.【答案】/0.25【解析】因?yàn)?，則，顯然，可得，整理得，解得或，又因?yàn)?，則，可得，所以.故答案為：.24．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，滿足，則，．【答案】//【解析】因?yàn)椋?，又，所以，因?yàn)闉殇J角，所以為銳角，又，所以，又，所以，所以．故答案為：；.25．已知，，其中，，則.【答案】【解析】因?yàn)椋?，得，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，，得，所以，所以，所以，所以，所?故答案為：.26．已知，則．【答案】/【解析】因?yàn)椋?，所以，故答案為：題型七：給值求角27．（2024·高三·廣東廣州·期中）已知，，，，則.【答案】/【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：28．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故選：D29．已知為鈍角，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于為鈍角，且，所以，且，所以，所以，故選：D.30．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，得，，∴，即，∴，解得.又，，，∴，∴，∴，∴，∴.故選：A.題型八：正切恒等式及求非特殊角31．的值是__________.【答案】1【解析】因?yàn)?，所以，?故答案為：.32．____________．【答案】【解析】．故答案為：.33．若是的內(nèi)角，且，則等于______.【答案】【解析】由題意知，，即，∴，又，∴.34．（2024·山東·高三濟(jì)寧市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以因?yàn)?，，所以角是第一象限的角，所以，不妨取，則，所以，所以，所以，所以，故答案為：題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用35．（2024·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值，并求當(dāng)取得最大值時(shí)x的值．【解析】（1）因?yàn)椋缘淖钚≌芷跒?，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)，即時(shí)，，所以的最大值為，此時(shí)．36．已知函數(shù)；(1)若在中，，，求使的角．(2)求在區(qū)間上的取值范圍；【解析】（1）由題意，在中，，，，∴或，∴在三角形中得或.所以當(dāng)時(shí)，由勾股定理得，∴,是等腰直角三角形，∴.當(dāng)時(shí),由正弦定理得,，即，∴，解得：或，∵,∴,∴,綜上所述,為或.（2）由題意，在中，，∵，∴，∴，∴,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng),即時(shí),取最小值,當(dāng),即時(shí),取最大值，所以在區(qū)間上的取值范圍是.37．已知．若的最小正周期為．(1)求的表達(dá)式和的遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，，所以，所以，所以，令，，可得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）因?yàn)?，所以，所以，即，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為.題型十：輔助角公式的高級(jí)應(yīng)用38．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為．【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】因?yàn)椋?，則，所以或，顯然不滿足的最大值為，所以，則，（其中），依題意可得，即，所以，所以，解得.故答案為：（答案不唯一，滿足即可）39．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知，則．【答案】【解析】由，得，即，所以，所以.故答案為：.40．設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則．【答案】【解析】依題意，函數(shù)，其中銳角滿足，當(dāng)時(shí)，，因此，所以.故答案為：題型十一：積化和差、和差化積公式41．．【答案】【解析】由．故答案為：．42．已知，，則.【答案】/1.5【解析】因?yàn)?，所?①因?yàn)?，所?②因?yàn)?，，所以由得，?故答案為：.43．（2024·高三·江西萍鄉(xiāng)·期中）求值：.【答案】【解析】，，代入原式得，故答案為：.44．已知，，則.【答案】【解析】故答案為：1．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知，是函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，是函?shù)的零點(diǎn)，所以，，所以.故選：B2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.3．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，即，所以，故選：D4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，解得或（舍，則.故選：A.5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，，整理得，即，由，得，所以.故選：D6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，，而.故選：D7．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A．2 B．2或 C． D．2或3【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，化簡得，解?或3.故選：D.8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，又，所以，所以，則.故選:A.9．（多選題）（2024·浙江紹興·三模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)榉肿臃帜付汲艘?所以可得,故A選項(xiàng)正確，,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；,D選項(xiàng)正確.故選：AD.10．（多選題）（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，，若，則，矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11．（多選題）（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，則下列計(jì)算正確的是（

）A．B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，則，，故，所以，正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，而，所以，又，所以，，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，，所以，即，因?yàn)?，，所以，則或，即或（不合題意，舍去），錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)椋?，即，即，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，正確.故選：AD12．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）若，且，則的值為．【答案】或【解析】由，得，即，當(dāng)時(shí)，，即，由，得；當(dāng)時(shí)，，所以，即，由，得，所以，得．故的值為或．故答案為：或.13．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知，若，使成立，則．【答案】【解析】由可得，,設(shè).依題意，，而，故，由，可得，，又由可得，，因，則，，故，解得，.故答案為：.14．（2024·上海浦東新·三模）已知實(shí)數(shù)、、、滿足，，，則.【答案】1【解析】因?yàn)樵O(shè),因?yàn)樵O(shè),所以可得，因?yàn)?所以,所以.故答案為：1.15．（2024·天津?yàn)I海新·三模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，．(1)求角的大?。?2)求的值；(3)求的值．【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得即，∴，∴，∴．又因?yàn)?，可得；?）在中，由余弦定理及，，，有，故；（3）由，可得，因?yàn)?，所以，故為銳角，故，因此，．所以，．16．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.已知(1)若，判斷的形狀；(2)若，求的最大值.【解析】（1）根據(jù)題意，，即，所以，化簡得，當(dāng)時(shí)，得，即為直角三角形；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1），有，根據(jù)正弦定理，有，即，根據(jù)和差化積公式，得，即，化簡得，所以，設(shè)則所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，取最大值為.17．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求的值域；(2)若關(guān)于x的方程有三個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)根，，，且，，求a的值．【解析】（1）因，令，則，因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，故．則，的值域?yàn)椋?）如圖，因的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，易得，不滿足，故舍去，當(dāng)時(shí)，依題意：，代入得：．由，，可得，．由，，代入，解得，．，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，故的值為．18．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，.(1)若x，y均為銳角且，求z的取值范圍；(2)若且，求的值.【解析】（1）由，可得，，所以記，因，可得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則，故的取值范圍是.（2），且，則：，即得：，又由，整理得：，故.1．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.2．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.3．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.4．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，解得，，.故選：A.5．（2021年全國高考乙卷數(shù)