第02講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)” 2題型二：截面問(wèn)題 6題型三：異面直線的判定 11題型四：異面直線所成的角 13題型五：平面的基本性質(zhì) 16題型六：等角定理 1802重難創(chuàng)新練 2003真題實(shí)戰(zhàn)練 39題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”1．如圖所示，四邊形和四邊形都是梯形，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)，，，四點(diǎn)是否共面？為什么？【解析】（1）由，分別為，的中點(diǎn)，可得，又，，所以，四邊形為平行四邊形．（2），，，四點(diǎn)共面，理由如下：由題意易知，四邊形為平行四邊形，．由（1）知，，與共面．又，，，，四點(diǎn)共面．2．如圖，為空間四邊形，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，且，．求證：(1)、、、四點(diǎn)共面；(2)、必相交且交點(diǎn)在直線上．【解析】（1）連接、，，由，分別為，中點(diǎn)，則，又，，則，，、、、四點(diǎn)共面.（2）由，，易知，又，分別為，中點(diǎn)，即，，結(jié)合（1）的結(jié)論可知，四邊形是梯形，因此直線、不平行，設(shè)它們交點(diǎn)為，平面，同理平面，又平面平面，因此，即、必相交且交點(diǎn)在直線上．3．若所在的平面和所在平面相交，并且直線相交于一點(diǎn)O，求證：

(1)和、和、和分別在同一平面內(nèi)；(2)如果和、和、和分別相交，那么交點(diǎn)在同一直線上（如圖）.【解析】（1）∵，∴確定平面，∵都在平面內(nèi)，∴平面；平面，∵，∴確定平面，∵都在平面內(nèi)，∴平面；平面，∵，∴確定平面，∵都在平面內(nèi)，∴平面；平面；（2）∵，∴，因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上，∵，∴，因?yàn)槠矫妫矫妫渣c(diǎn)在平面與平面的交線上，∵，∴，因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上，所以三點(diǎn)共線.4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，O為的中點(diǎn)，且點(diǎn)E既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．

(1)證明：；(2)若，，E為AO的中點(diǎn)，E在底面ABCD內(nèi)的射影為H，指出H所在的位置（需要說(shuō)明理由），并求線段的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：連接．在正四棱柱中，，則A，，，D四點(diǎn)共面，所以平面．因?yàn)閭?cè)面為矩形，且O為的中點(diǎn)，所以，所以O(shè)為平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，所以平面平面，即平面平面，故．（2）取CD的中點(diǎn)F，連接OF，AF，則H為AF的中點(diǎn)．理由如下：因?yàn)镕，O分別為CD，的中點(diǎn)，所以．在正四棱柱中，底面ABCD，所以底面ABCD，又，所以底面ABCD，即E在底面ABCD內(nèi)的射影為H．因?yàn)榈酌鍭BCD，所以．因?yàn)?，所以．題型二：截面問(wèn)題5．（2024·高三·福建·期中）已知正方體的體積為，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)異于點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，且，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段長(zhǎng)的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】要想平面截正方體所得的截面為四邊形，則要平面分別與正方形分別交于，顯然與正方形無(wú)交線，只需保證與正方形無(wú)交線即可，因?yàn)槠矫嫫矫?，面與兩個(gè)平面分別交于，由面面平行的性質(zhì)可得，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，且，由幾何關(guān)系知，隨著的增大，增大，故當(dāng)與重合時(shí)，最大，因?yàn)檎襟w的體積為，所以正方體棱長(zhǎng)為1，連接，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，連接，，如圖所示，由于，故∽，故，故最長(zhǎng)為，故.故選：D6．已知圓錐的底面面積為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則過(guò)該圓錐頂點(diǎn)做截面，截面三角形面積最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，由題意，，，，，可得軸截面頂角大于90°，過(guò)該圓錐頂點(diǎn)做截面，當(dāng)截面三角形頂角為90°，即截面三角形為等腰直角三角形時(shí)面積最大，所以截面最大面積為，故選：C．7．（2024·四川·一模）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結(jié)論正確的是（

