指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)高考輔導(dǎo)卷引言指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是高考數(shù)學(xué)函數(shù)板塊的核心內(nèi)容，主要考查其定義、圖像、性質(zhì)及應(yīng)用，涉及比較大小、解不等式、求定義域值域、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等題型，難度覆蓋基礎(chǔ)到中檔。本文結(jié)合高考考點，分板塊系統(tǒng)突破，助力考生構(gòu)建完整知識體系，提升解題能力。第一部分：核心考點梳理與突破一、指數(shù)函數(shù)：\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）1.定義與定義域：定義域為\(\mathbb{R}\)，底數(shù)\(a\)的范圍是隱含條件（如題目中出現(xiàn)\(a^x\)，需默認(rèn)\(a>0\)且\(a\neq1\)）。2.圖像與性質(zhì)：單調(diào)性：\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減；值域：\((0,+\infty)\)，過定點\((0,1)\)；奇偶性：非奇非偶（形如\(y=a^{|x|}\)為偶函數(shù)）。3.指數(shù)方程與不等式：方程：\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrowf(x)=g(x)\)（同底）；不同底時轉(zhuǎn)化為對數(shù)（如\(2^x=3\Leftrightarrowx=\log_23\)）。不等式：\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\)，\(a>1\)時\(f(x)>g(x)\)；\(0<a<1\)時\(f(x)<g(x)\)（單調(diào)性應(yīng)用）。二、對數(shù)函數(shù)：\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）1.定義與定義域：定義域為\((0,+\infty)\)（真數(shù)必須大于0，高頻易錯點）。2.圖像與性質(zhì)：單調(diào)性：\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減；值域：\(\mathbb{R}\)，過定點\((1,0)\)；奇偶性：非奇非偶（形如\(y=\log_a|x|\)為偶函數(shù)）。3.對數(shù)方程與不等式：方程：\(\log_af(x)=\log_ag(x)\Leftrightarrowf(x)=g(x)>0\)（同底，需保證真數(shù)>0）；不等式：\(\log_af(x)>\log_ag(x)\)，\(a>1\)時\(f(x)>g(x)>0\)；\(0<a<1\)時\(0<f(x)<g(x)\)（單調(diào)性+定義域）。三、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線\(y=x\)對稱，定義域與值域互換（指數(shù)函數(shù)定義域\(\mathbb{R}\to\)對數(shù)函數(shù)值域\(\mathbb{R}\)；指數(shù)函數(shù)值域\((0,+\infty)\to\)對數(shù)函數(shù)定義域\((0,+\infty)\)）。第二部分：方法技巧提煉1.比較大小的常用方法同底數(shù)：利用指數(shù)/對數(shù)函數(shù)單調(diào)性（如\(2^{0.3}<2^{0.5}\)，\(\log_{0.5}0.3>\log_{0.5}0.4\)）；同指數(shù)：利用冪函數(shù)單調(diào)性（如\(3^{0.4}>2^{0.4}\)）；不同底數(shù)不同指數(shù)：利用中間值（如0,1）（如\(\log_23>1\)，\(\log_32<1\)，\(0.5^2<1\)，故\(\log_23>\log_32>0.5^2\)）。2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷遵循“同增異減”，但對數(shù)復(fù)合函數(shù)需先保證真數(shù)>0：例：求\(y=\log_{0.5}(x^2-2x)\)的遞增區(qū)間。解：①定義域：\(x^2-2x>0\Rightarrowx<0\)或\(x>2\)；②內(nèi)層\(t=x^2-2x\)的遞減區(qū)間為\((-\infty,1)\)，結(jié)合定義域得\((-\infty,0)\)；③外層\(y=\log_{0.5}t\)遞減，故復(fù)合函數(shù)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)。3.定義域與值域求解對數(shù)函數(shù)定義域：真數(shù)>0（如\(y=\log_a(x^2-1)\Rightarrowx<-1\)或\(x>1\)）；復(fù)合函數(shù)值域：結(jié)合內(nèi)外層函數(shù)值域（如\(y=2^{x^2+1}\)，內(nèi)層\(x^2+1\geq1\)，外層遞增，故值域為\([2,+\infty)\)）。第三部分：易錯警示與避坑指南1.忽略對數(shù)定義域：解\(\log_0.5(x-1)>\log_0.5(2x-3)\)時，需保證\(x-1>0\)且\(2x-3>0\)，再用單調(diào)性得\(x>2\)；2.混淆單調(diào)性：指數(shù)/對數(shù)函數(shù)單調(diào)性由底數(shù)\(a\)決定（\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減），不要記反；3.錯誤應(yīng)用對數(shù)性質(zhì)：\(\log_a(M+N)\neq\log_aM+\log_aN\)，\(\log_a(M-N)\neq\log_aM-\log_aN\)；4.忽略指數(shù)底數(shù)范圍：題目中出現(xiàn)\(a^x\)，需默認(rèn)\(a>0\)且\(a\neq1\)（如\(a^2=4\Rightarrowa=2\)，而非\(\pm2\)）。第四部分：真題實戰(zhàn)演練與解析一、選擇題1.（2023·全國卷Ⅰ）設(shè)\(a=0.5^{0.6}\)，\(b=0.6^{0.5}\)，\(c=\log_{0.6}0.5\)，則（）A.\(a<b<c\)B.\(a<c<b\)C.\(b<a<c\)D.\(c<a<b\)解析：\(a=0.5^{0.6}<0.5^{0.5}<0.6^{0.5}=b<1\)，\(c=\log_{0.6}0.5>1\)，故\(a<b<c\)，選A。二、填空題2.（2022·浙江卷）函數(shù)\(f(x)=\log_2\frac{x+1}{x-1}\)的定義域是________。解析：真數(shù)\(\frac{x+1}{x-1}>0\Rightarrow(x+1)(x-1)>0\Rightarrowx<-1\)或\(x>1\)，故定義域為\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)。三、解答題3.（2023·江蘇卷）已知\(f(x)=\log_a(x+1)+\log_a(1-x)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）。（1）求定義域；（2）判斷奇偶性；（3）若\(f(1/2)=1\)，求\(a\)。解析：（1）\(x+1>0\)且\(1-x>0\Rightarrow-1<x<1\)，定義域為\((-1,1)\)；（2）定義域關(guān)于原點對稱，\(f(-x)=f(x)\)，故為偶函數(shù)；（3）\(f(1/2)=\log_a(3/2\times1/2)=\log_a(3/4)=1\Rightarrowa=3/4\)。第五部分：總結(jié)與備考建議1.核心總結(jié)指數(shù)函數(shù)：單調(diào)性由\(a\)決定，值域\((0,+\infty)\)，過\((0,1)\)；對數(shù)函數(shù)：定義域\((0,+\infty)\)，單調(diào)性由\(a\)決定，過\((1,0)\)；高頻考點：比較大小、解不等式、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、定義域值域。2.備考建議夯實基礎(chǔ)：牢記定義、性質(zhì)