）．A．M必為三角形 B．M可以是四邊形C．M的周長(zhǎng)沒(méi)有最大值 D．M的面積存在最大值【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A、B，易知平面為平面或與其平行的平面，故多邊形M只能為三角形或六邊形，選項(xiàng)A和B均錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)M為正三角形時(shí)，顯然截面多邊形M為時(shí)周長(zhǎng)取得最大值為；當(dāng)截面多邊形M為六邊形時(shí)，設(shè)，則，，，易得：，，此時(shí)截面多邊形M的周長(zhǎng)為定值：，綜合兩種情況，M的周長(zhǎng)的最大值為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)M為正三角形時(shí)，僅當(dāng)截面多邊形M為時(shí)的面積為；當(dāng)截面多邊形M為六邊形時(shí)，設(shè)，該六邊形可由兩個(gè)等腰梯形和構(gòu)成，其中，，，，兩個(gè)等腰梯形和的高分別為和，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，六邊形面積最大值為，即截面多邊形是正六邊形時(shí)截面面積最大．綜上，當(dāng)時(shí)，截面多邊形為正六邊形時(shí)面積取得最大值.選項(xiàng)D正確.故選：D.8．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為，故選A.9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱柱中，，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線PC的截面，則以為頂點(diǎn)，截面為底面的棱錐的體積為（

）A．42 B．48 C．56 D．63【答案】C【解析】分別在棱，上取點(diǎn)，使，連接，，則，，連接，則，所以為等邊三角形，易證，因?yàn)?，所以平面，所以五邊形即為截面，設(shè)直線與直線間的距離為，因?yàn)榈拿娣e，四邊形的面積，所以截面的面積為，又點(diǎn)到截面的距離，所以所求棱錐的體積.故選：C.10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的平面交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，平面與平面的交線與平行，即過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，分別為棱和的中點(diǎn)，所以為的四等分點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn).從而G為AD的三等分點(diǎn)，故.故選：D.題型三：異面直線的判定11．（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，是異面直線， B．，是相交直線，C．，是異面直線，與不垂直 D．，是相交直線，與不垂直【答案】A【解析】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線是異面直線．下面證明與垂直：證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．故選：A．12．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）如下圖，是正方體面對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，下列直線中，始終與直線異面的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】D【解析】當(dāng)P位于中點(diǎn)時(shí)，易知，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時(shí)、面，故A錯(cuò)誤；當(dāng)P與重合時(shí)，此時(shí)、面，故B錯(cuò)誤；當(dāng)P與重合時(shí)，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，而平面，平面，、平面，，故與始終異面，即D正確.故選：D13．已知正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，面，面，面，所以直線與異面；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)與重合時(shí)，因?yàn)?，又，，分別是棱，，的中點(diǎn)，所以，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，連接，在正方體中，易得且，所以與相交，即當(dāng)與重合時(shí)，與相交，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取中點(diǎn)，連交于，連，因?yàn)榍?，所以且，故?dāng)與重合時(shí)，與相交，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.題型四：異面直線所成的角14．如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，因?yàn)樵谥比庵?，分別是棱的中點(diǎn)，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角；直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，設(shè)其棱長(zhǎng)為，連接，則平面，故平面平面，故，是棱的中點(diǎn)，故，則,而，又，故在中，,由于異面直線所成角的范圍，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：D.15．在正方體中，分別為、、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，由題意，所以異面直線與所成的角是或其補(bǔ)角，由正方體性質(zhì)知是等邊三角形，，所以異面直線與所成的角是.故選：B.16．（2024·高三·陜西西安·期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所以與所成的角為（或其補(bǔ)角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，即，解得，所以.故選：C17．（2024·上海楊浦·二模）正方體中，異面直線與所成角的大小為.【答案】/【解析】正方體中，，因此異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，而，因此.所以異面直線與所成角的大小為.故答案為：題型五：平面的基本性質(zhì)18．下列說(shuō)法不正確的是（）A．若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線B．若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線C．若α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈lD．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面【答案】B【解析】若四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)共線，則直線和直線外一點(diǎn)，確定一個(gè)平面；若四點(diǎn)共線，則四點(diǎn)一定共面；若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線，故A正確．若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行，故B錯(cuò)誤．若a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈α，A∈β.因?yàn)棣痢搔拢絣，所以A∈l，故C正確．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，故D正確．故選B.19．如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，的中點(diǎn)，平面平面，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．過(guò)點(diǎn)BB．不一定過(guò)點(diǎn)BC．的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在上D．的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在上【答案】B【解析】連接，，如圖，因?yàn)镻，Q分別是棱，的中點(diǎn)，由勾股定理得，所以四邊形是菱形，所以，P，B，Q四點(diǎn)共面，即平面.又平面，所以，故A結(jié)論正確，B結(jié)論錯(cuò)誤.如圖，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，同理，故C，D正確.故選：B20．若空間中個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】考慮平面上個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；若平面內(nèi)個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，則其中有三個(gè)點(diǎn)、、構(gòu)成等邊三角形，第四個(gè)點(diǎn)到等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則第四個(gè)點(diǎn)必為等邊三角形的中心，則，易知，則，矛盾，當(dāng)時(shí)，也不成立；在空間中，個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成一個(gè)正四面體，成立；當(dāng)時(shí)，考慮四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正四面體，第五個(gè)點(diǎn)與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，將棱長(zhǎng)為的正四面體置于正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，正四面體的外接圓半徑為，矛盾，同理時(shí)不成立．故選：C．題型六：等角定理21．設(shè)和的兩邊分別平行，若，則的大小為.【答案】45°或135°/135°或45°【解析】根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).故答案為：45°或135°.22．空間四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)，所組成的四邊形是.【答案】正方形【解析】連接、，、、、分別為各邊的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，且，，且，四邊形是正方形；故答案為：正方形．23．已知空間中兩個(gè)角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則.【答案】或【解析】根據(jù)等角定理知：或，若，則或.故答案為：或24．如圖，正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，及的中點(diǎn)，，則.

【答案】【解析】連接，如下圖所示：依題意且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得，根據(jù)空間等角定理可知或與互補(bǔ)，顯然與不互補(bǔ)，所以，由正方體可知，平面，而平面，所以，即，又，所以.故答案為：.25．已知空間兩個(gè)角和，若，，則．【答案】或【解析】因?yàn)椋?，?dāng)和開口方向相同時(shí)，；當(dāng)和開口方向相反時(shí)，；綜上所述：或.故答案為：或.1．（2024·山東淄博·二模）已知α，β，γ為三個(gè)不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．若則下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)與l相交 B．b與l相交 C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)與β相交【答案】C【解析】對(duì)于AB，平面，，則，同理可得，則AB錯(cuò)誤；對(duì)于C，由AB知道，則C正確；對(duì)于D，由A知道平面，平面，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，位于江城廣場(chǎng)某大廈樓頂?shù)乃拿骁娕c搖櫓人雕像相映成趣，一直以來(lái)是吉林市的重要地標(biāo)之一.該時(shí)鐘整體呈正方體造型，在相鄰兩個(gè)時(shí)鐘正常運(yùn)行的過(guò)程中，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成的角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知兩異面直線的夾角范圍為，結(jié)合正方體的特征不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)一側(cè)時(shí)針指向3時(shí)，另一側(cè)時(shí)針指向9時(shí)時(shí)，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成角為直角，故在相鄰兩個(gè)時(shí)鐘正常運(yùn)行的過(guò)程中，兩時(shí)針?biāo)谥本€所成的角的最大值為.故選：D3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，取的中點(diǎn)，連接，由題意知，，則異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），在中，，則，則異面直線與所成角的余弦值為，故選：C．4．（2024·天津和平·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，點(diǎn)為底面的中心，過(guò)點(diǎn)，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，，與交點(diǎn)即為，因?yàn)?，所以‖，因?yàn)椤?，所以‖，所以共面，所以平面截正方體所得的截面為梯形，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為6，且，所以，在中，，則，在中，，則，在，，則，過(guò)作于，則，所以,所以等腰梯形的面積為,故選：A5．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知分別是棱長(zhǎng)為2的正四面體的對(duì)棱的中點(diǎn).過(guò)的平面與正四面體相截，得到一個(gè)截面多邊形，則正確的選項(xiàng)是（

）①截面多邊形可能是三角形或四邊形.②截面多邊形周長(zhǎng)的取值范圍是.③截面多邊形面積的取值范圍是.④當(dāng)截面多邊形是一個(gè)面積為的四邊形時(shí)，四邊形的對(duì)角線互相垂直.A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】對(duì)于①，當(dāng)平面過(guò)或時(shí)，截面為三角形.易知正四面體關(guān)于平面對(duì)稱，將平面從平面開始旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)平面與交于點(diǎn)，且，此時(shí)截面為四邊形，①正確；對(duì)于②，設(shè)，由余弦定理得，，由兩點(diǎn)間距離公式知，表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，所以截面多邊形周長(zhǎng)的取值范圍是，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，記與的交點(diǎn)為，由對(duì)稱性，，所以，，因?yàn)椋?，所以，記，則，因?yàn)?，所以，由二次函?shù)性質(zhì)可知，，即，所以，③正確；對(duì)于④，由③知，當(dāng)截面為四邊形時(shí)，對(duì)角線，垂直，所以④正確．故選：D6．（2024·上?！と＃┤鐖D，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點(diǎn)，則（

）A．DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線B．DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線C．DM≠EN，且直線DM、EN是相交直線D．DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線【答案】D【解析】連接，因?yàn)辄c(diǎn)N為正方形ABCD的中心，所以是的中點(diǎn)，所以平面，所以與相交，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槭堑冗吶切危裕?，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.故選：D.7．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)N.給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解析】對(duì)于①，因?yàn)槠矫媾c棱交于點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，在正方體中，由平面平面，又平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四邊形一定是平行四邊形，故①正確對(duì)于②，在正方體中，面，因?yàn)槊妫?，若是正方形，有，，若不重合，則與矛盾，若重合，則不成立，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)槠矫妫?，若直線與平面垂直，則直線，顯然矛盾，所以平面與直線不可能垂直，故③錯(cuò)誤對(duì)于④，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理：，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，故④正確.綜上所述，正確的有①④.故選：C.8．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形是平行四邊形，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影為與平面所成角的正切值為2，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，取的中點(diǎn)E，連接．因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以．因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以，所以．故四邊形為平行四邊形，所以，所以直線與所成的角為．連接，因?yàn)辄c(diǎn)P在平面內(nèi)的射影為N，所以平面，所以與平面所成的角為，所以．不妨令，則，所以，所以，在中，由余弦定理得．故選：A．9．（多選題）（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）下列基本事實(shí)敘述正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面B．經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面C．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面D．經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面【答案】AB【解析】根據(jù)基本事實(shí)以及推論，易知A，B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若三點(diǎn)共線，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若這個(gè)點(diǎn)在直線外，則確定一個(gè)平面，若這個(gè)點(diǎn)在直線上，可有無(wú)數(shù)平面，故D不正確；故選：AB10．（多選題）（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，長(zhǎng)方體，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)．則以下命題中，正確的是（

）A．點(diǎn)是的垂心 B．垂直平面C．的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn) D．直線和是異面直線【答案】AB【解析】對(duì)于A，垂直平面，平面，故，在長(zhǎng)方體中直線兩兩互相垂直，則平面，平面，故，可得，又是平面內(nèi)兩條相交直線，則平面，因?yàn)槠矫?，所?同理可得，則是的垂心，故A正確；對(duì)于B，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，平面，平面，所以平面；同理平面，平面，所以平面；又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩條相交直線，則平面平面，由題意可知垂直平面，則垂直平面，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，對(duì)角線垂直于平面，則在不是正方體的長(zhǎng)方體中，不垂直于平面，又因?yàn)榇怪逼矫?，兩直線不重合，正方體是長(zhǎng)方體的特殊情況，則的延長(zhǎng)線經(jīng)不一定過(guò)點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，當(dāng)長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，即.由于四邊形為平行四邊形，故直線和是相交直線，即直線和不一定是異面直線，故D錯(cuò)誤；故選：AB11．（多選題）（2024·重慶·三模）如圖，已知正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四點(diǎn)共面 B．與異面C． D．RS與所成角為【答案】AC【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，因?yàn)榉謩e為棱、的中點(diǎn)，所以，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，即，正確；對(duì)于D，因?yàn)椋裕?，所以，設(shè)RS與所成角為，，則，所以，即與所成角為，錯(cuò)誤.故選：AC12．（多選題）（2024·浙江溫州·三模）已知空間兩條異面直線所成的角等于60°，過(guò)點(diǎn)與所成的角均為的直線有且只有一條，則的值可以等于（

）A．30° B．45° C．75° D．90°【答案】AD【解析】過(guò)點(diǎn)作，從兩對(duì)角的角平分線開始，直線與所成角的范圍為或，而均為的直線有且僅有一條，根據(jù)對(duì)稱性，可得或.故選：AD.13．（2024·全國(guó)·二模）已知長(zhǎng)方體的底面ABCD為邊長(zhǎng)是2的正方形，，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn)，則過(guò)，E，F(xiàn)的平面截長(zhǎng)方體的表面所得截面的面積為.【答案】【解析】在長(zhǎng)方體中，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，直線交于，交的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接，則五邊形即為過(guò)點(diǎn)的長(zhǎng)方體的截面，由，為的中點(diǎn)，得是中點(diǎn)，，，由，是中點(diǎn)，得，則，則，等腰底邊上的高，的面積，平面平面，平面平面，平面平面，則，于是∽，同理，∽，，因此，所以所得截面的面積為.故答案為：.14．（2024·遼寧大連·二模）如圖，圓柱的軸截面為矩形，點(diǎn)，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為.【答案】/【解析】連接，由題設(shè)及圖易知是圓柱的母線，所以為矩形，設(shè)，則是的中點(diǎn)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，則是異面直線與所成角或其補(bǔ)角.由于，，所以，由于，而是圓柱底面圓的直徑，則，所以，則，，而，在三角形中，由余弦定理得.故答案為：15．（2024·山東濟(jì)南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，則平面MNC1截該四棱柱所得截面的周長(zhǎng)為．【答案】【解析】延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)檎睦庵校?，，M，N分別是，的中點(diǎn)，所以MN=AM2+AN因?yàn)椤祝?，故，，在上取點(diǎn)，連接，則，同理可知，所以四邊形為平行四邊形，故四點(diǎn)共面，則平面MNC1截該四棱柱所得的截面為五邊形，，同理，故截面周長(zhǎng)為.故答案為：16．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在正方體中，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記異面直線DP與所成角為，則的最小值為．【答案】【解析】連接，在正方體中，可得，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，在正方體中，可得平面，又平面，所以，所以，即，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)最小，當(dāng)時(shí)，最小，令，可得，可得，所以.故答案為：.17．（2024·四川涼山·三模）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，．

(1)證明：點(diǎn)在平面中；(2)求多面體的體積．【解析】（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，．∵，∴四邊形為平行四邊形∴①又∵，，∴．∴四邊形為平行四邊形∴②,由①②得．∴，，，四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面中．（2）連接，，．∵為正四棱柱．∴，又，，分別是，中點(diǎn)．∴．∴．∵∴平面，即平面．在中由勾股定理，．∴由（1）可得四邊形為平行四邊形且．∴四邊形為菱形．∴為中點(diǎn)．∴平面，平面，∴．在中，，，∴∴在中，，，∴多面體的體積.18．（2024·山東·二模）如圖所示，直三棱柱，各棱長(zhǎng)均相等.，，分別為棱，，的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求直線與所成角的正弦值.【解析】（1）證明：由題意在等邊三角形中，為的中點(diǎn)，所以，在直棱柱中，平面，平面，所以，而，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）連接，因?yàn)?，，分別為棱，，的中點(diǎn)，所以，且，在三棱柱中，，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以即為直線與所成的角，在△中，設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則可得．故即直線與所成角的正弦值為．19．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）如圖.直四棱柱的底面為菱形，且分別是上，下底面的中心，是AB的中點(diǎn)，.(1)當(dāng)時(shí)，求直線與直線EC所成角的余弦值；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得在平面EBC內(nèi)的射影恰好為的重心.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）法一：取的中點(diǎn)Q，CD的中點(diǎn)，連接，則且，且，故四邊形均為平行四邊形，，，為直線與直線EC所成角或補(bǔ)角，不妨設(shè)，則，則，在中，中，，直線與直線EC所成角的余弦值為；法二：如圖，設(shè)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，直線與直線EC所成角的余弦值為；（2）如圖，設(shè)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，設(shè)平面EBC的法向量，，令，又的重心，，但與不平行，所以不存在實(shí)數(shù)，使得在平面EBC內(nèi)的射影恰好為的重心．1．（2002年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（新課標(biāo)））已知，為異面直線，平面，平面，，則（

）A．與，都相交 B．與，中至少一條相交C．與，都不相交 D．至多與，中的一條相交【答案】B【解析】若與都不相交，則，，則，這與是異面直線矛盾；故C不正確；如圖，與中的一條相交，另一條不相交，也可以與兩條都相交，但不交于同一點(diǎn)，如圖綜上：與中的至少一條相交.故選：B2．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（上海卷））已知空間四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”，則第四點(diǎn)不在共線三點(diǎn)所在的直線上，因?yàn)橐粭l直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定能推出“這四點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)”，從而充分性成立；“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”時(shí)，可能有“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”，不一定有三點(diǎn)在同一直線上，從而必要性不成立，所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的充分不必要條件.故選：A.3．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（上海卷））若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【解析】若空間中有兩條直線，若“這兩條直線為異面直線”，則“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”；若“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”，則“這兩條直線可能平行，可能為異面直線”；∴“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的充分非必要條件，故選：A.4．（2002年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（大綱卷））正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，則這個(gè)棱柱側(cè)面對(duì)角線與所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，則，故為與所成的角．在中，，，，在和中，得，是等邊三角形，．故選：B．5．（2001年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（京蒙皖））如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°；④DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（

）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】C【解析】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線